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离散型随机变量的均值与方差(二)



离散型随机变量的均值与方差 (二)

数学期望的定义: 数学期望的定义

x1 x 2 L x i L xn P p1 p 2 L pi L pn 则称 Eξ = x p + x p + L + x p + L + x p 1 1 2 2 i i n n 数学期望或均值 简称为期望 或均值, 期望. 为ξ 的数学期望或均值,简称为期望.它反映了离散型随
机变量取值的平均水平. 机变量取值的平均水平

一般地, 一般地,随机变量 ξ 的概率分布列为

ξ

根据定 根据定义可推出 下面两个结论: 结论1: 结论 : η = aξ + b, 则 Eη = aEξ + b ; 若

练习二 练习二
1.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球,从 1.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球, 一个袋子里装有大小相同的 中同时取2 中同时取2个,则其中含红球个数的数学期望是 2.若 E(- 2.若 E(ξ)=4.5,则 E(-ξ)= -4.5 . 1.2 .

3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 罚不中得0 已知某运动员罚球命中的概率为0.7 则他罚球1 0.7, 分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,则他罚球1次 的得分ξ . 的得分ξ的期望为 0.7 (详细解答过程见课本例1) 详细解答过程见课本例1) 这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望,那 这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望, 么一般地 ,若ξ~B(n,p),则Eξ=? 若 , ,

结论2: , , 结论 :若ξ~B(n,p),则Eξ= np
ξ 0 1 … k … n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0 证明: (∵ k Cnk =n Cn-1k-1) 证明:∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k ∵ ∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 + × × × …+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 k× n× =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0) =np(p+q)n-1=np 期望在生活中的应用广泛,见课本第63页例2.例 期望在生活中的应用广泛,见课本第63页例2.例3 63页例2.

思考1.某商场的促销决策: 思考1.某商场的促销决策: 1.某商场的促销决策 统计资料表明, 统计资料表明,每年端午节商场内促销活动可获利 2万元;商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元; 万元;商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元 万元; 如遇下雨可则损失4万元。 19日气象预报端午节下 如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下 雨的概率为40%,商场应选择哪种促销方式? 雨的概率为40%,商场应选择哪种促销方式? 解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 因为商场内的促销活动可获效益2 设商场外的促销活动可获效益ξ万元, 设商场外的促销活动可获效益ξ万元,则ξ的分布列

ξ 10 -4 所以Eξ × + P 0.6 0.4 所以 ξ=10×0.6+(-4) ×0.4=4.4
所以商场应选择在商场外进行促销. 因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销. 因为

思考2. 思考2 有场赌博,规则如下:如掷一个骰子,出现1 你赢8 有场赌博,规则如下:如掷一个骰子,出现1,你赢8 出现2 你输3 出现5 不输不赢. 元;出现2或3或4,你输3元;出现5或6,不输不赢.这场 赌博对你是否有利 对你是否有利? 赌博对你是否有利?

1 1 1 1 Eξ = × 8 + × ( 3 ) + × 0 = . 6 2 3 6
对你不利!劝君莫参加赌博. 对你不利!劝君莫参加赌博.

数学期望的定义: 数学期望的定义

x1 x 2 L x i L xn P p1 p 2 L pi L pn 则称 Eξ = x p + x p + L + x p + L + x p 1 1 2 2 i i n n 数学期望或均值 简称为期望 或均值, 期望. 为ξ 的数学期望或均值,简称为期望.它反映了离散型随
机变量取值的平均水平. 机变量取值的平均水平

一般地, 一般地,随机变量 ξ 的概率分布列为

ξ

根据定 根据定义可推出 下面两个结论: 结论1: 结论 : η = aξ + b, 则 Eη = aEξ + b ; 若

结论2: 结论 :若ξ~B(n,p),则Eξ= np , ,
期望在生活中的应用广泛,见课本第63页例2.例 期望在生活中的应用广泛,见课本第63页例2.例3 63页例2.

