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2015高考大题之数列答案教师版



1、 (本题 12 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n(n+1)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 b3 bn (2)若数列{bn}满足:an= + + +…+ n ,求数列{bn}的通项公式; 3+1 32+1 33+1 3 +1 anbn (3)令 cn= (n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 4 (1)当 n=1 时

,a1=S1=2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,知 a1=2 满足该式 ∴数列{an}的通项公式为 an=2n. b1 b2 b3 bn (2)an= + + +…+ n (n≥1)① 3+1 32+1 33+1 3 +1 bn+1 b1 b2 b3 bn ∴an+1= + + +…+ n + n+1 ② 3+1 32+1 33+1 3 +1 3 +1 bn+1 + ②-①得, n+1 =an+1-an=2,bn+1=2(3n 1+1), 3 +1 故 bn=2(3n+1)(n∈N*). anbn (3)cn= =n(3n+1)=n· 3n+n, 4 ∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=(1× 3+2× 32+3× 33+…+n× 3n)+(1+2+…+n) 令 Hn=1× 3+2× 32+3× 33+…+n× 3n,① + 2 3 4 则 3Hn=1× 3 +2× 3 +3× 3 +…+n× 3n 1② ①-②得,-2Hn=3+32+33+…+3n-n× 3n 1=


( 3 1 ? 3n) + -n× 3n 1 1? 3

(2n ? 1)3 n ?1 ? 3 ∴Hn= 。 4
∴数列{cn}的前 n 项和 Tn=

(2n ? 1)3 n ?1 ? 3 n( n ? 1) + . 2 4

2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2an ? 2 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log2 an , cn =

1 ? ,记数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .若对 n ? N , bnbn ?1

Tn ? k ? n ? 4? 恒成立,求实数 k 的取值范围.
解: (1)当 n ? 1 时, a 1 ? 2 ,当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n?1 ? 2a n ? 2 ? (2a n?1 ? 2) 即:
an ? 2 ,? 数列 ?a n ? 为以 2 为公比的等比数列 a n ?1

?an ? 2n

(2)由 bn=log2an 得 bn=log22n=n,则 cn=

1 1 1 1 = = - , bnbn ?1 n ? n ? 1? n n ? 1

1 1 1 1 1 1 n + - +…+ - =1- = . 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 n n n 1 = 2 ∵ ≤k(n+4),∴k≥ = . 4 n ?1 (n+1)(n+4) n +5n+4 n+ +5 n
Tn=1- ∵n+

4 4 4 +5≥2 n +5=9,当且仅当 n= ,即 n=2 时等号成立, n n n



1 1 1 ?1 ? ≤ ,因此 k≥ ,故实数 k 的取值范围为 ? , ?? ? 4 9 9 ?9 ? n+ +5 n

3.数列{ an }的前 n 项和为 S n , an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列{ bn }满足 b1 ? S4 ? 0 ,

b9 ? a1 .

[]

(1)求数列{ an },{ bn }的通项公式; (2)若 cn ?

1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Wn . (bn ? 16) ? bn ?18 ?

解: (1)? an是Sn和 1等差中项,? Sn ? 2an ?1 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ?1) ? (2an?1 ?1) ? 2an ? 2an?1

? an ? 2an?1 ,
当 n ?1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ?1,? a1 ? 1

? an ? 0(n ? N ? ,?

an ?2 an ?1

∴数列 ?an ? 是以 a1 ? 1 为首项, 2 为公比的等比数列,

?an ? 2n?1, ………………………………………………………………………… 6 分 Sn ? a1 ? a2 ? ?? an ? 2n ?1
设 ?bn ? 的公差为 d , b1 ? ?S4 ? ?15 , b9 ? ?15 ? 8d ? 1 ?? d ? 2 .

?bn ? ?15 ? ? n ?1? ? 2 ? 2n ?17
(2) cn ?

