9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

二面角的几种求法



二面角的几种求法
4.1 概念法 顾名思义,概念法指的是利用概念直接解答问题。 例 1:如图 2 所示,在四面体 ABCD 中, AC ? AB ? 1 , CD ? BD ? 2 , AD ? 3 。求二 面角 A ? BC ? D 的大小。

图2

分析:四面体 ABCD 的各个棱长都已经给出来了,这是一个典型的根据长度求角

度 的问题。 解:设线段 BC 的中点是 E ,接 AE 和 DE 。
CD ? BD ? 2 , 根据已知的条件 AC ? AB ? 1 , 可以知道 AE ? BC 且 DE ? BC 。 又 BC

是平面 ABC 和平面 DBC 的交线。 根据定义,可以得出: ?AED 即为二面角 A ? BC ? D 的平面角。 可以求出 AE ?
3 , DE ? 3 ,并且 AD ? 3 。 2

根据余弦定理知:
AE 2 ? DE 2 ? AD 2 cos ?AED ? ? 2 AE ? DE ( 3 2 ) ? ( 3) 2 ? 32 7 2 ?? 4 3 2? ? 3 2

7 即二面角 A ? BC ? D 的大小为 ? ? arccos 。 4

同样,例 2 也是用概念法直接解决问题的。

1

例 2:如图 3 所示, ABCD 是正方形, PB ? 平面ABCD , PB ? AB ? 1 ,求二面角
A ? PD ? C 的大小。

图3

解:作辅助线 CE ? PD 于点 E ,连接 AC 、 AE 。 由于 AD ? CD , PA ? PC ,所以 三角形PAD ? 三角形 PCD。即 AE ? PD 。由于
CE ? PD,所以 ?AEC 即为所求的二面角的大小。

通过计算可以得到: PC ? 2 , PD ? 3 ,又 CD ? 1 ,在三角形 PCD 中可以计算 得到 CE ?
6 6 。由此可以得到: AE ? CE ? ,又 AC ? 2 。 3 3

2 2 2 2 2 ? ?2 AE ? CE ? AC 1 由余弦定理: cos ?AEC ? ?3 3 ?? 2 2 AE ? AC 2 2? 3 2? 即: ?AEC ? 。 3
4.2 空间变换法 空间变换法指的是基本的空间方法,包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等 方法。 下面用例 3 介绍三垂线法、补角法和垂面法。

2

例 3: 如图 4 所示, 现有平面 ? 和平面 ? , 它们的交线是直线 DE , 点 F 在平面 ? 内, 点 C 在平面 ? 内。求二面角 F ? DE ? C 的大小。

图4

分析:过点 C 作辅助线 CA 垂直于 DE ,作 CB 垂直于平面 ? 于点 B 。 4.2.1 补角法 直 接 求 解 二 面 角 F ? DE ? C 的 大 小 是 有 些 困 难 的 , 那 么 可 以 先 求 解 二 面 角
C ? DE ? B 。因为二面角 F ? DE ? C 与二面角 C ? DE ? B 是互补的关系,现在先求出

二面角 C ? DE ? B 后,二面角 F ? DE ? C 的大小就很容易计算了。 4.2.2 三垂线法 由于 CA ? DE , CB ? 平面 ? 。那么根据三垂线定理可以得知: CA 在平面 ? 内的 射影 AB 垂直于两平面的交线 DE 。即 AC ? DE 且 AB ? DE ,根据定义可知,二面角
C ? DE ? B 的大小即为 ?CAB 的大小。那么二面角 F ? DE ? C 的大小可以用补角法得

到。
4.2.3 切平面法

切面法的基本思想是做一个垂面,它垂直于两个平面的交线,在所得的图形中就可 以很容易观察与计算二面角。如图 4 所示,可以作平面 CAB 垂直于两个平面的交线
DE ,平面 CAB 与平面 ? 的交线是 AC ,平面 CAB 与平面 ? 的交线是 AB ,根据二面

