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云南省昆明市第一中学2017届高三月考卷(五)理数试题 Word版含答案



昆明第一中学 2017 届高中新课标高三第五次二轮复习检测 理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {0,1, 2,3, 4,5} ,集合 B ? {x ? N , A. {5} 2.已知复数 A. ? B. {0,5} C. {1,5}

x?4 ? 0} ,则 C A B ? ( x
D. {0, 4,5} )



i 5

1 ? ?? 2 ? i ??2i ? 1? ,则 z 等于( z 1 i 1 B. ? C. D. 5 5 5

3.设函数 f ? x ? 的定义域为 R ,且 f ? x ? 是偶函数,则下列结论中正确的是( A. f ? x ? 是偶函数 C. | f ( x ? 1) | 的图像关于直线 x ? 1 对称 B. f ? x ? 是奇函数



D. f ? x ? ? 1 的图象关于点 (0,1) 对称

4.已知双曲线

x y2 ? ? 1(m ? 0) 的离心率为 3 ,则 m 的值为( 4 m2
B. 2 C.3 D. 3



A. 2 2

5.在区间 [0, ? ] 上随机取一个实数 x ,使得 sin x ? ?0, ? 的概率为( A.

? 1? ? 2?



1

?

B.

2

?


C.

1 3

D.

2 3

6.如下图所示,某几何体的三视图中,正视图和侧视图都是腰长为 1 的等腰直角三角形, 则该几何体的体积为(

1

1 C. 1 D. 1 ? 2 3 sin 2 x 7.函数 f ( x) ? 的大致图像是( ) e| x|
A. B

1 6

A.

B.

C

D. )

8.执行如下图所示的程序框图,如果输入 s ? 0.1 ,则输出的 n ? (

A.2 9.设 ? ? (0, A. ? ? ? ?

B.3

C.4

D.5

?

cos ? 1 ? cos ? ? ,则( ? ) ? ? (0, ) ,且 2 2 sin ? sin ?
B. ? ?
2



π 2

?
2

?

π 2

C. ? -

?
2

?

π 2

D.

?
2

-? ?

π 2

10.已知抛物线 C : y ? 4 x 的焦点是 F ,过点 F 的直线与抛物线 C 相交于 P、Q 两点,且 点 Q 在第一象限,若 3PF ? FQ ,则直线 PQ 的斜率是(

??? ?

??? ?



A.

3 3

B.1

C. 2

D. 3

11.若函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 2 在区间 ? , 2 ? 内存在单调递增区间,则实数 ? 的取值范围
2

?1 ?2

? ?

是(



2

A. (??, ?2]

B. (? , ??)

1 8

C. (-2,-

1 ) 8

D. (?2, ??)

? x ? 2 y ? 1 ? 0, ? 12.已知点 P 为不等式组 ? x ? 2, 所表示的平面区域内的一点,点 Q 是 ? x ? y ? 1 ? 0, ?
2 M : ? x ? 1? ? y 2 ? 1 上的一个动点,则当 ?MPQ 最大时, PQ =(



A.1

B. 2

C.

11 3

D.

2 5 3

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. ( x ? )5 的展开式中含 x 3 的系数为

2 x

. (用数字填写答案)

14.甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步,跳远,铅球比赛,每人参加一项,每项都要有 人参加,他们的身高各不同,现了解到已下情况: (1)甲不是最高的; (2)最高的是没报铅球; (3)最矮的参加了跳远; (4)乙不是最矮的, 也没参加跑步. 可以判断丙参加的比赛项目是 .

15.平行四边形 ABCD 中, E 为 CD 的中点,动点 G 在线段 BE 上, AG ? x AB ? y AD , 则 2x ? y ? .

????

??? ?

????

16.已知三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c ,满足 C ?

?
6



b ? 4 3 sin B ,则三角形 ABC 面积的最大值为



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. (本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 ?an ?的前 n项和为S n , , a1 ? 1 ,且 6Sn ? an 2 ? 3an ? 2 , n ? N? . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an ;

b ? (Ⅱ)若 n

an ? 1 n Tn 2n ,求数列的前 项和 .

