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湖北省黄冈中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学文试题 (word,含答案)



湖北省黄冈中学 2013-2014 学年高二上学期期末考试 数学文试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1.命题:“对任意的 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ≤ 0 ”的否定是 ( A. 不存在 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ≤ 0
3 2 ? x0 ?1

? 0 C. 存在 x0 ? R, x0

)

3 2 ? x0 ? 1≤ 0 B. 存在 x0 ? R, x0

D. 对任意的 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 )

2.椭圆 A. 1

x2 y2 ? ? 1 的焦距为( 4 3
B.

7
2 2

C. 2

D. 2 7 )

3.对于常数 m 、 n ,“ mn ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 的曲线是椭圆”的( A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 4.已知函数 f ( x) ? ( x ? 3)e ,则 f ?(0) =(
x

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ) C. 3
2

A. 2

B. ?2

D. 4 )

5.斜率是 1的直线经过抛物线 y ? 4 x 的焦点,与抛物线相交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的长是( A. 2 B. 4 C. 4 2
2 2

D. 8 )

6.在区间 [0, 4] 内随机取两个实数 a, b ,则使得方程 x ? ax ? b ? 0 有实根的概率是( A.
1 4

B.

1 3

C.

1 6

D.

5 6

7.过椭圆

x2 y2 ? ? 1 内的一点 P(2,?1) 的弦恰好被 P 点平分,则这条弦所在的直线方程是( 6 5
B. 5x ? 3 y ? 13 ? 0 D. 5x ? 3 y ? 13 ? 0

)

A. 5x ? 3 y ? 13 ? 0 C. 5x ? 3 y ? 13 ? 0

8. 已知函数 f ( x) 的图象是下列四个图象之一, 且其导函数 f ?( x) 的图象 如右图所示,则该函数的图象是( )

-1-

A
3

B

C )

D

9.已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? a 有三个零点,则 a 的取值范围为( A. (??, ?2) ? (2, ??) C. (?2, 2)

B. (??, 2] ? [2, ??) D. [-2, 2]

10. 如 图 , F1 , F2 是 椭 圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 与 双 曲 线 C2 的 公 共 焦 4

y A F1 O B 第 10 题图 F2 x

点 , A, B 分别是 C1 , C 2 在第二、四象限的公共点 . 若四边形

AF1 BF2 为矩形,则 C 2 的离心率是(
A. 2

) B. 3

C.

3 2

D.

6 2

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.把答案填在答题卡相应位置上.) 11. 在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为 12. “若 x ? y ,则 x ? y ”的逆否命题是
2 2

.

13. 右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米, 水位下降 2 米后,水面宽 米. 4x 14.函数 f ( x) ? 2 , x ?[?2,2] 的最大值是________,最小值是________. x ?1

13 题图

x2 y 2 1 ? ? 1 上任取一点 P ,点 M 在线段 OP 上,且 OM ? OP ,当点 P 在椭 15.已知 O 为原点,在椭圆 36 27 3
圆上运动时,点 M 的轨迹方程为 16.若点 O 和点 F 分别为椭圆 大值为 . . .

??? ? ??? ? x2 y2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 OP?FP 的最 4 3

17.若直线 y ? kx ? 1 与曲线 x ? y 2 ? 1 有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围是
-2-

三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 18. (本小题满分 12 分)设 p :方程 x2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根, q :方程
4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围.

19. (本小题满分 13 分)已知双曲线 C1 : 渐近线,且过点 A . ( 1, 0) (1)求双曲线 C1 的标准方程

x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的与双曲线 C 2 : 3x 2 ? y 2 ? 1有公共 2 a b

(2)设 F1、F2 分别是双曲线 C1 左、右焦点.若 P 是该双曲线左 支上的一点,且 ?F1 PF2 ? 60? ,求 ?F1 PF2 的面积 S.

2 20. (本小题满分 13 分)设 f ( x) ? 6lnx ? ax ? 10ax ? 25a ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处

?

?

的切线与 y 轴相交于点 (0,6) . (1)求 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值.

21. (本小题满分 13 分)已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线方程为

x ? ?2 . (1)求此抛物线的方程;
-3-

(2)已知点 B(?1,0) ,设直线 l : y ? kx ? b(k ? 0) 与抛物线 C 交于不同的两点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,若 x 轴 是 ?PBQ 的角平分线, 证明直线 l 过定点,并求出该定点坐标.

22. (本小题满分 14 分)如图,点 P(0,?1) 是椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点, C1 的长轴是圆 a 2 b2

C2 : x 2 ? y 2 ? 4 的直径. l1 , l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中斜率为 k 的直线 l1 交圆 C2 于 A,B 两
点, l 2 交椭圆 C1 于另一点 D (1)求椭圆 C1 的方程; (2)试用 k 表示 ?ABD 的面积 S; (3)求 ?ABD 面积 S 取最大值时直线 l1 的方程.
A (第 22 题图) O P l2 y l1 D B x

-4-

参考答案
CCBBD,A ABCD 11.

