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圆锥曲线解题技巧



圆锥曲线―概念,方法,题型, 圆锥曲线―概念,方法,题型,及应试技巧总结
1.圆锥曲线的两个定义 圆锥曲线的两个定义: 1.圆锥曲线的两个定义 (1)第一定义 第一定义中要重视"括号"内的限制条件:椭圆中 重视"括号"内的限制条件 椭圆中 椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离 第一定义 重视 的和等于常数 2a ,且此常数

2a 一定要大于 F1 F2 ,当常数等于 F1 F2 时,轨迹是线段 常数 F 1 F 2 ,当常数小于 F1 F2 时,无轨迹;双曲线中 双曲线中,与两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值 双曲线中 等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要小于|F 1 F 2 |,定义中的"绝对值"与 2a <|F 1 F 2 |不 "绝对值" 可忽视.若 2a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,若 2a >|F 1 F 2 |,则 可忽视 轨迹不存在.若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支. 如 (1)已知定点 F1 (3,0), F2 (3,0) ,在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆 的 是
D. PF 1
2

A .

PF 1 + PF 2 = 4
2

B .

PF 1 + PF 2 = 6

C .

PF1 + PF 2 = 10

+ PF 2

; = 12 (答:C)

(2)方程 ( x 6)2 + y 2 ( x + 6)2 + y 2 = 8 表示的曲线是_____(答:双曲线的左 支) 点点距为分子, (2)第二定义 第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线 注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且"点点距为分子,点 点点距为分子 第二定义 注意定点和定直线是相应的焦点和准线 线距为分母" 线距为分母 ,其商即是离心率 e .圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距 离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化 运用第二定义对它们进行相互转化 运用第二定义对它们进行相互转化. 如已知点 Q ( 2 2 ,0 ) 及抛物线 y =

x2 上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是_____ 4

(答:2) 2.圆锥曲线的标准方程 圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标 2.圆锥曲线的标准方程 准位置的方程) :

x2 y2 + = 1( a > b > 0 ) x = a cos (参数方程, y = b sin a2 b2 2 2 y x 其中 为参数) ,焦点在 y 轴上时 2 + 2 =1( a > b > 0 ) .方程 Ax 2 + By 2 = C 表示椭 a b
(1)椭圆 椭圆:焦点在 x 轴上时 椭圆 圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B,C 同号,A≠B) . 如(1)已知方程

{

x2 y2 + = 1 表 示 椭 圆 , 则 k 的 取 值 范 围 为 ____ ( 答 : 3+k 2k

1 1 (3, ) ∪ ( , 2) ) ; 2 2 2 2 (2)若 x, y ∈ R ,且 3x 2 + 2 y 2 = 6 ,则 x + y 的最大值是____, x + y 的最小值是
___(答: 5, 2 )

x2 y2 y2 x2 ( 2 ) 双 曲 线 : 焦 点 在 x 轴 上 : 2 2 =1 , 焦 点 在 y 轴 上 : 2 2 = 1 a b a b 2 2 ( a > 0, b > 0 ) .方程 Ax + By = C 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,
B 异号) .

如(1)双曲线的离心率等于 程_______(答:

x2 y 2 5 ,且与椭圆 + = 1有公共焦点,则该双曲线的方 9 4 2

x2 ; y2 = 1) 4 (2)设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 , F2 在坐标轴上,离心率 e = 2 的双曲线 C
2 2

过点 P(4, 10) ,则 C 的方程为_______(答: x 2 y 2 = 6 ) (3)抛物线 抛物线:开口向右时 y = 2 px( p > 0) ,开口向左时 y = 2 px( p > 0) ,开口 抛物线 向上时 x 2 = 2 py ( p > 0) ,开口向下时 x 2 = 2 py ( p > 0) . 3.圆锥曲线焦点位置的判断 圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) 3.圆锥曲线焦点位置的判断 : (1)椭圆 椭圆:由 x , y 椭圆
2

2

2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上.