18. (本小题满分 12 分) 小明同学在寒假社会实践活动中,对白天平均气温与某家奶茶店的 A 品牌饮料销量之间的
3

关系进行了分析研究,他分别记录了 1 月 11 日至 1 月 15 日的白天气温 x(?C) 与该奶茶店 的 A 品牌饮料销量 y (杯) ,得到如下表数据:

(Ⅰ)若先从这五组数据中抽出 2 组,求抽出的 2 组书记恰好是相邻 2 天数据的概率; (Ⅱ)请根据所给五组书记,求出

? ?a ? y ? bx y 关于 x 的线性回归方程式 ? .

(Ⅲ)根据(Ⅱ)所得的线性回归方程,若天气预报 1 月 16 号的白天平均气温为 7(℃) , 请预测该奶茶店这种饮料的销量.

(参考公式:

b?

^

? ( x ? x)( y ? y) ? x y ? nx y
i ?1 i i

n

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

2

?x
i ?1

i ?1 n

i

i

, a ? y? b x

^

^

^

2 i

? n( x ) 2



19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC - A1 B1C1 的底面是边长为 2 的等边三角形, AA1 ? 底面 ABC ,点 E , F 分别是棱 CC1 , BB1 上的点,且 EC ? B1 F ? 2 FB. (Ⅰ)证明:平面 AEF ? 平面 ACC1 A1 ; (II)若 AA1 ? 3 ,求直线 AB 与平面 AEF 所成角的正弦值. 20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 2 已知椭圆 M : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 ,上顶点 B 是抛物线 x ? 4 y 的焦点. a b 2
(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; 且 OP ? OQ(O 是坐标原点) , 由点 O 作 OR ? PQ (Ⅱ) 若 P、Q 是椭圆 M 上的两个动点, 于 R ,试求点 R 的轨迹方程. 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? x ? 1nx ?

ax ? b ,曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线为 y ? 2 . x2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间;

4

(Ⅱ)当 1 ? x ? 4 时,证明

3 f ( x) ? f '( x) ? . 4

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ?

9 ,以极点为平面直角坐标系的原点,极 cos ? ? 9sin 2 ?
2

轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线 C 的普通方程; (2) A、B 为曲线 C 上两个点,若 OA ? OB ,求 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 , (1)若关于 x 的不等式 f ( x) ?|1 ? 3a | 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若关于 t 的一元二次方程 t 2 ? 4 2t ? f (m) ? 0 有实根,求实数 m 的取值范围.

1 1 的值. ? 2 | OA | | OB |2

昆明市第一中学 2017 届第五期月考
5

参考答案(理科数学)
一、选择题 题号 答案 1. 2. 3. 1 B 2 A 3 C 4 A 5 C 6 B 7 A 8 C 9 B 10 D 11 D 12 C

详细分析:集合 A ? ?0,1, 2,3, 4,5? ,集合 B ? ?1, 2,3, 4? ,所以 ?A B ? ?0,5? ,选 B. 详细分析:因为

1 i i ? ?5i , z ? ,所以 z ? ? ,选 A. z 5 5

详细分析:因为 f ( x) 是偶函数,所以 f ( x) 的图象关于 y 轴对称,所以 f ( x ? 1) 的图象 关于直线 x ? 1 对称,选 C.

4.

4 ? m2 ? 3 ,所以 m ? 2 2 ,选 A. 详细分析:依题设知 2
详细分析:在区间 ? 0, ? ? 上,当 x ? ? 0,

5.

? ? ? ? 5? ? ? 1? ? ? , ? ? 时, sin x ? ?0, ? ,所以所求概 ? ? 6? ? 6 ? ? 2?

?
率为 6 6.

?0?? ?

5? 6 ? 1 ,故选 C. ? ?0 3

详细分析:由三视图可知,该几何体是一个底面为正方形的四棱锥,高为 1 ,所以它的
1 1 体积 V ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ,选 B. 3 3

7.

详细分析:因为 f ( x) 是奇函数,排除 B,D,当 x ? 0 ,且无限趋近于 0 时, f ( x) ? 0 ,排 除 C,选 A.

8.

详细分析: 由框图知,T ?

1 1 1 1 时 n ? 1 ;T ? 时 n ? 2 ; ?;T ? 时 n ? 4 , 此时 ? 0.1 2 4 16 16

满足题意,输出 n ? 4 ,选 C.

sin(
9. 详细分析:

? ?
2 2

??) ??)

?

2sin 2 2sin

?
2

cos(

?
2

cos

?
2

,所以 tan(

?
2

? ? ) ? tan

?
2

, 因为 (

?

? ? ) ? (0, ) , 2 2

?