………… …………………………………8 分

1 1 1 1 ? ?( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? 1 ……………………… ?Wn ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 ?? 1 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ?1 2n ? 1 ?? 2 4n ? 2
…14 分

4.已知等差数列 {an } 的公差为 2 ,前 n 项和为 S n ,且 S 1 , S2 , S4 成等比数列。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn = (?1)
n ?1

4n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an an ?1

解: (Ⅰ) d ? 2, S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 6d ,
2 ? S1, S2 , S4成等比? S2 ? S1S4

解得 a1 ? 1,? an ? 2n ?1 (Ⅱ) bn ? (?1)
n ?1

...................................... 5 分

4n 1 1 ? (?1) n?1 ( ? ) an an?1 2n ? 1 2n ? 1

........................7 分

1 1 1 1 1 当n为偶数时,Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? 3 3 5 5 7 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
?Tn ? 1 ? 1 2n ? 2n ? 1 2n ? 1
.......................10 分

1 1 1 1 1 当n为奇数时,Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? 3 3 5 5 7 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
? Tn ? 1 ? 1 2n ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1

? 2n , n为偶数 ? ? 2n ? 1 ?Tn ? ? ? 2n ? 2 , n为奇数 ? ? 2n ? 1

................... 13 分

5.已知数列 {an } 满足: a1 ?

1 3 , a2 ? , 2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2, n ? N * ) ,数列 {bn } 满足: 4 4 * b1 ? 0 , 3bn ? bn?1 ? n(n ? 2, n ? N ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn .
(Ⅰ)求证:数列 {bn ? a n }为等比数列; (II)求证:数列 {bn } 为递增数列; (Ⅲ)若当且仅当 n ? 3 时, Sn 取得最小值,求 b1 的取值范围. 解: (Ⅰ)? 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N * ) .

?{an } 是等差数列. 1 3 又? a1 ? , a 2 ? 4 4 1 1 2n ? 1 ? a n ? ? (n ? 1) ? ? ………………3 分 4 2 4 1 n ? bn ? bn ?1 ? (n ? 2, n ? N * ) 3 3 1 n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 1 1 2n ? 1 ? bn ?1 ? a n ?1 ? bn ? ? ? bn ? ? (bn ? ) 3 3 4 3 12 3 4 1 ? (bn ? a n ) . 3 1 又? b1 ? a1 ? b1 ? ? 0 4 1 1 ? {bn ? a n }是b1 ? 为首项,以 为公比的等比数列.………………6 分 3 4 1 1 n ?1 2n ? 1 (Ⅱ)? bn ? a n ? (b1 ? ) ? ( ) , a n ? . 4 3 4 1 1 2n ? 1 ? bn ? (b1 ? ) ? ( ) n ?1 ? . 4 3 4 1 2 1 1 n?2 当 n ? 2时, bn ? bn ?1 ? ? (b1 ? )( ) . 2 3 4 3 又 b1 ? 0 , ? bn ? bn?1 ? 0 . ?{bn } 是单调递增数列. ………………10 分
(Ⅲ)?当且仅当n ? 3 时, S n 取最小值.

?b3 ? 0 , ?? ?b4 ? 0

1 1 ?5 ? (b1 ? )( ) 2 ? 0 ? ?4 4 3 即? , ? 7 ? (b ? 1 )( 1 )3 ? 0 1 ? 4 3 ?4

? b1 ? (?47,?11) .………………14 分

6 已知等比数列 ?an ? 的公比为 q ? 0 ? q ? 1? ,且 a2 ? a5 ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

9 1 , a3a4 ? . 8 8

(2)设该等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,正整数 m, n 满足 条件的 m, n 的值. 解:

Sn ? m 1 ? ,求出所有符合 S n ?1 ? m 2

9 ? 1 a2 ? a5 ? ?a2 ? 1 ? ? ? ? ?a2 ? 8 (Ⅰ)? a3a4 ? a2 a5 ,? 由 ? 解得 ? 8 ,---------2 分 1 或? a5 ? ?a a ? 1 ? ? 8 ?a5 ? 1 ? 2 5 ? 8 ? 1 ?a1 ? 2 ? ? ? a1 ? .---------------------------------3 分 ?? 16 (舍) 1 或? q? ? ? ? 2 ?q ? 2

?1? ? an ? 2 ? ? ? . ?2?

n ?1

………………4 分

7. 已知等差数列 ?a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a2 ? 8, S 4 ? 40 错误!未找到引用源。.数列 ?bn ? (Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ? ? 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 2bn ? 3 ? 0 , n ? N ? .

