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2.1.2演绎推理(李用)


2.1.2演绎推理

复习:合情推理
归纳推理 : 从特殊到一般 从具体问题出发――观察、分析

比较、联想――归纳。
类比推理: 从特殊到特殊

类比――提出猜想

练习1: 归纳推理
(1)观察

类比推理
(2)在平面内,若 a⊥c,b⊥c,则a//b. 类比地推广到空间, 你会得到 什么结论? 并判断正误。

1+3=4=22

,

1+3+5=9=32 , 1+3+5+7=16=42 , 1+3+5+7+9=25= 52 , ……

由上述具体事实能得
到怎样的结论? 1+3+……+(2n-1)=n2 在空间中,若 α ⊥ γ, β ⊥ γ 则α//β。

正确

错误

练习2:分析右面两个推理是否正确,是不是演绎推理? (1)因为指数函数

1 x 而 y ? ( ) 是指数函数 21 x 所以 y ? ( ) 是增函数 2

y?a

x x

是增函数,

大前题不正确

无限小数 (2) 因为无理数是无限小数

演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确 的前提下,得到的结论一定正确。

1 (=0.333……)是无限小数 无限小数 3 1 推理形式 错误 所以 是无理数 3

练习3分析下列推理是否正确,说明为什么?
大前提错误 (1)自然数是整数, 3是自然数, 3是整数. (2)整数是自然数, -3是整数, -3是自然数. (4)自然数是整数, -3是整数, -3是自然数. 推理形式错误

(3)自然数是整数, -3是自然数, -3是整数. 小前提错误

例3 证明函数 f (x)=-x2+2 x在(-∞,1)是增函数.
证明:满足对于任意x1 , x2∈D,若x1< x2,有 大前提 f(x1) < f(x2)成立的函数f(x),是区间D上的增函数.
任取x1 , x2 ? (??,1), 且x1 ? x2 ,
2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (? x1 ? 2 x1 ) ? (? x2 ? 2 x2 )

? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 2)
x1 ? x2 , 所以x2 ? x1 ? 0; x1 , x2 ? 1, 所以x2 ? x1 ? 2 ? 0. ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ).

小前提

∴函数f (x)=-x2+2 x在(-∞,1)是增函数.

结论

思考题:
已知lg2=m,计算lg0.8 解

lg a ? n lg a (a>0)
n

lg 8 ? lg 2

3

大前提 小前提 结论

lg8=3lg2 lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0) lg0.8=lg(8/10) lg0.8=lg8-lg10=3lg2-1 =3m-1

大前提
小前提 结论

合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理 类比推理 演绎推理

区 别

推理 由部分到整体,个 由特殊到特殊的 由一般到特殊的 推理 形式 别到一般的推理 推理 推理 结论 结论不一定正确,有待进一 步证明

在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确

联系

合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演 绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的

例4.证明函数f(x)=x6-x3+x2-x+1的值 恒为正数。 证明:当x<0时,f(x)的各项都为正数, 因此,当x<0时,f(x)为正数; 当0≤x≤1时, f(x)=x6+x2(1-x)+(1-x)>0; 当x>1时,f(x)=x3(x2-1)+x(x-1)+1>0, 综上所述,函数f(x)的值恒为正数。

练习5. 1.下列推理的两个步骤分别遵循哪种推理规则? 1 因为AB∥CD A B 所以∠1=∠2 2 D C 又因为∠2=∠3 3 所以∠1=∠3

2.已知函数 f ( x) ? x ? x ? x ? x ?1
10 7 4

证明:函数f(x)>0恒成立

回顾小结:
1、 演绎推理概念; 演绎推理的一般模式——三段论.
2、 合情推理与演绎推理的区别与联系.

3、演绎推理错误的主要原因是: ①、大前提不成立;②、小前提不符合大前提的 条件;③推理形式错误
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重 4、 要思维过程.但数学结论、证明思路等的发 现,主要靠合情推理.因此,我们不仅要学会 证明,也要学会猜想.

[研一题]

[例1]

将下列演绎推理写成三段论的形式.

(1)平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形, 所以菱形的对角线互相平分. (2)等腰三角形的两底角相等,∠A、∠B是等腰三角形 的两底角,则∠A=∠B.

(3)通项公式为an=2n+3的数列{an}是等差数列.
(4)Rt△ABC的内角和为180°.

[自主解答]

(1)平行四边形的对角线互相平分,…

……………………………………………………大前提 菱形是平行四边形,………………………… 小前提 菱形的对角线互相平分.……………………… 结论 (2)等腰三角形两底角相等,……………………大前提 ∠A、∠B是等腰三角形的两底角,………… 小前提 ∠A=∠B.………………………………………… 结论

(3)数列{an}中,如果当n≥2时,an-an-1为常数,则 {an}为等差数列,……………………………………大前提 因为an=2n+3,则当n≥2时, an-an-1=2n+3-[2(n-1)+3]=2(常数),………

……………………………………………… ……
通项公式为an=2n+3的数列是等差数列.…… 提 Rt△ABC是三角形,…………………………… 提

小前提
结论

(4)因为三角形的内角和是180°,……………… 大前 小前

所以Rt△ABC的内角和是180°.………………… 结论

[悟一法]
三段论由大前提、小前提和结论组成;大前提提供一般 原理,小前提提供特殊情况,两者结合起来,体现一般原理

与特殊情况的内在联系,在用三段论写推理过程时,关键是
明确命题的大、小前提.

[通一类] 1.用三段论的形式写出下列演绎推理.

(1)菱形的对角线相互垂直,正方形是菱形,所以正方形
的对角线相互垂直. (2)0.332是有理数. 解:(1)菱形的对角线相互垂直…………………… 提 正方形是菱形……………………………………… 所以,正方形的对角线相互垂直…………………… (2)所有有限小数都是有理数……………………… 提 0.332是有限小数……………………………………小前 提 小前提 结论 大前 大前

[研一题] [例2] 如图,D,E,F分别是BC, CA,AB上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA, 求证:ED=AF,写出三段论形式的演绎

推理. [自主解答] 因为同位角相等,两条直线平行,……
………………………………………………………大前提 ∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,…………

………………………………………………………小前提
所以FD∥AE. ………………………………………结论

因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,…… ……………………………………………………… 大前 提 DE∥BA,且FD∥AE,…………………………… 小前提 所以四边形AFDE为平行四边形.………………… 结论

因为平行四边形的对边相等,…………………… 大前提

ED和AF为平行四边形AFDE的对边,……………小前提
所以ED=AF.………………………………………… 结论

[通一类] 2.如图所示,在空间四边形ABCD中, 点E,F分别是AB, AD的中点, 求证EF∥平面BCD. 证明:三角形的中位线平行于底边,…………

……………………………………………… 大前提
点E、F分别是AB、AD的中点,……………… ……………………………………………… 小前提

所以EF∥BD.…………………………………………… 结论

若平面外一条直线平行于平面内一条直线,则此直线与此平
面平行,…………………………………………… 大前提

EF?平面BCD,BD?平面BCD,EF∥BD,…………小前提
EF∥平面BCD.……………………………………………结论

[例 3] 函数.

[研一题] 2x-1 求证:函数 y= x 是奇函数,且在定义域上是增 2 +1
对定义域内的任意 x,都有 f(-x)=-f(x),则

[ 自主解答]

f(x)是奇函数,…………………………………………大前提 因为 f(x)的定义域为 R, 2-x-1 1-2x 2x-1 且 f(-x)= -x = =- x =-f(x),………… 2 +1 1+2x 2 +1 …………………………………………………………小前提 所以 f(x)是奇函数. …………………………………结论


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