? ? ? (0, ) ,
2

所以

?
2

?

?
2

? ? ,即 ? ?

?
2

?

?
2

,选 B.

10. 详细分析:过点 P , Q 分别作抛物线的准线 l : x ? ?1 的垂线,垂足分别是 P 1 、 Q1 , 由抛物线的 Q1Q ? QF 定义可知, P 1 P ? FP ,设 PF ? k ( k ? 0) ,则 FQ ? 3k ,
6

又过点 P 作 PR ? Q1Q 于点 R ,则在直角 ?PRQ 中, RQ ? 2k , PQ ? 4k ,所以

? RPQ ?

?
3

,所以直线 QP 的倾斜角为

?
3

,所以直线 PQ 的斜率是 3 ,选 D.

11. 详细分析: f ?( x) ?

1 2ax 2 ? 1 1 ?1 ? ? 2ax ? ,2ax 2 ? 1 ? 0 在 ? , 2 ? 内有解区间, 所以 a ? ? 2 , x x 2 2 x ? ?

1? 1 1? ?1 ? ?1 ? ? ? 由于 x ? ? , 2 ? ,所以 x 2 ? ? , 4 ? , ?2 x 2 ? ? ?8, ? ? , ? 2 ? ? ?2, ? ? ,所以 a ? ?2 ,选 2? 2x ? 8? ?2 ? ?4 ? ?

D. 12. 详细分析:由图可知:在 ?PQM 中, MQ ? 1 ,当 MP 最短,且 PQ 与圆相切时, ?MPQ 最大,其中 ( MP ) min ?

2 5 11 ,此时 PQ ? MP 2 ? 1 ? ,选 C. 3 3

二、填空题
13. 详细分析:由 Tr ?1 ? C5r x5? r (
1 C5 (?2)1 ? ?10 .

?2 r ) ? C5r (?2)r x 5? 2 r ,令 5 ? 2r ? 3 ,解得 r ? 1 ,所以 x

14. 详细分析:由(4)可知,乙参加了铅球比赛,再由(2)可知乙不是最高的,所以三人 中乙身高居中;再由(1)可知,甲是最矮的,参加了跳远,所以丙最高,参加了跑步 比赛.

??? ? 15. 详细分析:设 EG ? ? EB, ? ? ? ? 0,1?? ,因为
???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 1 ? ? ??? ? ???? 1? ? AG ? AE ? EG ? AE ? ? EB ? AB ? ?1 ? ? ? AD ,所以 1 ? ? ? y, ? x , 2 x +y ? 2 . 2 2

16. 详细分析:因为 C =

p c b ,又 = = 4 3 ,得 c = 2 3 , 6 sin C sin B
3ab ? 2

而 c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C = a 2 + b 2 -

(

3 ab ,所以

)

ab ?

12

(2 -

3

)

12 2 +

(

3 ,当且仅当 a = b = 12 (2 +

)

3 时等号成立,

)

7

即 SD ABC =

1 1 ab sin C = ab ? 3 2 2 4

(

3 = 6 + 3 3 ,即当 a = b = 12 2 +

)

(

3 时,

)

三角形 ABC 面积最大值为 6 + 3 3 .

三、解答题
17. 解: (Ⅰ)由 6Sn ? an 2 ? 3an ? 2 , n ? N? ,得, 所以 6Sn ?1 ? a 2 n ?1 ? 3an ?1 ? 2 , 两式相减得 6an ?1 ? a 2 n ?1 ? an 2 ? 3an ?1 ? 3an 所以 a 2 n ?1 ? an 2 ? 3an ?1 ? 3an ? (an ?1 ? an ) ? an ?1 ? an ? 3? ? 0 因为 an ? 0 n ? N? ,所以 an ?1 ? an ? 0 ,所以 an ?1 ? an ? 3 , 由 6a1 ? a12 ? 3a1 ? 2 ,所以 a1 ? 1 或 a1 ? 2 ; 因为 a1 ? 1 ,所以 a1 ? 2 , 故

a n ? 2 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 1 .
??6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 所以 Tn ?
3n ? 2 2n

?

1 4 7 3n ? 5 3n ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? 2 2 2 2 2n

?① ?②

1 1 4 7 3n ? 5 3n ? 2 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2n 2

1? 1 ? 1 ? n ?1 ? 2 ? 1 1 3 3 3 3n ? 2 1 2 2 ? 3n ? 2 ? n ?1 , ①-②得: Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ? ? 3 ? ? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2
?2? 3n ? 4 2n ?1

所以
Tn ? 4 ? 3n ? 4 . 2n

??