?a n n为奇数 , 求数列 ?c n ? 的前 2n ? 1 项和 P2 n ?1 . ?bn n为偶数

解: (Ⅰ)由题意, ?

? a1 ? d ? 8 ?a1 ? 4 ,得 ? ,? an ? 4n . ?d ? 4 ?4a1 ? 6d ? 40

…………2 分

? Tn ? 2bn ? 3 ? 0 ,?当n ? 1时,b1 ? 3 , 当n ? 2时,S n ?1 ? 2bn ?1 ? 3 ? 0 ,两式相减,得 bn ? 2bn ?1 , (n ? 2)
数列 ?bn ?为等比数列,? bn ? 3 ? 2n ?1 . (Ⅱ) cn ? ? …………4 分

n为奇数 ? 4n . n ?1 ? 3 ? 2 n为偶数
……………6 分

P2 n ?1 ? (a1 ? a3 ? ? ? a2 n ?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? ? b2 n )
? [4 ? 4(2n ? 1) ? (n ? 1)] 6(1 ? 4n ) ? 2 1? 4

……………8 分 ……………10 分

? 22 n ?1 ? 4n 2 ? 8n ? 2

8.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,前 n 项和 S n ? (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设数列 ?

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 . 2

?

1 ? 是否存在实数 M , 使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都 ? 的前 n 项和为 Tn , ? an ?an?1 ?

成立?若存在,求出 M 的最小值;若不存在,请说明理由. 解: (1) (解法一)∵ S n ?

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 2 1 ∴ S n ?1 ? (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? 1 2
∴ an?1 ? Sn?1 ? Sn

1 ? [(n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)] 2
分 整理得 nan?1 ? (n ? 1)an ?1 ∴ (n ? 1)an ? 2 ? (n ? 2)an ?1 ? 1

…………………3

两式相减得 (n ? 1)an?2 ? nan?1 ? (n ? 2)an?1 ? (n ? 1)an ………………5 分 即 (n ? 1)an?2 ? 2(n ? 1)an?1 ? (n ? 1)an ? 0 ∴

an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 an?1
…………………7 an?1 分





an?2 ?

?

?

an

∴ 数列 ?an ? 是等差数列 且 a1 ? 3,得 a2 ? 5 ,则公差 d ? 2 ∴ an ? 2n ? 1 (解法二) ∵ Sn ? …………………8 分

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 2 1 ∴ S n ?1 ? (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? 1 2
∴ an?1 ? Sn?1 ? Sn

1 ? [(n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)] 2
整理得 nan?1 ? (n ? 1)an ?1 等式两边同时除以 n(n ? 1) 得 分 即

…………………3 分

an?1 an 1 , ? ? n ? 1 n n(n ? 1)

………………5

an ?1 an 1 1 1 ? ?? ? ? n ?1 n n(n ? 1) n ? 1 n
累加得

…………………6 分

an an an ?1 an ?1 an ? 2 a a a ? ? ? ? ? ?? ? 2 ? 1 ? 1 n n n ?1 n ?1 n ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 1 ? 3 n n ?1 n ?1 n ? 2 n ? 2 n ? 3 2 1 ? ?2 n
得 an ? 2n ? 1 (2) 由(1)知 an ? 2n ? 1 ∴ 分 ∴ …………………8 分

1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? an ?an?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

…………………10

Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 ? ( ? ) 2 3 2n ? 3 1 ? …………………12 6
1 6

分 则要使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立,只要 (Tn )max ? M ,所以只要 M ?