如已知方程

x y2 + = 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, m 的取值范围是__ 答: 则 ( m 1 2 m

3 (∞,1) ∪ (1, ) ) 2
(2)双曲线 双曲线:由 x 2 , y 2 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; 双曲线 (3)抛物线 抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向. 抛物线 特别提醒: 特别提醒 (1)在求解椭圆,双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F 1 ,F 2 的 位置,是椭圆,双曲线的定位条件,它决定椭圆,双曲线标准方程的类型,而方程中的两 个参数 a, b ,确定椭圆,双曲线的形状和大小,是椭圆,双曲线的定形条件;在求解抛物 线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中, a 最大, a = b + c ,在双曲线中, ) 2 2 2 c 最大, c = a + b . 4.圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线的几何性质: 4.圆锥曲线的几何性质
2 2 2

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 )为例) 范围 a ≤ x ≤ a, b ≤ y ≤ b ; :①范围 范围: a2 b2 对称性:两条对称轴 x = 0, y = 0 ,一个对称中心(0,0) , ②焦点 焦点:两个焦点 ( ±c, 0) ;③对称性 对称性 焦点
(1)椭圆 )椭圆(以

a2 四个顶点 ( ± a, 0), (0, ±b) , 其中长轴长为 2 a , 短轴长为 2 b ; 准线 两条准线 x = ± ④准线 准线: ; c c ⑤离心率 e = ,椭圆 0 < e < 1 , e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁. 离心率: 离心率 a 25 x2 y2 10 ,则 m 的值是__(答:3 或 ) ; 如(1)若椭圆 + = 1 的离心率 e = 3 5 m 5
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长 轴的最小值为__(答: 2 2 )

x2 y2 = 1( a > 0, b > 0 ) 为例) ①范围 x ≤ a 或 x ≥ a, y ∈ R ; : 范围 范围: a2 b2 ②焦点 焦点:两个焦点 ( ±c, 0) ;③对称性 对称性:两条对称轴 x = 0, y = 0 ,一个对称中心(0,0) , 焦点 对称性 两个顶点 ( ± a, 0) ,其中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,
双曲线 (以 ( 2)

称为等轴双曲线,其方程可设为 x 2 y 2 = k , k ≠ 0 ;④准线 准线:两条准线 x = ± 准线 心率: e =

a2 ; ⑤离 c

c ,双曲线 e > 1 ,等轴双曲线 e = 2 , e 越小,开口越小, e 越大, a b 开口越大;⑥两条渐近线 y = ± x . 两条渐近线: 两条渐近线 a 13 双曲线的渐近线方程是 3x ± 2y = 0, 则该双曲线的离心率等于______ 答: ( 如 (1 ) 2 13 或 ) ; 3 1 2 2 (答:4 或 ) ; (2)双曲线 ax by = 1 的离心率为 5 ,则 a : b = 4 x2 y2 (3)设双曲线 2 2 = 1 (a>0,b>0)中,离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角 a b
θ的取值范围是________(答: [

, ]) ; 3 2 (3)抛物线 抛物线(以 y 2 = 2 px ( p > 0) 为例) 范围 x ≥ 0, y ∈ R ;②焦点:一个焦点 :①范围 范围: 抛物线

π π

p ( , 0) ,其中 p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性 对称性:一条对称轴 y = 0 ,没有 对称性 2 p c 对称中心,只有一个顶点(0,0) 准线 ;④准线 准线:一条准线 x = ; ⑤离心率 e = ,抛物 离心率: 离心率 2 a 线 e =1.
2 如设 a ≠ 0, a ∈ R ,则抛物线 y = 4ax 的焦点坐标为________(答: (0,

