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2015年高考数学第一轮大复习素材: 3.2导数与函数的单调性、极值、最值(新人教A版)文


§3.2

导数与函数的单调性、极值、最值

1. 函数的单调性 在某个区间(a, b)内, 如果 f′(x)>0, 那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增; 如果 f′(x)<0, 那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减. 2. 函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时, ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x); ②求方程 f′(x)=0 的根; ③检查 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么 f(x) 在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值. 3. 函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. (3)设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步 骤如下: ①求 f(x)在(a,b)内的极值; ②将 f(x)的各极值与 f(a), f(b)进行比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值.

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充要条件. (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的. (3)函数的极大值不一定比极小值大. ( ( ( ) ) )

(4)对可导函数 f(x),f′(x0)=0 是 x0 点为极值点的充要条件. (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. (6)函数 f(x)=xsin x 有无数个极值点. 2. 函数 f(x)=x2-2ln x 的单调减区间是 A.(0,1) C.(-∞,1) B.(1,+∞) D.(-1,1)

( ( ( (

) ) ) )

3. (2013· 浙江)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则 ( A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值

)

4. 函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( A.(-1,1) C.(-∞,-1) B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞)

)

5. 函数 f(x)=x3+ax-2 在(1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是________.

题型一 利用导数研究函数的单调性 例 1 已知函数 f(x)=ex-ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间; (2)是否存在 a,使 f(x)在(-2,3)上为减函数,若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,请 说明理由. 思维启迪 函数的单调性和函数中的参数有关,要注意对参数的讨论. 解 f′(x)=ex-a,

(1)若 a≤0,则 f′(x)=ex-a≥0, 即 f(x)在 R 上单调递增, 若 a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥ln a. 因此当 a≤0 时,f(x)的单调增区间为 R, 当 a>0 时,f(x)的单调增区间是[ln a,+∞). (2)∵f′(x)=ex-a≤0 在(-2,3)上恒成立.

∴a≥ex 在 x∈(-2,3)上恒成立. 又∵-2<x<3,∴e 2<ex<e3,只需 a≥e3.


当 a=e3 时,f′(x)=ex-e3 在 x∈(-2,3)上, f′(x)<0,即 f(x)在(-2,3)上为减函数,∴a≥e3. 故存在实数 a≥e3,使 f(x)在(-2,3)上为减函数. 思维升华 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性; (2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题; (3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a, b)都有 f′(x)≥0 且在(a, b)内的任一非空子 区间上 f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解. 1 (1)设函数 f(x)= x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数 a>1,则 f(x)的单调减区 3 间为________.

(2)已知 a>0, 函数 f(x)=x3-ax 在[1, +∞)上是单调递增函数, 则 a 的取值范围是________.

题型二 利用导数求函数的极值 1 例 2 设 a>0,函数 f(x)= x2-(a+1)x+a(1+ln x). 2 (1)求曲线 y=f(x)在(2,f(2))处与直线 y=-x+1 垂直的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. 思维启迪 (1)通过 f′(2)的值确定 a; (2)解 f′(x)=0,然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值. 解 a (1)由已知,得 x>0,f′(x)=x-(a+1)+ , x

y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为 1, a 所以 f′(2)=1,即 2-(a+1)+ =1, 2 所以 a=0,此时 f(2)=2-2=0, 故所求的切线方程为 y=x-2. a (2)f′(x)=x-(a+1)+ x = x2-?a+1?x+a ?x-1??x-a? = . x x

①当 0<a<1 时,若 x∈(0,a),f′(x)>0, 函数 f(x)单调递增;

若 x∈(a,1),f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 若 x∈(1,+∞),f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 此时 x=a 是 f(x)的极大值点,x=1 是 f(x)的极小值点, 1 函数 f(x)的极大值是 f(a)=- a2+aln a, 2 1 极小值是 f(1)=- . 2 ?x-1?2 ②当 a=1 时,f′(x)= >0, x 所以函数 f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增, 此时 f(x)没有极值点,故无极值. ③当 a>1 时,若 x∈(0,1),f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 若 x∈(1,a),f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 若 x∈(a,+∞),f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 此时 x=1 是 f(x)的极大值点,x=a 是 f(x)的极小值点, 1 函数 f(x)的极大值是 f(1)=- , 2 1 极小值是 f(a)=- a2+aln a. 2 1 综上,当 0<a<1 时,f(x)的极大值是- a2+aln a, 2 1 极小值是- ; 2 当 a=1 时,f(x)没有极值; 1 1 当 a>1 时,f(x)的极大值是- ,极小值是- a2+aln a. 2 2 思维升华 (1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一

定要注意分析这个零点是不是函数的极值点. (2)若函数 y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么 y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某 区间上单调函数没有极值.

ex 设 f(x)= ,其中 a 为正实数. 1+ax2

4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围.