?12 分 18.详细分析: (Ⅰ)设“选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天的数据”为事件 B ,所有基本事件

? m, n ?(其中 m ,n 为1月份的日期数)有 C52 ? 10 种, 事件 B 包括的基本事件有 ?11,12 ? ,
8

?12,13? , ?13,14 ? , ?14,15? 共 4 种.
P( B) ? 4 2 ? . 10 5

所以 ???4 分

(Ⅱ)由数据,求得 x ?

9 ? 10 ? 12 ? 11 ? 8 23 ? 25 ? 30 ? 26 ? 21 ? 10 , y ? ? 25 . 5 5

? ? 2.1 , a ? ? 4 , 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 ? ? y ? bx 由公式,求得 b
? ? 2.1x ? 4 . 10 分 y

? ? 2.1? 7 ? 4 ? 18.7 .所以该奶茶店这种饮料的销量大约为 19 (Ⅲ)当 x ? 7 时, y
杯. ???12 分

18. 解: (Ⅰ)证明:取 AC 中点 M ,连接 BM ,则 BM ? AC , 因为 AA1 ? 底面 ABC ,所以侧面 ACC1 A1 ? 底面 ABC , 所以 BM ? 平面 ACC1 A1 . 取 AE 中点 N ,连接 MN , FN ,则 MN // EC ,且 MN ? 又因为 BB1 // CC1 , EC ? 2 FB ,所以 FB // EC 且 FB ?
1 EC , 2

1 EC , 2

所以 MN // FB 且 MN ? FB ,所以四边形 BMNF 是平行四边形, 所以 FN // BM ,所以 FN ? 平面 ACC1 A1 .又 FN ? 平面 AEF , 所以平面 AEF ? 平面
ACC1 A1 .

???6 分

z A1 N C M x A E

C1 B1

F B y

(Ⅱ)以 M 为原点, MA, MB 分别为 x 轴, y 轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为
??? ? AA1 ? 3 ,依题意得 A(1, 0, 0) , B(0, 3, 0) , E (?1,0, 2) , F (0, 3,1) ,所以 AE ? (?2, 0, 2) ,

9

???? ??? ? AF ? (?1, 3,1) , AB ? (?1, 3, 0)

设平面 AEF 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
? ? ??? ? ? ??2 x ? 2 z ? 0, ?n ? AE ? 0, ? 由 ? ? ???? 得? 令 x ? 1 ,得 n ? (1,0,1) , ? ?? x ? 3 y ? z ? 0, ?n ? AF ? 0, ?

?

? ? ??? n ? AB ??? ? ?1 2 ? ? 设直线 AB 与平面 AEF 所成的角为 ? ,则 sin ? ? cos ? n , AB ? ? ? ??? , ? ? 4 n ? AB 2 2
故直线 AB 与平面 AEF 所成角的正弦值为
2 . 4

???12 分

19. 解: (Ⅰ)由题设知 又b ?1 ②

c 2 ? ? a 2 ? 2b 2 a 2



所以椭圆 M 的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 2

???4 分

(Ⅱ) (i ) 若直线 PQ ? x 轴,设直线 PQ : y ? m ,并联立椭圆方程解出

P( 2 ? 2m 2 , m) , Q(? 2 ? 2m 2 , m) ,由 OP ? OQ 得
??? ? ???? 6 ? 定值; OP ? OQ ? 0 ? 3m 2 ? 2 ? 0 ? OR ? m ? 3

(ii ) 若直线 PQ 不平行 x 轴,设直线 PQ : x ? ty ? n , ( t ? R , n ? R ) ,联立椭圆 M 的
方程消 x 得 (t ? 2) y ? 2tny ? (n ? 2) ? 0 ,设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,由韦达定理得
2 2 2

y1 ? y2 ? ?

2tn 2 t ?2

③, y1 y2 ?

n2 ? 2 t 2 ?2

④,由 OP ? OQ 得 OP ? OQ ? 0 ,即

??? ? ????

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 (ty1 ? n)(ty2 ? n) ? y1 y2 ? 0 ,
即 (t 2 ? 1) y1 y2 ? tn( y1 ? y2 ) ? n 2 ? 0 把③、④代入⑤并化简得 t ?
2



3n 2 ? 1 ,所以 2
???9 分

n2 ?

