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高三数学复习中档题14



中档题 14
一、填空题 1.设 i 是虚数单位,若 z ?
2 ? ai 是实数,则实数 a=__________. 1? i

2.已知集合 A={-1,a},B= 2 a , b ,若 A? B ? ?1? ,则 A? B ? ____________.

? ?

3.已知样本 a,b,5,6

,7 的平均数是 5,方差是 2,则 ab 的值为_____________. 4.执行如图所示的流程图,则输出的 n=____________.

5.圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 12 ? 0 上一点到直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的距离的最大值为_________.

6.下列四个命题:
2 ① ?n ? R, n ? n ;

② ?n ? R, n 2 ? n ; ④ ?n ? R, ?m ? R, mn ? m .

③ ?n ? R, ?m ? R, m 2 ? n ;

其中真命题是_______________.(写出所有真命题的序号) 7.如图甲,在透明塑料制成的长方体容器 ABCD? A1B1C1D1 内灌进一些水,固定容器底面一 边 BC 于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个命题: ①水的部分始终呈棱柱状; ②水面四边形 EFGH 的面积不改变; ③棱 A1 D1 始终与水面 EFGH 平行; ④当容器倾斜如图乙时, EF ? BF 是定值. 其中正确的是_____________.(写出所有正确命题的序号)

8.设等差数列 ?an ? 满足公差 d ? N * , an ? N * ,且 ?an ? 中任意两项之和也是该数列中的一项.若
a1 ? 35 ,则 d 的所有可能取值之和为______________.

二、解答题 9.已知 m, x ? R ,向量 a ? ( x,?m), b ? ((m ? 1) x, x) . (1)当 m>0 时,若|a|<|b|,求 x 的取值范围; (2)当 a ? b ? 1 ? m 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围.
? ? ?

10.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD? A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,F 为 DC1 的中点. (1)求证:BD1//平面 C1DE; (2)求三棱锥 A-BDF 的体积.

11.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C :

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 的离心率为

3 ,以原点 2

为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相切.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(0,1) ,Q(0,2).设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点,直线 PM 与 QN 相交于点 T.求证:点 T 在椭圆 C 上.

12.已知二次函数 y=f (x)的图象经过点(0,1) ,其导函数 f , ( x) ? 6 x ? 2 ,数列{an}的前 n 项和 为 Sn,点 (n, S n )(n ? N * ) 均在函数 y=f (x)的图象上. (1)求 an 和 Sn ; (2)设 bn ? 整数 m.
m 3 求使得 Tn ? 21 对所有 n ? N * 都成立的最小正 , Tn 是数列{bn}的前 n 项和, an an ?1

13.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 上有一个最低点为 M (

?
2

)的周期为 ? ,且图像

2? , ?3) 3

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x) ? f ( x ?

?
4

) 的最大值及对应 x 的值.

14.某企业接到生产 3 000 台某产品的 A、B、C 三种部件的订单,每台产品需要这三种部件 的数量分别为 2、2、1(单位:件).已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件,或 B 部件 3 件, 或 C 部件 2 件.该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件,生产 B 部件的 人数与生产 A 部件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数). (1) 设生产 A 部件的人数为 x,分别写出完成 A、B、C 三种部件生产需要的时间; (2) 假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间最短, 并给出时间最短时具体的人数分组方案.

中档题 14 1.1 2.

?-1,1, 2?

3. 12

4.5

5.4

6.②④

7.①③

8.364

9.(1)| a =x2 ? m2, b =(m ? 1)2 x 2 ? x 2,因为 a ? b ,所以 a ? b . 从而

?2

?2

?

?

?2

?2

x 2 ? m2 ? (m ? 1)2 x 2 ? x 2 .因为m ? 0,所以(
? ?
2

m 2 m m ) ? x 2 , 解得x<或x> . m+1 m ?1 m ?1
2

(2) a ? b=(m ? 1) x ? mx.由题意,得(m ? 1) x ? mx >1-m对任意的实数x恒成立,

?m>-1, ?m+1 ? 0, ? ? 从而 ? 2 解得 ? 2 3 2 3 2 3 或m<, 所以m ? . ?m -4 ? m+1?? m ? 1? ? 0. ? ?m> 3 3 3 ?
10.(1) 连接D1C与DC1交于点F,连接EF,因为E为BC中点,F 为D1C的中点.

所以EF ? BD1 , 又EF ? 平面C1DE,BD1 ? 平面C1DE, 所以BD1 ? 平面C1DE.

(2)由于点F 到平面ABD的距离为1,故三棱锥A ? BDF的体积

V

A? BDF

? V F ? ABD ?

1 1 1 2 S ? ABD ?1 ? 3 ? 2 2 ? 2 ?1 ? 3 . 3

11.(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离,即因为离心率 c 3 b 1 x2 y 2 ?c? e? ? , 所以 ? 1 ? ? ? ? , 所以a=2 2, 椭圆C的方程为 ? ? 1. a 2 a 2 8 2 ?a?
(2)由题意可设M,N的坐标分别为(? x0 , y0 ), (? x0 , y0 ),由直线PM的方程为y= y0 ? 1 x ?1 x0
2

①, 直线QN的方程为y=

y0 ? 2 x ? 2 ②. 设点T的坐标为( x, y ),联立 ①②解得 ? x0
2 2

x2 y2 x 3y ? 4 1 ? x ? ? 3y ? 4 ? x0 ? , y0 ? .因为 0 ? 0 ? 1,所以 ? ? +? ? =1,整理得 2y ?3 2y ?3 8 2 8 ? 2y ?3 ? ? 2y ?3 ?