角的定义知 ?CAB 即为所求二面角的补角,根据补角法,可以求出二面角 F ? DE ? C 的大小。 下面用例 4 来详细讲解一下切平面法。
3

例 4: 在图 5 中,PA ? 平面ABC ,?ABC ? 90o 。 其中 PA ? AB ? 1 ,PB ? BC ? 2 。
E 是 PC 的中点, DE ? PC 。求二面角 C ? BD ? E 的大小。

图5

解:由于 E 是 PC 的中点,且 ?PBC 是等腰三角形,那么 BD ? PC 。 又 DE ? PC ,可以推出: PC ? 平面BDE 。所以: PC ? BD 。 又 PA ? 平面ABC ,则 BD ? PA ,所以 BD ? 平面PAC 。 可以得出: 平面PAC 是 平面CBD 和 平面EBD 的公共切平面。 由此,根据切平面法知 ?CDE 即为所求二面角的平面角。 由于 VCDE ? ?CPA ,那么:

CD ?

CE 1 2 3 CE 1 3 , DE ? 。 ? CP ? ?2 ? ? PA ? ?1 ? CA 3 CA 3 3 3
1 1 1 PC ? BP 2 ? BC 2 ? 2 ? 2 ? 1。 2 2 2

又: CE ?

在三角形 CDE 中根据余弦定理可知:

4 1 2 ? ?1 CD ? DE ? CE 1 cos ?CDE ? ? 3 3 ?3? 2CD ? DE 3 2 3 4 2 2? ? 3 3 3
2 2 2

那么 ?CDE ? 60o 。 即求二面角 C ? BD ? E 的大小是 60 o 。
4

4.2.4 补形法

以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法,以下通过一个单独的例子 来讲解第四种方法——补形法。 例 5:在图 6 中, PA ? 平面ABCD ,四边形 ABCD 是一个直角梯形,其中 PA ? 1 ,
AD ? 1 , CD ? 1 , AB ?

1 。 ?BAD ? ?ADC ? 90? 。求平面 PAD 与平面 PBC 所成二 2

面角的大小。

图6

解:延长直线 DA 与 BC ,它们相交于点 E ,连接 PE 。 由题意可知, BA 平行于 CD , AB 的长度是 CD 的一半,且 BA ? AD , BA ? PA , 那么 BA ? 平面PED , CD ? 平面PED , AE ? 1 , PE ? 2 。 在三角形 PED 中, PD ? PE ? 2 , ED ? AE ? AD ? 2 。那么根据勾股定理可知
?DPE ? 90? ,即 DP ? PE 。

CD ? 平面PED , DP ? PE ,且 DP 是 CP 在平面 PED 内的射影,根据三垂线定理

知: CP ? PE 。 又 DP ? PE ,即 ?CPD 即为所求的二面角。 在 Rt ?CDP 中, CD ? 1 , PD ? 2 , PC ? 3 。那么 cos ?CPD ?
6 3 6 。 3

即: ?CPD ? arccos

5

所以平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的大小是 arccos

6 。 3

在有些问题中,所给的图形不是能够很好观测到二面角的平面角,可以通过补形的 方法来观测二面角的平面角。 在例 5 中, 很好的运用了补形法和三垂线法来解决问题, 这也告诉我们,可以在一个问题中使用多种方法来达到解决问题目的。

4.3 空间向量法
4.3.1 二面角和两平面的夹角之间的关系

两平面的夹角有两个,它们之间互补,取它们中角度较小的为 ?1 ,那么 ?1 的取值范

? 围是 (0, ] 。而二面角是指两个特定的半平面所组成的图形,二面角 ?2 的取值范围是 2
(0, ? ) 。

但是我们可以利用两个平面的夹角来求二面角,它们之间的关系具体如下: 如果 0 ? ? 2 ? 如果

?
2

, ?2 ? ?1 。 (1)

?
2

? ? 2 ? ? , ?2 ? ? ? ?1 。 (2)