1 ; )) 16 a

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 )的关系 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 的关系: a2 b2 x2 y2 x2 y2 (2)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆上 0 + 0 =1; (3)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 外 0 + 0 > 1; a2 b2 a 2 b2 2 2 x0 y0 内 2 + 2 <1 a b
5,点 P ( x0 , y0 ) 和椭圆 6.直线与圆锥曲线的位置关系: 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)相交 > 0 直线与椭圆相交; > 0 直线与双曲线相交,但直线与双 )相交: 曲线相交不一定有 > 0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一 个交点,故 > 0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; > 0 直线与抛 物线相交,但直线与抛物线相交不一定有 > 0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线 与抛物线相交且只有一个交点,故 > 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必 要条件. 2 2 如(1)若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范围

是_______(答:(-

15 ,-1)) ; 3

(2)直线 y―kx―1=0 与椭圆 (答:[1,5)∪(5,+∞); ) (3)过双曲线

x2 y 2 + = 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是_______ 5 m

x2 y2 = 1 的右焦点直线交双曲线于 A,B 两点,若│AB=4,则 1 2

这样的直线有_____条(答:3) ; (2)相切: = 0 直线与椭圆相切; = 0 直线与双曲线相切; = 0 直 相切: 相切 线与抛物线相切; (3)相离 < 0 直线与椭圆相离; < 0 直线与双曲线相离; < 0 直 相离: 相离 线与抛物线相离. 特别提醒: 直线与双曲线,抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相 特别提醒 (1)直线与双曲线,抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形 切和相交.如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果 直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点; 2)过双曲线 (

x2 y2 =1 a2 b2

外一点 P ( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下: 点在两条渐近线之间且 ①P 不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切 线,共四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的 直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有两 条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原点时不存在这样的直线; 3) ( 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称 轴的直线. ( 过点 ( 2,4) 作直线与抛物线 y 2 = 8x 只有一个公共点, 这样的直线有______ (答: 如 1) 2) (2)过点(0,2)与双曲线 ; ______(答: ±

x2 y 2 = 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 9 16

4 4 5 ; ,± ) 3 3
y2 = 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A,B 两点,若 AB = 4,则 2
2

(3)过双曲线 x 2

满足条件的直线 l 有____条(答:3) ;
2 (4)对于抛物线 C: y = 4 x ,我们称满足 y 0 < 4x 0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内

部,若点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部,则直线 l : y 0 y = 2( x + x 0 ) 与抛物线 C 的位置关系是 _______(答:相离) ;
2 (5)过抛物线 y = 4x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P,Q 两点,若线段 PF 与 FQ

的长分别是 p, q ,则 (6)设双曲线

1 1 ; + = _______(答:1) p q

x2 y2 = 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支,右 16 9

支和右准线分别于 P, Q, R ,则 ∠PFR 和 ∠QFR 的大小关系为___________(填大于,小于 或等于) (答:等于) ;

8 13 ) ; 13 2 2 (8)直线 y = ax + 1 与双曲线 3x y = 1交于 A , B 两点.①当 a 为何值时, A , B 分 别 在 双 曲 线 的 两 支 上 ?② 当 a 为 何 值 时 , 以 AB 为 直 径 的 圆 过 坐 标 原 点? ( 答 :
(7)求椭圆 7 x 2 + 4 y 2 = 28 上的点到直线 3x 2 y 16 = 0 的最短距离(答: ① 3, 3 ;② a = ±1 ) ; 的计算方法:利用圆锥曲线的第二 7,焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法 焦半径 的计算方法 定义,转化到相应准线的距离,即焦半径 r = ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的 距离. 如(1)已知椭圆 距离为____(答:

