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函数的单调性与导数关系教案



高二数学文科导数教案
保定市涞源县第一中学 课 题 于龙
第一课时(选修 1-1)

3.3.1 函数的单调性与导数

教学目标

知识目标:能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间,能由导数信息绘制函 数大致图象。 能力目标:培养学生的观察能力、归纳能力,增强数形结合的思维意识。 情感目标:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,引导学生养成 自主学习的学习习惯。 教学重点:探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。 教学难点:利用导数信息绘制函数的大致图象。 发现式 启发式 教具 多媒体 课型 新授课

教学重难点
教学方法

一、复习回顾 1.基本初等函数的导数公式

(1) (3) (5)

(C )? ? 0 (sin x)? ? cos x

(2) (4) (6)

( x ? )? ? ?x ? ?1
(cosx)? ? ? sin x

(a x )? ? a x ln a
(log a x)? ? 1 x ln a

(ex )? ? ex
(ln x ) ? ? 1 x,

(7)

(8)

2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x 即: k切线 ? f '( x0 ) 二、复习引入: 1.要判断 y = x2 的单调性,如何进行? 2 . 还 有 没 有 其 它 方 法 ? 0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x 0 ,f(x ))处的切线的斜率. 0

如函数:f ( x) ? x3 ? 3x如何判断单调性呢?
三、新课讲授 1.问题:图 3.3-1(1) ,它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化 的函数 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 的图像,图 3.3-1(2)表示高台
2

跳 水 运 动 员 的 速 度 v 随 时 间 t 变 化 的 函 数

v(t ) ? h' (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像.

运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 通过观察图像,我们可以发现: (1) 运动员从起点到最高点,离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加,即 h(t ) 是增函数.相应地,

v(t ) ? h' (t ) ? 0 .
(2) 从最高点到入水,运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少,即 h(t ) 是减函数.相应地,

v(t ) ? h' (t ) ? 0 .
2.函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.

3.结论:函数的单调性与导数正负的关系 在某个区间 ( a , b) 内, 如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;
' 如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减; ' 如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常函数.

4.求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ? f ( x) ;
' '

(3)解不等式 f ' ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式 f ' ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间. 四、典例分析 例 1.已知导函数 f ' ( x) 的下列信息: 当 1 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 试画出函数 y ? f ( x) 图像的大致形状. 解 : 当 1 ? x ? 4 时 , f ' ( x) ? 0 , 可 知

y ? f ( x) 在此区间内单调递增;
当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ;可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递减; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点” . 综上,函数 y ? f ( x) 图像的大致形状如图 3.3-4 所示. 例 2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1) f ( x) ? x3 ? 3x ; (2) f ( x) ? x2 ? 2x ? 3

(3) f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1 解: (1)因为 f ( x) ? x3 ? 3x ,所以,

f ' ( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x2 ? 1) ? 0 因此, f ( x) ? x3 ? 3x 在 R 上单调递增,如图所示.
(2)因为 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,所以, f ( x) ? 2x ? 2 ? 2 ? x ?1?
'

当 f ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 单调递增;
' 2

当 f ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 单调递减;
' 2

函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 的图像如图所示.
2

(3)因为 f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ,所以, f ' ( x) ? cos x ?1 ? 0 因此,函数 f ( x) ? sin x ? x 在 (0, ? ) 单调递减,如图所示. (4)因为 f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1 ,所以 当 f ' ( x) ? 0 ,即 当 f ' ( x) ? 0 ,即 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 . ; ;

函数 f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1 的图像如图所示. 注: 、 (3)(4)生练

五、高考链接

1.函数y ? x cos x ? sin x在下面哪个区间内是增函数( ) ? 3? 3? 5? A. ( , ) B. (? , 2? ) C . ( , ) D. (2? , 3? ) 2 2 2 2
2.设 f '( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数, y ? f '( x )的图象如 右图所示,则 y ? f ( x ) 的图象最有可能的是( )

六、总结 (1)函数的单调性与导数的关系 (2)求解函数 y ? f ( x) 单调区间 (3)由导数信息绘制函数大致图象 七、作业设计 1.练习(做书上,课本 93 页)判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

教学反思



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