例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个 一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4 20个选择题构成 选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5 选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选 或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为 或选错不得分,满分100分 100 0.9,学生乙则在测验中对每题都从 学生乙则在测验中对每题都从4 0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选 择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值. 择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值. 解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题 个数分别是 个数分别是和η,则 ξ~B(20,0.9),η~B(20,0.25), B(20,0.9), B(20,0.25), 所以Eξ=20×0.9=18, Eη=20×0.25=5. 所以Eξ=20×0.9=18, Eη=20×0.25= Eξ 由于答对每题得5 由于答对每题得5分,学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩分别是5ξ 5η.这样 5ξ和 这样, 中的成绩分别是5ξ和5η.这样,他们在测验中的成绩 的期望分别是 E(5ξ)=5Eξ=5×18=90, E(5ξ)=5Eξ= 18=90, E(5η)=5Eη=5×5=25. E(5η)=5Eη= 25. 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗? 90分吗 均值为90分的含义是什么? 90分的含义是什么 均值为90分的含义是什么? 不一定,其含义是在多次类似的测试中, 不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成 绩大约是90 90分 绩大约是90分 思考1 思考
思考

思考1.某商场的促销决策: 思考1.某商场的促销决策: 1.某商场的促销决策 统计资料表明, 统计资料表明,每年端午节商场内促销活动可获利 2万元;商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元; 万元;商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元 万元; 如遇下雨可则损失4万元。 19日气象预报端午节下 如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下 雨的概率为40%,商场应选择哪种促销方式? 雨的概率为40%,商场应选择哪种促销方式? 解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 因为商场内的促销活动可获效益2 设商场外的促销活动可获效益ξ万元, 设商场外的促销活动可获效益ξ万元,则ξ的分布列

ξ 10 -4 所以Eξ × + P 0.6 0.4 所以 ξ=10×0.6+(-4) ×0.4=4.4
所以商场应选择在商场外进行促销. 因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销. 因为

思考2: 思考 :
彩球游戏准备一个布袋,内装6个红球与6个白球,除颜色 彩球游戏准备一个布袋,内装6个红球与6个白球, 准备一个布袋 不同外,六个球完全一样,每次从袋中摸6个球, 不同外,六个球完全一样,每次从袋中摸6个球,输赢的 规则为: 规则为: 赢得100 100元 6个全红 赢得100元 赢得50 50元 5 红1 白 赢得50元 赢得20 20元 4 红2 白 赢得20元 100元 3 红3 白 输100元 2 红4 白 赢得20元 赢得20元 20 赢得50 50元 1 红5 白 赢得50元 赢得100 100元 6个全白 赢得100元

你动心了吗? 你动心了吗?

离散型随机变量的方差
前面,我们认识了数学期望. 前面,我们认识了数学期望. 数学期望: 一般地, 数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布 列为

ξ P

则称 Eξ = x1 p1 + x2 p2 + … + xk pk + … + xn pn 为 ξ 的数 学期望,简称期望. 学期望,简称期望.数学期望是离散型随机变量的一个特征 期望 反映了离散型随机变量取值的平均水平, 数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,表示了随机 变量在随机实验中取值的平均值, 变量在随机实验中取值的平均值,所以又常称为随机变量的 平均数、均值. 平均数、均值.但有时两个随机变量只用这一个特征量是无 法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、 法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中 与离散的程度进行刻 与离散的程度进行刻画.

x1 p1

x2 … xk … xn p2 … pk … pn

问题探究: 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击, 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环 的分布列如下: 数ξ1、ξ2的分布列如下:
9 10 ξ1 8 P 0.2 0.6 0.2 9 10 ξ2 8 P 0.4 0.2 0.4

试比较两名射手的射击水平. 如果其他对手的射击成 试比较两名射手的射击水平 绩都在8环左右,应派哪一名选手参赛? 绩都在 环左右,应派哪一名选手参赛? 如果其他对手 环左右 的射击成绩都在9环左右 应派哪一名选手参赛? 环左右, 的射击成绩都在 环左右,应派哪一名选手参赛? 下面的分析对吗? 下面的分析对吗? 分析对吗 显然两名选 ∵ Eξ1 = 8 × 0.2 + 9 × 0.6 + 10 × 0.2 = 9 手的水平是不同 Eξ 2 = 8 × 0.4 + 9 × 0.2 + 10 × 0.4 = 9 的,这里要进一步 这里要进一步 乙两射手的射击水平相同. ∴甲、乙两射手的射击水平相同. 去分析他们的成 绩的稳定性. 绩的稳定性 你赞成 为什么?) (你赞成 吗?为什么?)