(

)

x2 y2 + = 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的 25 16

35 ) ; 3

2 (2)已知抛物线方程为 y = 8x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5,则它到抛物 线的焦点的距离等于____; ( 3 ) 若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为_____(答: 7, (2, ±4) ) ;

x2 y2 + = 1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 25 9 25 P 的横坐标为_______(答: ) ; 12 2 (5)抛物线 y = 2x 上的两点 A,B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴
(4)点 P 在椭圆 的距离为______(答:2) ;

x2 y2 + = 1 内有一点 P (1,1) ,F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使 4 3 2 6 ; MP + 2 MF 之值最小,则点 M 的坐标为_______(答: ( , 1) ) 3
( 6 ) 椭圆 问题:常利用第 8,焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题 焦点三角形 问题 一定义和正弦,余弦定理求解.设椭圆或双曲线上的一点 P ( x0 , y0 ) 到两焦点 F1 , F2 的距离 分 别 为 r1 , r2 , 焦 点 F1 PF2 的 面 积 为 S , 则 在 椭 圆

x2 y2 + =1 中 , ① θ = a2 b2 2b 2 b2 c2 arccos( 1) ,且当 r1 = r2 即 P 为短轴端点时, θ 最大为 θ max = arccos ; r1 r2 a2
2

② S = b tan

θ

2

= c | y0 | ,当 | y0 |= b 即 P 为短轴端点时, S max 的最大值为 bc;对于双曲

2b 2 x2 y2 线 2 2 = 1 的焦点三角形有: θ = arccos1 ① a b r1 r2

1 θ ; S = r1 r2 sin θ = b 2 cot . ② 2 2

如 (1)短轴长为 5 ,离心率 e =

A,B 两点,则 ABF2 的周长为________(答:6) ;

2 的椭圆的两焦点为 F1 , F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 3

( 2 ) 设 P 是等轴双曲线 x 2 y 2 = a 2 (a > 0) 右支上一点,F1 ,F2 是左右焦点,若

PF2 F1 F2 = 0 ,|PF1|=6,则该双曲线的方程为
(3)椭圆

(答: x 2 y 2 = 4 ) ;

x2 y 2 → → + = 1 的焦点为 F1,F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF2 PF1 <0 时, 9 4 3 5 3 5 (答: ( , )) ; 点 P 的横坐标的取值范围是 5 5 6 (4)双曲线的虚轴长为 4,离心率 e= ,F1,F2 是它的左右焦点,若过 F1 的直线 2 与双曲线的左支交于 A,B 两点,且 AB 是 AF2 与 BF2 等差中项,则 AB =__________
(答: 8 2 ) ; ( 5 ) 已知双曲线的离心率为 2, F1 , F2 是左右 焦点,P 为双曲线上一点,且

∠F1 PF2 = 60 , S PF1F2 = 12 3 .求该双曲线的标准方程(答:

x2 y 2 = 1) ; 4 12

抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: 9,抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 (1)以过焦点的弦为直径的圆和 准线相切; 2)设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF; 3)设 AB ( ( 为焦点弦,A,B 在准线上的射影分别为 A 1 ,B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB; 4)若 ( AO 的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线. 10,弦长公式:若直线 y = kx + b 与圆锥曲线相交于两点 A,B,且 x1 , x2 分别为 A, 10,弦长公式 B 的横坐标,则 AB = 1 + k
2

x1 x2 ,若 y1 , y2 分别为 A,B 的纵坐标,则 AB =

1+

1 y1 y 2 ,若弦 AB 所在直线方程设为 x = ky + b ,则 AB = 1 + k 2 y1 y2 . k2

特别地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将 焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解. ,B(x2,y2)两点,若 如(1)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8) ;
2 (2)过抛物线 y = 2 x 焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标 原点,则ΔABC 重心的横坐标为_______(答:3) ; 11,圆锥曲线的中点弦问题: 点差法" 11,圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用"韦达定理"或"点差法"求解. "韦达定理"

在椭圆

b2 x x2 y2 + 2 = 1 中,以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 0 ;在双曲线 a2 b a y0

b2 x x2 y2 2 = 1 中 , 以 P ( x0 , y0 ) 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 k= 2 0 ; 在 抛 物 线 a2 b a y0 p y 2 = 2 px( p > 0) 中,以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= . y0

