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《二倍角的正弦、余弦、正切公式》课件3



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教学目标
? 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础, 推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理 解推导过程,掌握其应用. ? 二、教学重、难点 ? 教学重点:以两角和的正弦、余弦和正 切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦 和正切公式; ? 教学难点:二倍角的理解及其灵活运用.

复习回顾:
? 完成下列和角公式<

br />
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? cos ?
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? 思考:
若 ? ? ? 我们可以得到怎样的结论?

讲授新课

令? ? ?

sin(? ? ?) ? sin ? cos? ? sin ? cos? sin(? ? ?) ? sin ? cos? ? sin ? cos?

sin 2? ? 2 sin ? cos ?
cos(? ? ?) ? cos? cos? ? sin ? sin ? cos(? ? ?) ? cos? cos? ? sin ? sin ?

cos2? ? cos ? ? sin ?
2 2

tan? ? tan? tan(? ? ?) ? 1 ? tan? tan? tan ? ? tan ? tan( ? ? ?) ? 1 ? tan ? tan ?

2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

一、倍角公式

sin 2? ? 2 sin ? cos ? (S2? )
cos2? ? cos ? ? sin ? (C2? )
2 2

2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

cos2? ? 1 ? 2 sin ? 2 cos2? ? 2 cos ? ? 1 1 ? cos 2? 2 sin ? ? 2 2 2 cos ? ? sin ? ? 1
2

(T2? )

公式左端的角是右端角的二倍
在这两个公式中分别 2a和cos2a 求出sin 2

1 ? cos 2? cos ? ? 2 2 2 cos ? ? 1 ? sin ? 2 2 sin ? ? 1 ? cos ? 2 2 2 2 cos2? ? cos ? ? sin ? ? (1 ? sin ?) ? sin ? 2 2 2 ? cos ? ? (1 ? cos ?) ? 1 ? 2 sin ? 2 ? 2 cos ? ? 1

公式变形:

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )
1 ? cos2? ? 2 cos ?
2

2

1 ? cos2? ? 2 sin 2 ?
1 ? cos 2? cos ? ? 2
2

? ?

升幂缩角公式

降幂扩角公式

1 ? cos 2? sin ? ? 2
2

二、公式理解:
? 1、对“二倍角”定义的理解:不仅“2α”是“α”,而且“α”是 2 3? 的二 倍角,“4α”是“2α”的二倍角, “3α”是 的二倍角。 2

C 2? 在任何条件下均成立 2、公式成立条件:S 2? 、


T2?成立,则需 1 ? tan2 ? ? 0且 tan ? 有意义

? ? k? ?
? k? ?

?

4



? ? ? k? ? (k ? Z ) 2

3、注意: 当 ? 但是

?
2

(k ? Z )

tan 时,

?

不存在,

tan2? ? tan(2k? ? ? ) ? 0

三、公式应用:
例1、(公式巩固性练习)求值

1、 sin 22。 30,cos22。 30,?

2 2、 2 cos ?1 ? 8 2
2

?

2 4

2 3、 sin ? cos ?? 8 8 2
2 2

?

?

试试看 伴你学134页8题

1 4、 8 sin cos cos cos ? 2 48 48 24 12

?

?

?

?

5 ? ( ,?), 例2、已知 sin ? ? ,? ? 13 2 求 sin 2? , cos 2? , tan 2? 的值。 ? 解: ? sin ? ? 5 ,? ? ( ,?), 13 2 12 cos ? ? ? 13 5 12 120

? ? sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? 2 ?

13 169 5 2 119 2 cos 2? ? 1 ? 2 sin ? ? 1 ? 2 ? ( ) ? 13 169 sin 2? 120 169 120 tan 2? ? ? (? ) ? ?? cos 2? 169 119 119

13

? (?

)??

? 例3证明恒等式

sin 2? ? sin ? 2 cos 2? ? 2sin ? ? cos ?
证明:左边
2

? tan ?

?

2sin ? cos ? ? sin ? 2(cos ? ? sin ? ) ? 2sin ? ? cos ?
2 2 2

sin ? (2 cos ? ? 1) ? cos ? (2 cos ? ? 1) ? tan ? =右边
所以等式成立

例4、化简:

sin 50 (1 ? 3 tan10 )
cos10 ? 3 sin10 ? sin 50 ? cos10 2sin 40 ? sin 50 ? cos10 2sin 40 ? cos 40 ? cos10 sin 80 ?1 ? cos10

注意:

切化弦

四、课堂练习
1 1、若 sin ? ? cos ? ? ? 2, tan ? ? 的值 ? 2? 1 tan ?

2、 cos

? 3、 2 ? sin 2 ? cos 4的值是?
2
2? 1 ? cos 4 3 3 3 3 2 ? cos 4 ? ? cos 4 ? (1 ? cos 4) ? (2cos 2) ? 3 cos 2 2 2 2 2 2

5

cos

5

? _______
4

2

3 cos2

5 7 4、若 ? ? ? ? ? ,则 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 2 2
原式 ? sin

? ? 2 sin 2 ? _______
2

?

2 2 2 5? ? 7? ? ? ? ? ? cos ? sin 4 2 4 2 2

? cos

?

? cos

?

? sin

?

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五、归纳总结
1、二倍角公式是和角公式的特例,体现将 一般化归为特殊的基本数学思想方法。 2、二倍角公式与和角、差角公式一样,反 映的都是如何用单角的三角函数值表示 复角(和、差、倍)的三角函数值,结 合前面学习到的同角三角函数关系式和 诱导公式可以解决三角函数中有关的求 值、化简和证明问题。
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