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2015-2016高中数学 1.2.2导数的运算法则学案 新人教A版选修2-2



1.2.2

导数的运算法则

能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

基 础 梳 理 1.若 c 为常数,则(cu) ′=cu′. (3x )′=6x. 2.法则 1:[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x). (x +x )′=3x +2x. 3.法则 2:[u(x)v(x)]′

=u′(x)v(x)+u(x)v′(x). (xe )′=e +xe . 4.法则 3:
x x x
3 2 2 2

?u(x)?′=u′(x)v(x)-u(x)v′(x)[v(x)≠0]. ?v(x)? v2(x) ? ? ?e ?′=xe -e . ?x? x2 ? ?
3 2 想一想:已知 h(x)=2sin x,f(x)=x ,g(x)= .
x x x

x

则(1)h′(x)=________; (2)[f(x)+g(x)]′=________; (3)[h(x)-2f(x)]′=__________; (4)[h(x)·f(x)]′=________________; (5)[f(x)÷h(x)]′________________. 答案:(1)h′(x)=2cos x; 3 (2)[f(x)+g(x)]′=2x- 2;

x

(3)[h(x)-2f(x)]′=(2sin x-2x )′=2cos x-4x; (4)[h(x)·f(x)]′=(2sin x·x )′=2(sin x)′·x +2sin x·(x )′=2x cos x+
1
2 2 2 2

2

4xsin x; (5)[f(x)÷h(x)]′ = ? ? ′ = ?2sin x? 4xsin x-2x cos x . 2 4sin x 自 测 自 评 1.函数 y=e ln x 的导数是(C) A. e
x x
2 2 ? x ?

(x )′·2sin x-(2sin x)′·x 2 4sin x

2

2



x
x

B.e ln x D. e ln x
x

x

e x C.e ln x+

x

x
α

2.(2013·江西卷)若曲线 y=x +1(α ∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则 α =_____________. 解析:y′=α x 答案:2 3.函数 y=x -sin cos 的导数是____________. 2 2
2 α -1

,则 k=α ,故切线方程 y=α x 过点(1,2)解得 α =2.

x

x

x x 2 1 1 2 解析:因为 y=x -sin cos =x - sin x,所以 y′=2x- cos x. 2 2 2 2
1 答案:y′=2x- cos x 2

基 础 巩 固 1.下列求导运算正确的是(B) 1 ? 1? A.?x+ ?′=1+ 2

?

x?

x

B.(log2x)′=
x x

1

xln 2

C.(3 )′=3 ·log3e D.(x cos x)′=-2xsin x 2. 对任意 x,有 f′(x)=4x ,f(1)=-1,则(A) A.f(x)=x -2 C.f(x)=x
3 4 3 2

B.f(x)=x +2 D.f(x)=-x
4

4

2

3.曲线 y=x +11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是(C) A.-9
2

3

B.-3

C.9

D.15

解析:∵y′=3x ,∴y′|x=1=3,切线方程为 y-12=3(x-1),即 y=3x+9, 令 x=0,得 y=9.故选 C. 4.(2014·高考广东卷)曲线 y=-5e +3 在点(0,-2)处的切线方程为____________. 解析:因为 y=-5e +3,所以 y′=-5e ,所以,所求切线的斜率为 k=-5e =-5, 故所求切线方程为 y-(-2)=-5x,即 5x+y+2=0. 答案:5x+y+2=0 能 力 提 升 5.下列求导式正确的是(C) 1 ? 1? 3 2 ①(2x -cos x)′=6x +sin x;②?2- ?′= 2;
x x
0

x

?

x?

x

③[(3+x )(2-x )]′=2x(2-x )+3x (3+x ); ④? ⑤?

2

3

3

2

2

?1+cos 2 ? x

x?

?′= ?

2x(1+cos x)+x sin x ; 4

2

x

3 2 3 ? x ?′=3x sin x-x cos x; ? 2 sin x ?sin x?

1 ⑥(tan x)′= 2 . cos x A.①②③⑤ C.①②⑤⑥ B.②④⑤⑥ D.①②③④⑤⑥

6.某市在一次降雨过程中,降雨量 y(mm)与时间 t(min)的函数关系可近似地表示为 y =f(t)= 10t,则在时刻 t=40 min 的降雨强度为(D) A.20 mm C. 1 mm 2 B.400 mm 1 D. mm 4

1 10 解析: 降雨强度是降雨量对时间的导数, 因为 f′(t)=( 10t2)′= , 所以 f′(40) 2 t = 1 = . 2 40 4 7.已知 f(x)=x ,g(x)=ln x,若 f′(x)-g′(x)=1,则 x=________. 1 1 2 解析:f′(x)-g′(x)=2x- =1,即 2x -x-1=0.解得 x=- 或 x=1,又 x>0,∴x x 2 =1. 答案:1
2

10

3

?π ? ?π ? 8.已知函数 f(x)=f′? ?sin x+cos x,则 f? ?=________. ?3? ?6?
π ?π ? 解析:f′(x)=f′? ?cos x-sin x,令 x= , 3 3 ? ? π ?π ? 则 f′? ?=-2sin =- 3, 3 ?3? 所以 f(x)=- 3sin x+cos x, π π ?π ? 所以 f? ?=- 3sin +cos =0. 6 6 ?6? 答案:0 9.已知曲线 y=x -3x,过点(0,16)作曲线的切线,求曲线的切线方程. 解析:设切点为(x1,y1),则切线的斜率
3

k=y′x=x1=3x2 1-3,
∴切线方程为 y=(3x1-3)x+16. 又切点在切线上, ∴y1=(3x1-3)x1+16. ∴x1-3x1=(3x1-3)x1+16,解得 x1=-2. ∴切线方程为 y=9x+16, 即 9x-y+16=0. 1 10.证明:过曲线 y= 上的任何一点 P(x0,y0)(x0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形
3 2 2 2

x

的面积是一个常数. 1 1 证明:由 y= ,得 y′=- 2.

x

x

1 1 ∴k=f′(x0)=- 2.∴过点 P(x0,y0)的切线方程为 y-y0=- 2(x-x0).

x0

x0

1 2 令 x=0,得 y=y0+ = ;

x0 x0

令 y=0,得 x=2x0. 1 2 ∴过点 P(x0,y0)(x0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积 S= ×2x0× =2 是一 2 x0 个常数.

4



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