如(1)如果椭圆

(答: x + 2 y 8 = 0 ) ;

x2 y2 + = 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 相交于 A,B 两点,且线段 a2 b2 2 AB 的中点在直线 L:x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为_______(答: ) ; 2 x2 y2 ( 3 ) 试确定 m 的取值范围,使得椭圆 + = 1 上有不同的两点关于直线 4 3 2 13 2 13 y = 4 x + m 对称(答: 13 , 13 ) ; 特别提醒: 故在求解有关弦长, 特别提醒 因为 > 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件, 对称问题时,务必别忘了检验 > 0 !
(2)已知直线 y=-x+1 与椭圆 12.你了解下列结论吗 12.你了解下列结论吗? 2 2 2 2 (1)双曲线 x y = 1 的渐近线方程为 x y = 0 ; a2 b2 a2 b2 2 2 b (2)以 y = ± x 为渐近线(即与双曲线 x y = 1 共渐近线)的双曲线方程为 a a2 b2 2 2 y x = λ (λ 为参数, λ ≠0). a2 b2 如与双曲线 (答:

x2 y2 = 1 有共同的渐近线,且过点 (3,2 3) 的双曲线方程为_______ 9 16

4x2 y 2 = 1) 9 4 2b 2 ,焦准距(焦点到 a

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 mx 2 + ny 2 = 1 ; (4)椭圆,双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 相应准线的距离)为

b2 ,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ; c

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点弦为 AB, A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则

p2 ① | AB |= x1 + x2 + p ;② x1 x2 = , y1 y2 = p 2 4 (7)若 OA,OB 是过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点 (2 p, 0)
13.动点轨迹方程: 13.动点轨迹方程 (1)求轨迹方程的步骤:建系,设点,列式,化简,确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法 直接法:直接利用条件建立 x, y 之间的关系 F ( x, y ) = 0 ; 直接法

(答: 如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x = 3 的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程.

y = 12( x 4)(3 ≤ x ≤ 4) 或 y 2 = 4 x(0 ≤ x < 3) );
2

②待定系数法 待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方 待定系数法 程,再由条件确定其待定系数. 如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) ( m > 0) ,端点 A,B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A,O,B 三点作抛物线,则此抛物线方程为 (答: y 2 = 2 x ) ; ③定义法 定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动 定义法 点的轨迹方程; 如(1)由动点 P 向圆 x 2 + y 2 = 1 作两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B,∠APB=60 ,则 (1)
0

动点 P 的轨迹方程为

(答: x 2 + y 2 = 4 );

x (2)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l: +5=0的距离小于 1,则点 M 的轨迹方程 2 是_______ (答: y = 16 x );
2 2 2 2 (3) 一动圆与两圆⊙M: x + y = 1 和⊙N: x + y 8 x + 12 = 0 都外切,则动圆圆 (答:双曲线的一支); 心的轨迹为 ④代入转移法 动点 P ( x, y ) 依赖于另一动点 Q ( x0 , y0 ) 的变化而变化, 代入转移法: 并且 Q ( x0 , y0 ) 代入转移法

又在某已知曲线上,则可先用 x, y 的代数式表示 x0 , y0 ,再将 x0 , y0 代入已知曲线得要求 的轨迹方程; 如动点 P 是抛物线 y = 2 x 2 + 1 上任一点,定点为 A ( 0, 1) ,点 M 分 PA 所成的比为 2, 1 则 M 的轨迹方程为__________(答: y = 6 x 2 ); 3 ⑤参数法 参数法:当动点 P ( x, y ) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时, 参数法 可考虑将 x, y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程). 如(1)AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MN⊥AB,垂足为 N,在 OM 上取点 P ,使 | OP |=| MN | ,求点 P 的轨迹.(答: x 2 + y 2 = a | y | );
2 2 (2)若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x + y = 1 上运动,则点 Q ( x1 y1 , x1 + y1 ) 的轨迹方程是____


(答: y = 2 x + 1(| x |≤
2

1 ) ); 2 2 (3)过抛物线 x = 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,则弦 AB 的中点 M 的