∴ 存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立,且 M 的最小值为

1 …………14 分 6

9. 若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意正整数 n 都有 6 S n ? 1 ? 2an 记 bn ? log 1 an .
2

(Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅲ)令 cn ?

n ?1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,证明:对于任意的 n ? N * ,都有 (n ? 2) 2 (bn ? 1) 2

Tn ?

5 . 64 1 . 8
…………1 分 …………3 分

解: (Ⅰ)由 6 S1 ? 1 ? 2a1 ,得 6a1 ? 1 ? 2a1 ,解得 a1 ?

6 S 2 ? 1 ? 2a2 ,得 6 ? a1 ? a2 ? ? 1 ? 2a2 ,解得 a2 ?
(Ⅱ)由 6 S n ? 1 ? 2an ……①,

1 . 32

当 n ? 2 时,有 6 S n ?1 ? 1 ? 2an ?1 ……②, ①-②得:

…………4 分 …………5分 …………6分

an 1 ? , an ?1 4

1 1 ? 数列 ?an ? 是首项 a1 ? ,公比 q ? 的等比数列 8 4

? an ? a1q

n ?1

1 ?1? ? ?? ? 8 ?4?

n ?1

?1? ?? ? ?2?
2 n ?1

2 n ?1



…………7分

?1? ? bn ? log 1 an ? log 1 ? ? 2 2 ?2?

? 2n ? 1 .

…………8分

(Ⅲ)证明:由(2)有 cn ?

n ?1 1 ?1 1 ? ? ? 2? . …………10 分 2 2 (n ? 2) (2n) 16 ? n ( n ? 2) 2 ? ?

Tn ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?…? ? ? 2? 12 分 ? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 ( n ? 1) ( n ? 1) n ( n ? 2) 2 ? ?

?
?

1 1 1 1 [1 ? 2 ? ? ] …………13 分 2 16 2 ( n ? 1) ( n ? 2) 2
1 1 5 . (1 ? 2 ) ? 16 2 64
…………14 分

10. 数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2,bn ? (1)求数列 ?bn ? 的通项公式;

bn ?1 , ? n ? 2, n ? N ? ? . 1 ? bn ?1

? 2n ?1 ? (2)求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ? 解: (1) b1 ? 2 bn ?1 1 1 1 1 ∵ bn ? ,∴ ? ? 1 ,即 ? ? 1(n ? 2) 1 ? bn ?1 bn bn ?1 bn bn ?1 ?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列 2 ? bn ? 2 1 1 2n ? 1 ∴ ,即 bn ? ? ? (n ? 1) ?1 ? 2n ? 1 bn 2 2
∴?

(n ? N ? ) ?? 6分

? 2 ? bn ?

2 2n ?1 ,则 ? ? 2n ? 1? ? 2n 2n ? 1 bn

?Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2 n ?? ① 2Tn ? 1 ? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 24 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2 n ?1 ?? ② ① - ②得 -Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? ? ? 2n ? 1? ? 2n ?1 ?Tn ? ?2 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? ? ? 2n ? 1? ? 2n ?1 ? ?2 ? 2 ? 4 ?1 ? 2n ?1 ? 1? 2 ? ? 2n ? 3? ? 2n ?1 ? 6?? 6分 ? ? 2n ? 1? ? 2n ?1

11. 设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, 满足: Sn 为其前 n 项和, a22 ? a32 ? a42 ? a52 , S7 ? 7 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 an 的及前 n 项和 Tn ; (3)试求所有的正整数 m ,使得 解(1)设公差为 d ,则 a2
2

? ?

am am ?1 为数列 ?an ? 中的项. am ? 2

2 2 2 ,由性质得 ?3d (a4 ? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) . ? a5 ? a4 ? a3 因为 d ? 0 ,所以 a4 ? a3 ? 0 ,即 2a1 ? 5d ? 0 ①. 7?6 又由 S7 ? 7 得 7a1 ? d ? 7 ,即 a1 ? 3d ? 1②. 2 联立①②解得 a1 ? ?5 , d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 7 (n ? N* ) .