因此,在用空间向量法求解二面角的时候,必须先判断二面角的大小是锐角还是钝 角,然后由以上发现的规律来求解。当然,前提是先求出两平面的夹角。
4.3.2 平面法向量的求法

两平面间的夹角一般根据两平面的法向量来求。如果平面方程已知,平面的法向量 可以直接给出,如果平面方程未知,法向量可以根据平面内的三个点的坐标求出来。 如图 7 所示: 例 6 : 如 图 7 所 示 在 平 面 ? 内 , 已 知 三 点 X ? ( x1 , y1 , z1 ) , Y ? ( x2 , y2 , z2 ) ,

Z ? ( x3 , y3 , z3 ) 。

6

图7

v 下面求解平面 ? 的一个法向量 n 。
解法一: 求平面的法向量的大小,可以用该平面内的两个向量的矢性积来求,即:

v uuu v uuu v n ? XY ? XZ

uuu v uu u v 又 XY ? {x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1} , XZ ? {x3 ? x1, y3 ? y1, z3 ? z3}
可以求出:
v y ?y n ?{ 2 1 y3 ? y1 z2 ? z1 z2 ? z1 , z3 ? z 3 z 3 ? z 3 x2 ? x1 x2 ? x1 , x3 ? x1 x3 ? x1 y2 ? y1 y3 ? y1 }

解法二: 设平面 ? 的方程为 Ax ? By ? Cz ? D ? 0 将点 X , Y , Z 的坐标分别代入方程可以解出系数 A , B , C , D 。 在此特别强调一下, 三个点带入方程后得到的应该是一个四元三次方程, 可能无解, 如果有解,那么一定有无数多个解。可以通过解方程,将 A , B , C 全部用 D 表示, 这样就可以得到一个形如 2Dx ? 5Dy ? 4Dz ? D ? 0 的方程,可以将新得到的方程两边 同时除以 D ( D一定不等于0 ,否则 A=B ? C ? D ? 0 ,方程无意义) ,那么就可以得 到平面的方程 2 x ? 5 y ? 4 z ? 1 ? 0 。

v 得到了平面的一般方程,即得平面的法向量坐标 n ? {A, B, C} 。
解法三:
uuu v uuu v 在图 7 中,由所给的信息,可以求出向量 XY 、 XZ 的大小。设平面 ? 的一个法向

v 量 n ? {x, y, z} 。

7

uuu v uu u v 若 XY ? {a1, b1, c1} , XZ ? {a2 , b2 , c2} 。
v uuu v v uuu v 由 n ? XY ? 0 , n ? XZ ? 0 可以得到:

? a1 x ? b1 y ? c1 z ? 0 ? ?a2 x ? b2 y ? c2 z ? 0
可以求解出 x , y , z 的关系。此方程一定有无数多个解,可以将 x , y 用 z 表示。

v v 如 n ? {2z, 4 z, z} ,由此可知向量 n ? {2, 4,1} 是平面 ? 的一个法向量。
4.3.3 两平面夹角的公式

u vu u v 两平面相交时,定义它们之间的夹角 ? 为它们法向量的夹角为 ? n1 , n2 ? ,其中 u v 。于是: ni ? { Ai , Bi , Ci }, i? 1, 2
u v u u v n1 ? n2 cos ? ? u v u u v ? n1 ? n2 A1 ? A2 ? B1 ? B2 ? C1 ? C2 A12 ? B12 ? C12 ?
2 2 2 A2 ? B2 ? C2

4.3.4 两平面的夹角转化成二面角

利用上述方法,先求出两平面的法向量,再求两平面的夹角,最后可以根据(1) 、 (2)求出二面角的大小。 例 7: 如图 8 所示, 四边形 ABCD 是一个矩形, 点 E 和点 F 分别在边 AD 和边 AB 上, 其中 AE ? AF ? ED ? 4 , FB ? 6 。现在以直线 EF 为折痕,将三角形 AEF 折起,得到 三角形 A ' EF ,同时使得平面 A ' EF 与底面 ABCD 垂直。求二面角 A '? FB ? C 的大小。