轨迹方程是________(答: x 2 = 2 y 2 ); 注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择 注意 向量的几何形式进行"摘帽子或脱靴子"转化,还是选择向量的代数形式进行"摘帽子或 脱靴子"转化.

x2 y2 + = 1( a > b > 0) 的左,右焦点分别是 F1 a2 b2 (-c,0) 2(c,0) ,F ,Q 是椭圆外的动点,满足 | F1Q |= 2a. 点
如已知椭圆 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满足

PT TF2 = 0, | TF2 |≠ 0. ( 1 ) 设 x 为 点 P 的 横 坐 标 , 证 明

c (2)求点 T 的轨迹 C 的方程; (3)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存 x; a 2 在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由. b2 b2 2 2 2 (答: (1)略; (2) x + y = a ; (3)当 > a 时不存在;当 ≤ a 时存在,此时∠ c c | F1 P |= a +
F1MF2=2) ②曲线与曲线方程,轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注 意轨迹上特殊点 特殊点对轨迹的"完备性与纯粹性"的影响. 特殊点 ③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于 常借助于"平面几何性质"数形结合(如角平分线 常借助于 的双重身份――对称性, 利用到角公式), "方程与函数性质" 化解析几何问题为代数问题, "分类讨论思想"化整为零分化处理, "求值构造等式,求变量范围构造不等关系"等等. ④如果在一条直线上出现"三个或三个以上的点 ,那么可选择应用"斜率或向量" 出现" 可选择应用" 出现 三个或三个以上的点" 可选择应用 斜率或向量" 为桥梁转化. 为桥梁 14,解析几何与向量综合时可能出现的向量内容 与向量综合时可能出现的向量内容: 14,解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量 u = (1, k ) 或 u = (m, n ) ; ) (2)给出 OA + OB 与 AB 相交,等于已知 OA + OB 过 AB 的中点; ) (3)给出 PM + PN = 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; ) (4)给出 AP + AQ = λ BP + BQ ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线; ) (5) 给出以下情形之一:① AB // AC ;②存在实数 λ , 使AB = λ AC ;③若存在实 数 α , β , 且α + β = 1, 使OC = α OA + β OB ,等于已知 A, B, C 三点共线. ( 6 ) 给出 OP =

(

)

OA + λ OB , 等 于已 知 P 是 AB 的 定比 分点 , λ 为 定比, 即 1+ λ

AP = λ PB
(7) 锐角, 给 出 MA MB = 0 , 等 于 已 知 MA ⊥ MB , 即 ∠AMB 是 直 角 , 给 出

MA MB = m < 0 ,等于已知 ∠AMB 是钝角, 给出 MA MB = m > 0 ,等于已知 ∠AMB 是

MA MB + (8)给出 λ ) = MP ,等于已知 MP 是 ∠AMB 的平分线/ MA MB (9)在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB + AD ) ( AB AD ) = 0 ,等于已知 ABCD )
是菱形; (10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB + AD |=| AB AD | ,等于已知 ABCD 是 ) 矩形; (11)在 ABC 中,给出 OA = OB = OC ,等于已知 O 是 ABC 的外心(三角 11) 形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; 12) (12) 在 ABC 中,给出 OA + OB + OC = 0 ,等于已知 O 是 ABC 的重心(三角 形的重心是三角形三条中线的交点) ; (13)在 ABC 中,给出 OA OB = OB OC = OC OA ,等于已知 O 是 ABC 的 )
2 2 2

垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点) ; (14)在 ABC 中,给出 OP = OA + λ ( )

AB AC + ) (λ ∈ R + ) 等于已知 AP 通过 | AB | | AC |

ABC 的内心;
( 15)在 ABC 中,给出 a OA + b OB + c OC = 0, 等于已知 O 是 ABC 的内心 ) (三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ; (16) 在 ABC 中,给出 AD = ) 线;

1 AB + AC ,等于已知 AD 是 ABC 中 BC 边的中 2

(

)


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