(2)由(1)知,当 n ? 3 时, an ? 0 ;当 n ? 3 时, an ? 0 .

n(a1 ? an ) n(?5 ? 2n ? 7) ? ? n 2 ? 6n . 2 2 ∴当 n ? 3 时, Tn ? ?Sn ? ?n2 ? 6n ; Sn ?
当 n ? 3 时, Tn ? ?S3 ? (Sn ? S3 ) ? Sn ? 2S3 ? (n2 ? 6n) ? 2 ? (?9) ? n2 ? 6n ? 18 .

? ? n 2 ? 6n (n ? 3) ? 综上, Tn ? ? 2 . ? ?n ? 6n ? 18 (n ? 3)

am am ?1 (2m ? 7)(2m ? 5) a a (t ? 4)(t ? 2) 8 = ,令 2m ? 3 ? t ,则 m m?1 ? ? t ? ?6. 2m ? 3 am ? 2 am? 2 t t 故 t 为 8 的约数,又∵ t 是奇数,∴ t 的可能取值为 ?1 . aa 当 t ? 1 时, m ? 2 , 2 3 ? 3 ? 2 ? 5 ? 7 是数列 ?an ? 中的第 5 项; a4 aa 当 t ? ?1 时, m ? 1 , 1 2 ? ?15 ? 2 ? (?4) ? 7 不是数列 ?an ? 中的项. a3 所以满足条件的正整数 m ? 2 .
(3)

12 . 设 数 列 ?an ? 、 ?bn ? 的 前 n 项 和 分 别 为 Sn 、 Tn , 且 S n ? (1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式;

1 2 ( 3n ? 7n ) , 2

Tn ? 2(bn ?1) (n ? N? ) .

(2)把数列 ?an ? 、 ?bn ? 的公共项从小到大排成新数列 ?cn ? ,求证: ?cn ? 是等比数列; (3)设 dn ? ?

?an (n为奇数) ?bn (n为偶数)

,求数列 ?dn ? 的前 n 项和 Dn .

1 1 (3n 2 ? 7n) ? [3(n ? 1) 2 ? 7(n ? 1)] ? 3n ? 2 ; 2 2 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 5 ? 3?1 ? 2 也满足上式.∴ an ? 3n ? 2 (n ? N? ) .
解(1)当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ∵ Tn ? 2(bn ?1) ①,∴ Tn?1 ? 2(bn?1 ? 1) ②. ② ? ①得 bn?1 ? 2bn?1 ? 2bn ,即 bn?1 ? 2bn . 由①得: b1 ? T1 ? 2(b1 ?1) ,则 b1 ? 2 . (2)显然, c1 ? 8 ? a2 ? b3 . 假设 cn ? am ? bk ? 2k ,则 3m ? 2 ? 2 ,
k

∴ ?bn ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,所以 bn ? 2n (n ? N? ) .

∴ bk ?1 ? 2k ?1 ? 2 ? 2k ? 2(3m ? 2) ? 3(2m ? 1) ? 1 不是数列 ?an ? 中的项;

bk ?2 ? 2k ?2 ? 4 ? 2k ? 4(3m ? 2) ? 3(4m ? 2) ? 2 是数列 ?an ? 中的第 4m ? 2 项.
cn?1 2k ?2 ? k ?4. cn 2

∴ cn?1 ? a4m?2 ? bk ?2 ? 2k ?2 ,从而

所以 ?cn ? 是首项为 8,公比为 4 的等比数列. (3)∵ d n ? ?