2 3

10

又原点 O 到直线 PQ 的距离 OR ?

n 1? t2

?

n 3n 2 2

?

6 ? 定值,所以动点 R 的轨迹是以 3

点 O 为圆心,

6 为半径的圆,其方程为 3
???12 分

x2 ? y 2 ?

2 . 3
1 a 2b , ? ? x x 2 x3

20. 解: (Ⅰ) 函数 f ( x) 定义域为 (0 , ? ?) ,
f ?( x) ? 1 ?

???2 分 ???

由已知得 f (1) ? 2 , f ?(1) ? 0 ,得: a ? 2 , b ? ?1 , 3分 所以 f ?( x) ?

( x 2 ? 2)( x ? 1) ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2 或 0 ? x ? 1 , x3

由 f ?( x) ? 0 得 1 ? x ? 2 ,所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0 , 1) , 单调递减区间为

?

2 , ?? ,

?

?1 , 2 ? .
(Ⅱ) 由 f ( x) ? f ?( x) ? x ? ln x ? 令 g ( x) ? x ? ln x , h( x) ?

???5 分
2x ? 1 1 2 2 3 1 2 ? (1 ? ? 2 ? 3 ) ? x ? ln x ? ? 2 ? 3 ? 1 , x2 x x x x x x

3 1 2 1 (1 ? x ? 4 ) , ? ? ? 1 ,因为 g ?( x) ? 1 ? x x 2 x3 x

所以 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 ?1 , 4? 上为增函数, 所以 g ( x) ? g (1) ? 1 ( x ? 1 时取“ ? ” ) , 8分 而 h?( x) ? ???

?3x 2 ? 2 x ? 6 19 ? 1 ,由 u ( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? 6 ? 0 , 得: x ? , 4 x 3
? 19 ? 1 ? 19 ? 1 19 ? 1 时, u ( x) ? 0 , ? x ? 4 时, u ( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 ? ?1 , ? 为增 3 ? 3 3 ? ?

所以 1 ? x ?

? 19 ? 1 ? 7 7 , 4? 函数,在 ? ? 3 ? 为减函数,而 h(1) ? 1 , h(4) ? ? 32 ,所以 h( x) ? ? 32 ( x ? 4 时取 ? ?
“?” ) , ??10 分 所以 f ( x) ? f ?( x) ? g (1) ? h(4) ?
25 3 3 即:f ( x) ? f ?( x) ? . ? , 32 4 4

???

11

12 分 第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.解:(Ⅰ)由 ? 2 ?
9 得 ? 2 cos 2 ? ? 9? 2 sin 2 ? ? 9 , cos 2 ? ? 9sin 2 ?

将 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代入得到曲线 C 的普通方程是

x2 ? y2 ? 1 . 9
(Ⅱ)因为 ? 2 ? 所以
1
2

???5 分
9 , cos ? ? 9sin 2 ?

?2

?

cos 2 ? ? sin 2 ? , 9

由 OA ? OB ,设 A( ?1 , ? ) ,则 B 点的坐标可设为 ( ? 2 , ? ? 所以
1 1 1 1 ? ? ? 2 | OA |2 | OB |2 ?12 ? 2

?
2

),

cos 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? ? cos 2 ? 9 9 1 10 ? ?1 ? . 9 9 ?
??10 分 23.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 4, 所以 1 ? 3a ? 4 ,即 ?1 ? a ?
5 , 3

?

5? ? 所以实数 a 的取值范围为 ? ?1 , ? .???5 分 3? ? (Ⅱ) ? ? 32 ? 4( 2m ? 1 ? 2m ? 3 ) ? 0 ,



2m ? 1 ? 2m ? 3 ? 8 ,

所以不等式等价于

3 3 1 ? ? 1 ? ?m ? , ?? ? m ? , ?m ? ? , 或 或 2 2 2 ? ? 2 ? ? ? ? (2 m ? 1) ? (2 m ? 3) ? 8, (2 m ? 1) ? (2 m ? 3) ? 8, ? (2 m ? 1) ? (2m ? 3) ? 8. ? ? ?
所以
3 5 3 1 1 3 ? m ? ,或 ? ? m ? ,或 ? ? m ? ? , 2 2 2 2 2 2

3 ? 所以实数 m 的取值范围是 ?m | ? ? m ? 2 ?

5? ?. 2?

???10 分

12



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