对于一组数据的稳定性的描述, 对于一组数据的稳定性的描述,我们是用方差 描述 或标准差来刻画的 刻画的. 或标准差来刻画的.
一组数据的方差: 一组数据的方差: 在一组数: 在一组数:x1,x2 ,…,xn 中,各数据的平均数为 , , 则这组数据的方差为: 则这组数据的方差为: x

1 S = [( x1 x )2 + ( x2 x )2 + L + ( xn x )2 ] n
2

方差反映了这组 数据的波动情况 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.. 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差..

方差定义

离散型随机变量取值的方差和标准差: 离散型随机变量取值的方差和标准差: 随机变量取值的方差和标准差 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布列为: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布列为:

ξ

x1

x2

P

p1

p2



xi

pi



xn

pn

Dξ = ( x1 Eξ )2 p1 +L+ ( xi Eξ )2 pi +L+ ( xn Eξ )2 pn 则称 n

ξ 为随机变量ξ的方差. = ∑ ( xi Eξ )2 pi 为随机变量ξ的方差. 称σξ = D
i =1

为随机变量ξ的标准差. 为随机变量ξ的标准差.
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程 度的量,它们的值越小, 度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于均值的平均 程度越小,即越集中于均值。 程度越小,即越集中于均值。

(ξ Εξ )2 = Dξ 记忆方法: “三个的” 即E 记忆方法: 三个的”
练习一下

练习1.(课本第 练习 已知随机变量ξ 练习 课本第69练习 已知随机变量ξ的分布列 课本第 练习)已知随机变量 0 1 2 3 4 ξ P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求Dξ和σξ. ξ ξ 解:Eξ = 0 × 0.1 + 1× 0.2 + 2 × 0.4 + 3 × 0.2 + 4 × 0.1 = 2

Dξ = (0 2) × 0.1 + (1 2) × 0.2 + (2 2) × 0.4
2 2 2

+(3 2) × 0.2 + (4 2) × 0.1 = 1.2
2 2

σξ = Dξ = 1.2 ≈ 1.095
2.若随机变量ξ满足P(ξ=c)= ,其中 为常 若随机变量ξ满足 ( )=1,其中c为常 若随机变量 )= 数,求Eξ和Dξ. ξ ξ Eξ=c×1=c Dξ=( -c)2×1=0 ξ × = ξ=(c- ) =

根据期望的定义可推出下面两个重要结论 根据期望的定义 可推出下面两个重要结论: 期望的定义 可推出下面两个重要结论: 结论1: 结论 : η = aξ + b, 则 Eη = aEξ + b ; 若

结论2: 结论 :若ξ~B(n,p),则Eξ= np. , , 那么,根据方差 定义你能推出类似的什么结论: 方差的 你能推出类似的什么结论 那么,根据方差 的定义你能推出类似的什么结论 : (1) 若η = aξ + b, 则 Dη = ? ; (2)若ξ~B(n,p),则 Dξ= ?. 若 , ,

可以证明,对于方差有下面两个重要性质: 可以证明 对于方差有下面两个重要性质: 对于方差有下面两个重要性质

⑴ D(aξ + b ) = a Dξ
2

⑵ 若 ξ ~ B ( n , p ),则 D ξ = npq (其 中 q = 1 p )
练习一下

统计学方差的运算性质: 统计学方差的运算性质: 如果数据
2

方差为 s ,则

x1, x2 ,, xn 的平均数为 x
2



(1)新数据 x1 + b, x2 + b, , xn + b 的平均数为

x + b,方差仍为

s



(3)新数据 ax1 + b, ax2 + b, , axn + b 的平均数为 ax + b 方差为a2s2 . ,

(2)新数据 ax1, ax2 , , axn的平均数为 ax , 方差为 a2s2 .