8

图8

解:以点 A 为坐标原点,建立如图 8 所示的直角坐标系 A ? xyz ,设点 H 是线段 EF 的中点,连接 A ' H 。可以得到:

uuu v uuv A(0, 0, 0) , A '(2, 2, 2 2) , C (10,8, 0) , F (4,0,0) , FA ' ? {?2, 2, 2 2} , FB ? {6,0,0} 。
uuuu v uuu v 由于 A ' E ? A ' F ,所以 A ' H ? EF 。

又平面 A ' EF 与底面 ABCD 垂直。 uuuu v 所以: A ' H ? 平面ABCD 。

uuu v 即 HA ' ? (0,0, 2 2) 是底面 ABCD 的一个法向量。
v uuu v v uuv v 设 n ? ( x, y, z) 是平面 A ' FB 的一个法向量。那么: n ? FA ' ? 0 , n ? FB ? 0
? ??2 x ? 2 y ? 2 2 z ? 0 即: ? 6x ? 0 ? ?

v 那么: x ? 0 , y ? ?2 , z ? 2 ,即 n ? {0, ?2, 2} 。 uuu v v uuu vv HA ' ? n 3 cos ? HA ', n ?? uuu v v ? 3 HA ' ? n
即二面角 A '? FB ? C 的大小为 arccos 4.4 另类方法
3 3

9

比较常用的另类方法是四面体体积法、角度法和面积摄影法。
4.4.1 四面体体积法

例 8:如图 9 所示,在空间四面体 A ? BCD 中,四面体的所有棱长都是 1,求二面 角 A ? BD ? C 的大小。

图9

分析:过点 A 作辅助线 AO ? 平面 BCD 于点 O ,过点 A 作辅助线 AE ? BD 于点 E , 连接直线 EO ,?AEO ? ? ,sin ? ?
AO 。 由于四面体 A ? BCD 是一个正四面体, ?AEO AE

即为所求二面角。 (也可以推导出当四面体不是正四面体时 ?AEO 同样是所求的二面 角) 正四面体 A ? BCD 的棱长是 1,可以求出正四面体 A ? BCD 的体积是
2 12

VA? BCD ?

1 AO ? S BCD 3

AO ? S BCD ? ( BD ? AE ) AE 2sin ? ? S BCD ? S ABD ? ? 3 BD 3 BD
2 3 , BD ? 1 , S ABD ? S BCD ? 12 4

根据已知条件可知: VA? BCD ? 可以求出: sin ? ?

2 2 2 2 ,即: ? ? arcsin 。 3 3

当四面体 A ? BCD 不是正四面体时也可以用这种方法求解,只需要知道体积、两个 面的面积、公共边的长度就可以解出二面角的大小了。
10

4.4.2 角度法

例 9:如图 10 所示,以点 A 为顶点的三条射线分别是 AB 、 AC 、 AD ,其中 AB 、
AD 的夹角是 ?1 , AB 、 AC 的夹角是 ?2 , AC 、 AD 的夹角是 ?3 。现在要求二面角

C ? AB ? D 的大小。

图 10

分析:现在设 CB ? AB ,并且 DB ? AB (由于 AB 、 AC 、 AD 的长度没有给出, 这样的假设是合理可行的) ,那么 ?CBD 即为所求二面角的大小。 根据已知条件可以得到:

BD ? AB ? tan?1 , AD ? BC ? AB ? tan ?2 , AC ?
2 2 2

AB cos ?1 AB cos ?2

又 CD ? AC ? AD ? 2 AC ? AD ? cos ?3 将 AD ?
2

AB cos ?1
2

、 AC ?

AB cos ?2

带入得到:

CD ? AB (

2cos ?3 1 1 ? ? ) 2 2 cos ?1 cos ?2 cos ?1 ? cos ?2

在三角形 BCD 中,
BC ? BD ? CD cos ?CBD ? 2 BC ? BD
2
2 2 2

AB ? tan 2 ?1 ? AB ? tan 2 ?2 ? AB ( ?
2

2

2

2cos ?3 1 1 ? ? ) 2 2 cos ?1 cos ?2 cos ?1 ? cos ? 2

2 AB ? tan ?1 ? tan ?2
11

(tan 2 ?1 ? ?