x 2 (3 y ? 4) 2 x2 9 y 2 x2 y 2 2 2 ? ? (2 y ? 3) , 即 + ? 12 y ? 8 ? 4 y ? 12 y ? 9, 即 ? ? 1.所以 8 2 8 2 8 2 点T的坐标满足椭圆C的方程,即点T 在椭圆C上.
12. 1)由题意,设f ( x) ? ax 2 ? bx ? c.因为函数y ? f ( x)的图象经过点(0,1), 所以c ? (

f (0) ? 1.而6 x ? 2 ? f ' ( x) ? 2ax ? b, 所以a ? 3, b ? ?2.于是f ( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 1.因为点

(n, Sn )(n ? N ? )均在函数y ? f ( x)的图象上,所以Sn ? 3n 2 ? 2n ? 1.a1 ? S1 ? 2, 当n ? 2时,an ? Sn ? Sn ?1 ? 3n 2 ? 2n ? 1 ? [3(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ? 1] ? 6n ? 5,

?2, n ? 1 故an ? ? ?6n ? 5, n ? 1.

(2)bn ?

3 an an ?1

?3 ?3 ?14 , n ? 1, ? , n ? 1, ? ?14 ?? ?? 3 1 1 1 ? ,n ?1 ? ( ? ), n ? 1. ? 2 6n ? 5 6n ? 1 (6n ? 5)(6n ? 1) ? ? ?

?当n ? 1时,Tn ?

3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? …+( ? )]= ? . 14 2 7 13 13 19 6n ? 5 6n ? 1 7 2(6n ? 1)

?m 3 9 ? ? 21 ? 14 , ?m ? 2 , m ? ? Tn ? 对所有n ? N ?都成立,则 ? 对所有n ? N ?都成立,得 ? m 2 1 21 ? ? ? ?m ? 2, ? 21 7 ? ? ? 21 7 2(6n ? 1)

解得m ? 6.故所求最小正整数m为6.
2? ? ? ,得 ? ? 2 ,

13. (1)由

2? ,?3) ,得 A ? 3 . 3 2? 3? ? ? 且 2? ?? ? ? 2k? ,0 ? ? ? ,?? ? . 6 3 2 2
由最低点位 M ( 故 f ( x) ? 3 sin(2 x ? (2) y ? f ( x) ? f ( x ? = 3 sin(2 x ?

?

?

?

6

).

) ? 3 cos(2 x ? ) 6 6 5? = 3 2 sin(2 x ? ) 12
? ymax ? 3 2 .
此时, 2 x ?

?

) ? 3 sin(2 x ? ) ? 3 sin[2( x ? ) ? ] 4 6 4 6

?

?

?

?

5? ? ? ? 2k? ? , x ? k? ? , k ? Z . 12 2 24

14. (1) 设完成 A、 C 三种部件的生产任务需要的时间(单位: B、 天)分别为 T1(x)、 2(x)、 3(x), T T 由题设有

2× 000 1 000 3 T1(x)= = , 6x x 2 000 T2(x)= , kx 1 500 T3(x)= , 200-(1+k)x 其中 x,kx,200-(1+k)x 均为 1 到 200 之间的正整数. (2) 完 成 订 单 任 务 的 时 间 为 f(x) = max{T1(x) , T2(x) , T3(x)} , 其 定 义 域 为 200 ? ? ? ?x 0<x< ,x∈N*?. 1+k ? ? ? 2 易知 T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数.注意到 T2(x)= T1(x),于是 k ① 当 k=2 时,T1(x)=T2(x),此时

1500 ?1000 1000 ? x , x ? 200 ? 3x 1 500 ? ? ?1 000 f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max? x ,200-3x? ? ? , ? ? ? 1500 , 1500 ? 1000 ? 200 ? 3x 200 ? 3x x ?
1 000 1 500 400 由函数 T1(x),T3(x)的单调性知,当 = 时 f(x)取得最小值,解得 x= .由 x 9 200-3x 400 250 300 于 44< <45,而 f(44)=T1(44)= ,f(45)=T3(45)= ,f(44)<f(45) .故 x=44 当时完成 9 11 13 250 订单任务的时间最短,且最短时间为 f(44)= . 11 375 ② 当 k>2 时,T1(x)>T2(x),由于 k 为正整数,故 k≥3,此时 k=3 时,T(x)= ,φ(x) 50-x =max{T1(x),T(x)}易知 T(x)为增函数,则 f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}=φ(x) 375 ? ?1 000 1 000 375 =max? x ,50-x?.由函数 T1(x),T(x)的单调性知,当 = 时 φ(x)取得最小值, x 50-x ? ? 400 400 250 250 375 250 解得 x= .由于 36< <37,而 φ(36)=T1(36)= > ,φ(37)=T(37)= > ,此时 11 11 9 11 13 11 250 完成订单任务的最短时间大于 . 11 ③ 当 k<2 时, T1(x)<T2(x),由于 k 为正整数,故 k=1,此时 f(x)=max{T2(x),T3(x)} 750 ? ?2 000 2 000 750 =max? x ,100-x?.由函数 T2(x),T3(x)的单调性知, 当 = 时 f(x)取得最小 x 100-x ? ? 800 250 250 值, 解得 x= . 类似①的讨论. 此时 k=1, f(72)=T2(72)= , f(73)=T3(73)= , f(72)=f(73), 11 9 9 250 250 完成订单任务的最短时间为 ,大于 . 9 11 综上所述,当 k=2 时完成订单任务的时间最短,此时生产 A,B,C 三种部件的人数分 别为 44,88,68.



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