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2009年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题



2009 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷 (2009 年 3 月 22 日 星期日 上午 8:30~10:30) 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 2009 2009 log 2009 a1 ? log a2 ? ? ? log a10 1. 设 a1 , a2 ,?, a10 ? (1

, ??) ,则 的最小值是 。 log 2009 a1a2 ?a10 2. 已知 x, y ? N * ,且 1 ? 2 ??? y ? 1 ? 9 ? 92 ? ?? 9 ,则将 y 表示成 x 的函数, 其解析式是 y ? 。 2 3. 已 知函数 f ( x) ? | x ? 2 ,若 f ( a) ? f ( b),且 0 ? a ? b ,则 ab 的取值范围 | 是 。 1 3 4. 满 足 方 程 log 2 [2cos 2 ( xy) ? 的 所 有 实 数 对 ] ? ? y2 ? y ? 2 2cos ( xy) 4 。 ( x, y) ? 5. 若 [a ] 表示不超过实数 a 的最大整数,则方程 [tan x] ? 2sin 2 x 的解 是 。 6. 不等式 22 x ? 3 ? 2x?
x
x?1

? 4 ? 22 x 的解集是



7. 设 A 是由不超过 2009 的所有正整数构成的集合,即 A ? {1, 2,? , 2009} ,集合 L ? A ,且 L 中任意两个不同元素之差都不等于 4 ,则集合 L 元素个数的最大可 能值是 。 8. 给出一个凸 10 边形及其所有对角线, 在以该凸 10 边形的顶点及所有对角线的 交 点 为 顶 点 的 三 角 形 中 , 至 少 有 两 个 顶 点 是 该 凸 10 边 形 顶 点 的 三 角 形 有 个。 二、解答题 9.(本题满分 14 分)设函数 f ( x) 定义于闭区间 [0,1] ,满足 f (0) ? 0, f (1) ? 1 ,且 x? y ) ? (1 ? a 2 ) f ( x) ? a 2 f ( y ) ,其中常数 a 满足 对任意 x, y ? [0,1], x ? y ,都有 f ( 2 0 ? a ? 1 ,求 a 的值。 x2 10. (本题满分 14 分)如图, A 是双曲线 ? y 2 ? 1的右顶点,过点 A 的两条互 4 相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点 M , N ,问直线 MN 是否一定过 x 轴上 一定点?如果不存在这样的定点,请说明理由;如果存在这样的定点 P 试求出这 个定点 P 的坐标。
y

M O A N

x

1

11. (本题满分 16 分) 设 A, B 是集合 {a1, a2 , a3 , a4 , a5} 的两个不同子集, 使得 A 不 是 B 的子集, B 也不是 A 的子集,求不同的有序集合对 ( A, B) 的组数。 12. (本题满分 16 分)设正整数构成的数列 {an } 使得 a10k ?9 ? a10k ?8 ? ? ? a10k ? 19 对一切 k ? N * 恒成立。 记该数列若干连续项的和
p ?i ?1