题型三 利用导数求函数的最值 例 3 已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a=3,b=-9 时,若函数 f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为 28,求 k 的取值范围. 思维启迪 (1)题目条件的转化:f(1)=g(1)且 f′(1)=g′(1); (2)可以列表观察 h(x)在(-∞,2]上的变化情况,然后确定 k 的取值范围. 解 (1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b.

因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线, 所以 f(1)=g(1)且 f′(1)=g′(1),即 a+1=1+b 且 2a=3+b, 解得 a=3,b=3. (2)记 h(x)=f(x)+g(x),当 a=3,b=-9 时, h(x)=x3+3x2-9x+1,所以 h′(x)=3x2+6x-9. 令 h′(x)=0,得 x1=-3,x2=1. h′(x),h(x)在(-∞,2]上的变化情况如下表所示: x h′(x) h(x) (-∞,-3) + ?↗ -3 0 28 (-3,1) - ↘ 1 0 -4 (1,2) + ↗ 2 + 3

由表可知当 k≤-3 时,函数 h(x)在区间[k,2]上的最大值为 28; 当-3<k<2 时,函数 h(x)在区间[k,2]上的最大值小于 28. 因此 k 的取值范围是(-∞,-3]. 思维升华 (1)求解函数的最值时,要先求函数 y=f(x)在[a,b]内所有使 f′(x)=0 的点, 再计算函数 y=f(x)在区间内所有使 f′(x)=0 的点和区间端点处的函数值, 最后比较即得. (2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况.

已知函数 f(x)=xln x. (1)求函数 f(x)的极值点; (2)设函数 g(x)=f(x)-a(x-1),其中 a∈R,求函数 g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中 e 为自然对数的底数).

利用导数求函数的最值问题 典例:(12 分)已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值. 思维启迪 (1)解方程 f′(x)=0 列表求单调区间; (2)根据(1)中表格, 讨论 k-1 和区间[0,1] 的关系求最值. 规范解答 解 (1)由题意知 f′(x)=(x-k+1)ex.

令 f′(x)=0,得 x=k-1.[2 分] f(x)与 f′(x)的情况如下: x f′(x) f(x) (-∞,k-1) - ↘ k-1 0 -e
k -1

(k-1,+∞) + ↗

所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).[6 分] (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,f(x)在[0,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0)=-k;[8 分] 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时, f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-ek 1;


当 k-1≥1,即 k≥2 时,f(x)在[0,1]上单调递减,

所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e.[10 分] 综上,当 k≤1 时,f(x)在[0,1]上的最小值为 f(0)=-k; 当 1<k<2 时,f(x)在[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-ek 1;


当 k≥2 时,f(x)在[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e.[12 分] 答题模板 用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以 下几步答题: 第一步:求函数 f(x)的导数 f′(x); 第二步:求 f(x)在给定区间上的单调性和极值; 第三步:求 f(x)在给定区间上的端点值; 第四步:将 f(x)的各极值与 f(x)的端点值进行比较, 确定 f(x)的最大值与最小值; 第五步:反思回顾:查看关键点,易错点和解题规范. 温馨提醒 型. (2)本题的难点是分类讨论.考生在分类时易出现不全面,不准确的情况. (3)思维不流畅,答题不规范,是解答中的突出问题. (1)本题考查求函数的单调区间,求函数在给定区间 [0,1]上的最值,属常规题

方法与技巧 1. 利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况,直观而且条理,减 少失分. 2. 求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全;含参数时,要讨论参数的大小. 3. 在实际问题中, 如果函数在区间内只有一个极值点, 那么只要根据实际意义判定是最大值 还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较. 失误与防范 1. 注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行. 2. 求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论. 3. 解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题,处理好 f′(x)=0 时的情况;区分极值 点和导数为 0 的点.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题 1. 若函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象可能 为 ( )

2. 下面为函数 y=xsin x+cos x 的递增区间的是 π 3π A.( , ) 2 2 3π 5π C .( , ) 2 2 B.(π,2π) D.(2π,3π)

(

)

3. 设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的极值点,则 A.a<-1 1 C.a>- e B.a>-1 1 D.a<- e

(

)

1 4. 设函数 f(x)= x2-9ln x 在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数 a 的取值范围是( 2 A.1<a≤2 C.a≤2 B.a≥4 D.0<a≤3

)

5. 函数 f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值是 A.-2 B.0 C.2 D.4

(

)

二、填空题 9 6. 函数 f(x)=x+ 的单调减区间为________. x

7. 函数 f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是________. x2 8. 设函数 f(x)=x3- -2x+5,若对任意的 x∈[-1,2],都有 f(x)>a,则实数 a 的取值范围是 2 ________.

三、解答题 1 9. 已知函数 f(x)= +ln x.求函数 f(x)的极值和单调区间. x

10.已知函数 f(x)=x2+bsin x-2(b∈R),F(x)=f(x)+2,且对于任意实数 x,恒有 F(x)-F(- x)=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)已知函数 g(x)=f(x)+2(x+1)+aln x 在区间(0,1)上单调递减,求实数 a 的取值范围.


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