练习: 练习:

1.已知随机变量ξ的分布列为则E 1.已知随机变量ξ的分布列为则Eξ与Dξ的值为( D ) 已知随机变量 的值为( 0.6和 (B)1.7和 (A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 0.3和 (D)1.7和 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.21
ξ P 1 0.3 2 0.7

25 50 5 2.已知ξB(100,0.5),则Eξ=___,Dξ=____,σξ=___. 2.已知ξB(100,0.5),则 =___,Dξ=____,σξ=___. 已知ξB(100,0.5), 99 D(2ξ E(2ξ E(2ξ-1)=____, D(2ξ-1)=____, σ(2ξ-1)=_____ 100 (2ξ 10

刚才问题再思考: 问题再思考 : 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击, 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环 的分布列如下: 数ξ1、ξ2的分布列如下:

9 10 ξ1 8 P 0.2 0.6 0.2

9 10 ξ2 8 P 0.4 0.2 0.4

试比较两名射手的射击水平. 试比较两名射手的射击水平 如果其他对手的射击成 绩都在8环左右 应派哪一名选手参赛? 环左右, 如果其他对手 绩都在 环左右,应派哪一名选手参赛? 的射击成绩都在9环左右 应派哪一名选手参赛? 环左右, 的射击成绩都在 环左右,应派哪一名选手参赛? 解:∵ Eξ1 = 8 × 0.2 + 9 × 0.6 + 10 × 0.2 = 9 如果对手在 Eξ 2 = 8 × 0.4 + 9 × 0.2 + 10 × 0.4 = 9 8环左右 派甲 环左右,派甲 环左右 派甲. 乙两射手的射击平均水平相同. 如果对手在9 平均水平相同 ∴甲、乙两射手的射击平均水平相同. 如果对手在9 又∵ Dξ1 = 0.4, Dξ 2 = 0.8, 环左右,派乙. 环左右,派乙.
∴甲射击水平更稳定. 射击水平更稳定.
再看一例 例2

例题:甲乙两人每天产量相同, 例题:甲乙两人每天产量相同,它们的 次品个数分别为ξ,η ξ,η, 次品个数分别为ξ,η,其分布列为 ξ P 0 0.3 1 0.3 2 0.2 3 0.2 η P 0 0.1 1 0.5 2 0.4

判断甲乙两人生产水平的高低? 判断甲乙两人生产水平的高低?

Dξ=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+( ξ - +(2 - +( +(3-1.3)2×0.2=1.21 -1.3)2×0.2+( ) +(
期望值高,平均值大, 期望值高,平均值大,水平高 方差值小,稳定性高, 方差值小,稳定性高,水平高

Eξ=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3 ξ × × + × + × Eη=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3 η × × + ×

结论:甲乙两人次品个数的平均值相等, 结论:甲乙两人次品个数的平均值相等, 但甲的稳定性不如乙,乙的生产水平高。 但甲的稳定性不如乙,乙的生产水平高。

有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息 例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你 而你能获得如下信息: 有甲乙两个单位都愿意聘用你 而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月 1200 1400 1600 1800
工资X 元 工资 1/元

获得相应职位的 概率P 概率 1
乙单位不同职位月 工资X 元 工资 2/元

0.4 1000 0.4

0.3 1400 0.3

0.2

0.1

1800 2200 0.2 0.1

获得相应职位的 概率P 概率 2

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? 根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? , 解:EX1 = 1400 EX2 = 1400 DX1 = 40000, DX 2 = 160000
在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自 在两个单位工资的数学期望相等的情况下 如果认为自 己能力很强,应选择工资方差大的单位 即乙单位;如果认为 应选择工资方差大的单位,即乙单位 己能力很强 应选择工资方差大的单位 即乙单位 如果认为 自己能力不强,就应选择工资方差小的单位 即甲单位. 就应选择工资方差小的单位,即甲单位 自己能力不强 就应选择工资方差小的单位 即甲单位

作业: 作业: A组第 ,第4题 组第1, 组第 题

选做作业: 选做作业: 思维挑战: 思维挑战:

3.若随机变量ξ服从二项分布,且Eξ=6, 若随机变量ξ服从二项分布, 若随机变量 ξ ,

D ξ=4,则此二项分布 则此二项分布 是 。 设二项分布为ξ ~B(n,p) ,则 则

Eξ=np=6 ξ

Dξ=np(1-p)=4 ξ

n=18 p=1/3



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