1 3

12.若 x ? y ,则 x ? y
2 2

13. 4 2

14.2 ;-2

15.

x2 y2 ? ?1 4 3

16. 6

17. ? 2 ? k ? ?1

?? ? m2 ? 4 ? 0 18.若 p 为真,则 ? ?m?2 ??m ? 0

若 q 为真,则 ? ? 16( m ? 2) 2 ? 16 ? 16( m ?1)( m ? 3) ? 0 ?1 ? m ? 3 由 p 或 q 为真,p 且 q 为假知,p 和 q 一真一假
?m ? 2 ?m ≤ 2 ①若 p 真 q 假,则 ? ? m ≥ 3 ②若 p 假 q 真,则 ? ? km ≤ 2 ?1 ? m ? 3 ?m ≤ 1或m ≥ 3

综上知 1 ? m ≤ 2 或 m ≥ 3 19.解: (1) x2 ?

y2 ?1 , 3

(2)设 PF2 ? m, PF1 ? n ,则 m ? n ? 2
2 2 ? 在 ?F1 PF2 中,由余弦定理有 16 ? m ? n ? 2mn cos 60 ? m ? n ? 2mn ? mn 2

?mn ? 12

1 1 ? S ? m sn i n ? 6 0 ? 2 2

3 ? 1? 2 2

?

3

3

20.(1)因为 f ?( x) ? 2a( x ? 5) ?

6 令 x ? 1, 得f (1) ? 16a, f ?(1) ? 6 ? 8a, 所以曲线y ? f ( x) x

在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 16a ? (6 ? 8a)( x ? 1) 由点 (0,6) 在切线上可得 6 ? 16a ? 8a ? 6, 故a ?
1 . 2

1 6 ( x ? 2)( x ? 3) (2)由(1)知, f ( x) ? ( x ? 5)2 ? 6ln x( x ? 0) , f ?( x) ? x ? 5 ? ? 2 x x

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 2, x2 ? 3 当 0 ? x ? 2 或 x ? 3 时, f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 在 (0, 2),(3, ??) 上为增函数;当 2 ? x ? 3 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (2,3)上为减函数. 由此可知, f ( x) 在 x ? 2 处取得极大值 f (2) ? 21. 解:(1)
9 ? 6ln 2 ,在 x ? 3 处取得极小值 f (3) ? 2 ? 6ln 3 2

y 2 ? 8x

(2)将 y ? kx ? b代入y 2 ? 8x 中,得 k 2 x 2 ? (2bk ? 8) x ? b2 ? 0 , 其中 ? ? ?32kb ? 64 ? 0
-5-

b2 8 ? 2bk , ① x1 x2 ? 2 . ② 2 k k y1 y2 ∵x 轴是∠PBQ 的解平分线, ∴ ,即 y1 ( x2 ? 1) ? y2 ( x1 ? 1) ? 0, ?? x1 ? 1 x2 ? 1

由根与系数的关系得, x1 ? x2 ?

∴ (kx1 ? b)( x2 ? 1) ? (kx2 ? b)( x1 ? 1) ? 0 ,∴ 2kx1 x2 ? (b ? k )( x1 ? x2 ) ? 2b ? 0 ,③ 将①②代入③并整理得 2kb2 ? (k ? b)(8 ? 2bk ) ? 2k 2b ? 0 , ∴ k ? ?b ,此时△>0 ∴直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即直线 l 过定点 (1, 0) . 22.解:(1)由已知得到 b ? 1 ,且 2a ? 4 ? a ? 2 ,所以椭圆的方程是

x2 ? y 2 ? 1; 4
y ? 1 ? 0 ,直线

?1 ? k x ? (2) 因 为 直 线 l1 ? l2 , 且 都 过 点 P( 0 ? , 1, )所 以 设 直 线 l1 : y? k x

1 , 所以圆心 (0, 0) 到直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ?1 ? 0的距离为 l2 : y? ? x ?1 ? x ? k y ? k 0 ? k
d? 1 1? k
2

,所以直线 l1 被圆 x ? y ? 4 所截的弦

2

2

AB ? 2 4 ? d ?

2

2 3 ? 4k 2 1? k2

? x ? ky ? k ? 0 ? ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 ; 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4

xD ? xP ? ?

8k 1 64k 2 8 k2 ?1 ? | DP | ? (1 ? ) ? ,所以 k2 ? 4 k 2 (k 2 ? 4) 2 k2 ? 4

S?
(3)

1 1 2 3 ? 4k 2 8 k 2 ? 1 8 4k 2 ? 3 | AB || DP |? ? ? 2 ? 2 2 k ?4 k2 ? 4 1? k 2

S?

8 4k 2 ? 3 4 ? 8 4k 2 ? 3 ? k2 ? 4 4k 2 ? 3 ? 13

?

32 4k ? 3 4k 2 ? 3
2

?

13 4k 2 ? 3
13

?

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k ? 3
2

?

32 2 13

?

16 13 , 13

当 4k ? 3 ?

2

4k ? 3

2

? k2 ?

5 10 10 ?k?? x ?1 时等号成立, 此时直线, l1 : y ? ? 2 2 2

-6-



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