?a

j

p

为 S (i, j ) , 其中 i, j ? N * ,

且 i ? j 。求证:所有 S (i, j ) 构成的集合等于 N * 。 答案:一、 ? 1 3x ? 1 (k? + , )( k ?Z ) 1、 100 ; 2、 ; 3、 (0, 2) ; 4、 2 2 2 ? 5、 x ? k? 或 x ? l? ? (k , l ? Z ) ; 6、 [0, 4] ; 7、 1005 ; 8、 960 。 4 1 0? 1 0 ?1 1 2 ) ? a2 f ( 1 ) ? a2 ) ? a2 , f ( ) ? f ( 二、9、解:因为 f ( ) ? f ( 2 2 4 2 2 1 ?1 3 1 f ( ) ? f ( 2 ) ? (1 ? a 2 ) f ( ) ? a 2 f (1) ? 2a 2 ? a 4 4 2 2 1 3 ? 1 1 3 所以 f ( ) ? f ( 4 4 ) ? (1 ? a 2 ) f ( ) ? a 2 f ( ) ? ?2a 6 ? 3a 4 8分 2 2 4 4 2 由此得 a 2 ? ?2a 6 ? 3a 4 ,而 0 ? a ? 1 ,所以 a ? 14 分 2 10、解法一: A(2, 0) ,将 y 轴向右平移 2 个单位,使点 A 成为新直角坐标系 的原点,在新坐标系下,双曲线的方程为 (*)
4 4 若 MN ? x 轴,则 kAM ? 1 ,即 lAM : y ? x ' ,代入(*)式可得 M ( , ) ,进而 3 3 4 4 4 10 N( ,? ) 。 所以 P( , 0) , 则点 P 在原坐标系中的坐标为 ( , 0) 。 5 3 3 3 3 分 y ? kx ' ? 1, 若 MN 不垂直 x 轴,设 lMN : y ? kx '? t (t ? 0) ,则 t y ? kx ' y y ? 0 ,即 4t ( ) 2 ? 4( ) ? 4k ? t ? 0 于是(*)可以改写成 4 y 2 ? x '2 ? 4 x '? t x' x' 该方程的两个根 k1 , k2 既是 AM , AN 的斜率。 4k ? t ? ?1 , 因为 AM ? AN ,所以 k1k2 ? 10 分 4t 4 4 4 所以 t ? ? k ,故 lMN : y ? kx '? k ? k ( x '? ) 3 3 3 4 10 所以过定点 P( , 0) ,则点 P 在原坐标系中的坐标为 ( , 0) 。 3 3
2

( x '? 2)2 ? y 2 ? 1 ,即 4 y 2 ? x '2 ? 4x ' ? 0 4

10 , 0) 14 分 3 1 解法二:设直线 AM 的斜率为 k (k ? 0, k ? ? , k ? ?2) 2 2 2 2 ?x ? 4 y ? 4 2k 2 ? 8 ?4k 8k ? 2 4k , ) 由? ? M( 2 , ) ,同理得 N ( 4 ? k2 4 ? k2 4k ? 1 4k 2 ? 1 ? y ? k ( x ? 2)

综上所述,直线 MN 过 x 轴上的定点 P (

当 k ? ?1 时, xM ? xN ?

10 10 ,所以过 ( , 0) 3 3

8分

1 10 当 k ? ?1, k ? 2, k ? ? 时,由直线 MN 的方程得, y ? k '( x ? ) 10 分 2 3 10 所以,直线 MN 过 x 轴上的定点 P ( , 0) 14 分 3 11 、 解 : 集 合 {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } 有 25 个 子 集 , 不 同 的 有 序 集 合 对 ( A , B ) 有

25 (25 ?1) 组。
2分 若 A ? B ,并设 B 中含有 k (1 ? k ? 5) 个元素,则满足 A ? B 的有序集合对 ( A, B) 有

? C5k (2k ?1) ? ? C5k 2k ? ? C5k ? 35 ? 25 组
k ?1 k ?0 k ?0

5

5

5

8分

同理,满足 B ? A 的有序集合对 ( A, B) 也有 35 ? 25 组。 10 分 5 5 5 所以,满足条件的有序集合对 ( A, B) 的组数为 2 (2 ?1) ? 2(3 ? 25 ) ? 570 组。 16 分 12、证明:显然 S (i, j ) ? N * 2分 下证对任意 n0 ? N * ,存在 S (i, j ) ? n0 用 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和,考虑 10n0 ? 10 个前 n 项和:

S1 ? S2 ? ? ? S10n0 ?10
另外,再考虑如下 10n0 ? 10 个正整数:

(1) 6分

由题设 S10n0 ?10 ? (a1 ? a2 ??? a10 ) ? (a11 ??? a20 ) ??? (a10n0 ?1 ??? a10n0 ?10 )

S1 ? n0 ? S2 ? n0 ? ? ? S10n0 ?10 ? n0
显然

(2) 10 分

S10n0 ?10 ? n0 ? 20n0 ? 19

这样(1),(2)中出现 20n0 ? 20 个正整数,都不超过 20n0 ? 19 , 由抽屉原理,必有两个相等。由于(1)式中各数两两不相等,(2)式中各数也 两两不等,故存在 i, j ? N * ,使得 S j ? Si ? n0 ,即 j ? i ,且 n0 ? S j ? Si ? S (i, j ) 所以,所有 S (i, j ) 构成的集合等于 N * 。 16 分

3



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