∴数列 ?dn ? 的奇数项组成首项为 5,公差为 6 的等差数列; 数列 ?dn ? 的偶数项组成首项为 4,公比为 4 的等比数列.
n

? ?3n ? 2 (n为奇数) , n (n为偶数) ? ?2

n 1 n n 4(1 ? 4 2 ) 3 2 4 1 ? n ? n ? ? ? 2n ? 2 . ①当 n 为偶数时, Dn ? ? 5 ? ? ? ( ? 1) ? 6 ? 2 2 2 2 1? 4 4 3 3 ②当 n 为奇数时, 3 4 1 3 5 5 1 Dn ? Sn ?1 ? an ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? ? ? 2n ?1 ? (3n ? 2) ? n 2 ? n ? ? ? 2n ?1 , 4 3 3 4 2 12 3 经检验,当 n ? 1 时上式也成立. 4 1 ?3 2 n ? n ? ? ? 2n ? 2,n为偶数 ? ?4 3 3 综上所述, Dn ? ? . ? 3 n 2 ? 5 n ? 5 ? 1 ? 2n ?1,n为奇数 ? 2 12 3 ?4

13.已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足 a1 ?

2 2an , an ?1 ? , 3 an ? 2

(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)设数列 ?

b1 ? 2b2 ? 22 b3 ? ? ? 2n?1bn ? n (n ? N? ) .

? bn ? ? 的 前 n 项 和 Tn , 问 是 否 存 在 正 整 数 m 、 M 且 M ? m ? 3 , 使 得 a n ? ?

m ? Tn ? M 对一切 n ? N? 恒成立?若存在,求出 m 、 M 的值;若不存在,请说明理由;
25 (an an? 2 )2 ,求证: c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? . 72 an?1 2an a ?2 1 1 1 解(1)由 an ?1 ? ,得 ? n ? ? . an ? 2 an?1 2an 2 an
(3)设 cn ?

?1? 1 1 3 ? 是首项为 ? ,公差为 的等差数列. 2 a1 2 ? an ? 2 1 3 1 n?2 ∴ ,即 an ? ? ? (n ? 1) ? ? (n ? N? ) . n?2 an 2 2 2
∴数列 ? ∵ b1 ? 2b2 ? 22 b3 ? ? ? 2n?1 bn ? n ∴ b1 ? 2b2 ? 2 b3 ? ?? 2
2 n ?2

①,

bn?1 ? n ?1 ②. 1 ① ? ②得 2n?1 bn ? 1 ,即 bn ? n ?1 (n ? 2) . 2 1 由①知, b1 ? 1 也满足上式,故 bn ? n ?1 (n ? N? ) . 2 bn n ? 2 (2)由(1)知, ? n ,下面用“错位相减法”求 Tn . an 2 3 4 5 n?2 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ③, 2 2 2 2 1 3 4 n? 1 n? 2 Tn ? ? 3 ? ? ? n ? n ? 1 ④. 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 n?2 n?4 ③ ? ④得 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 n?4 ∴ Tn ? 4 ? n ? 4 . 2 3 a 又 n ? 0 ,则数列 ?Tn ? 单调递增,故 Tn ? T1 ? ? 1 ,从而 1 ? Tn ? 4 . 2 bn
? 因此,存在正整数 m ? 1 、 M ? 4 且 M ? m ? 3 ,使得 m ? Tn ? M 对一切 n ? N 恒成立.

(3)由(1)知,

? 1 (an an?2 )2 8(n ? 3) (n ? 4)2 ? (n ? 2)2 1 ? . ? ? 2 ? ? 2? ? 2 2 2 2 2 2? an?1 (n ? 2) (n ? 4) (n ? 2) (n ? 4) ? (n ? 2) (n ? 4) ? ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ∴ c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? 2 ?? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 2 ?? ? ( n ? 2) ( n ? 4) ? ? ?? 3 5 ? ? 4 6 ? ? 5 7 ? cn ?

?1 1 1 1 ? ? 1 1 ? 25 ? 2? 2 ? 2 ? ? ? 2? 2 ? 2 ? ? . 2 2? ? 3 4 ? 72 ? 3 4 (n ? 3) (n ? 4) ?



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