2cos ?3 1 1 ) ? (tan 2 ? 2 ? )? 2 2 cos ?1 cos ? 2 cos ?1 ? cos ? 2 2 tan ?1 ? tan ? 2

2 cos ?3 ?1?1 cos ?1 ? cos ? 2 ? 2 tan ?1 ? tan ? 2
? cos ?3 ? cos ?1 ? cos ? 2 cos ?1 ? cos ? 2 cos ?3 ? cos ?1 ? cos ? 2 cos ?1 ? cos ? 2

即: ?CBD ? arccos

通过这种方法,可以在没有任何长度条件的情况下求解出二面角的大小,因此,该 方法是一个比较特殊实用的方法。
4.4.3 面积射影法

例 10:如图 11 所示,在空间直角坐标系 O ? XYZ 中,点 A 、 B 、C 分别在 X 、Y 、
Z 轴上,现在要求二面角 O ? AB ? C 的大小 ? 。

图 11

分析:作 CD ? AB 并且 CD 与 AB 相交于点 D 。连接 OD 。根据三垂线定理可知:
OD ? AB 。即: ?CDO 即为所求二面角 ? 。

在 ?CAB 中, S ?CAB ? 在 ?OAB 中, S?OAB

1 CD ? AB 。 2 1 ? OD ? AB 。 2

并且 OD ? CD ? cos? 。

12

?OAB 是 ?CAB 在平面 XOY 内的射影。

由以上的条件可以得到:

S?OAB S?CAB

1 OD ? AB OD 2 ? ? ? cos ? 1 CD CD ? AB 2

即: ? ? arccos

OD S?OAB (其中 ?OAB 是 ?CAB 在平面 XOY 内的射影。 ) ? arccos S?CAB CD

用另外一种简便语言表示就是:

? ? arccos

S三角形 S射影三角形

13



更多相关文章:
二面角大小的几种求法(归类总结分析)
二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强,方法的灵活性较大,一般而言,二面角的大小往往转化 为其平面角的大小,从而又化归为三角形的内角大小,在...
二面角大小的几种求法(归类总结分析)
二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强,方法的灵活性较大,一般而言,二 面角的大小往往转化为其平面角的大小,从而又化归为三角形的内角大小,...
立体几何中二面角的求法
专题五 专题五 立体几何中二面角的求法★★★高考在考什么 高考在考什么二面角的求法是立体几何中的重点, 也是立体几何的难点, 从近几年的高考试题 来看,几乎...
高中立体几何中二面角经典求法
4、空间坐标法求二面角的大小 5、平移或延长(展)线(面)法 6、射影公式 S ...大小的方法很多,诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种。...
二面角的求法
二面角的求法_理化生_高中教育_教育专区。二面角的几种求法 1.引言在高中空间几何的问题中, 如何去求解两个平面的二面角的问题对很多同学来说十 分棘手。许多...
2013高中数学立体几何二面角问题求解方法大全
可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解,用向量法解立体几 何题时,通常要...B l C 二面角大小的求法答案 定义法:本定义为解题提供了添辅助线的一种规律...
求二面角的几何法
3 种求二面角的几何法二面角的度量问题是立几中学生比较困难的一个问题,课本上是通过它的平面角来进行度量的,关 键在于充分利用平面角的定义。下面来介绍求二面角...
二面角问题求解方法大全
五法求二面角 一、 定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面, 在棱上取 点,分别在...
高中必修2立体几何二面角的经典求法
高中必修2立体几何二面角的经典求法_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高中必修2立体几何二面角的经典求法_数学_高中教育_教育专区。...
更多相关标签:
二面角的求法    法向量求二面角    二面角的平面角的求法    求二面角的方法    法向量求二面角公式    二面角求法    二面角的求法例题带图    二面角的求法例题解析    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图