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(老师)第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式



第三节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)cos(α-β)=cos (2)cos(α+β)=cos (3)sin(α+β)=sin (4)sin(α-β)=sin (5)tan(α+β)= 2.倍角公式 (1)sin 2α=2sin αcos α; αcos αcos αcos αcos β+

sin β-sin β+cos β-cos αsin αsin αsin αsin β; β; β; β;

tan α+tan β tan α-tan β ;(6)tan(α-β)= . 1-tan αtan β 1+tan αtan β

(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (3)tan 2α= 2tan α . 1-tan2α

3.有关公式的逆用、变形 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan αtan β); (2)cos2α= (3)1+sin 1+cos 2α 1-cos 2α ,sin2α= ; 2 2 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2.

4.辅助角公式 函数 f(α)=acos α+bsin α(a,b 为常数),可以化为 f(α)= a2+b2sin (α+

b a φ)(其中 tan φ=a)或 f(α)= a2+b2cos (α-φ)(其中 tan φ=b). 训练题 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α,β 是任意的.( (2)存在实数 α,β,使等式 sin(α+β)=sin α+sin β 成立.( (3)公式 tan(α+β)= tan α+tan β 可以变形为 tan α+tan β 1-tan αtan β ) ) )

=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角 α,β 都成立.(

θ θ (4)cos θ=2cos22-1=1-2sin22.( (5)存在实数 α,使 tan 2α=2tan α.(
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√

) )

2.(2015· 新课标全国卷Ⅰ)sin 20° cos 10° -cos 160° sin 10° =( 3 A.- 2 3 B. 2 1 C.-2 1 D.2

)

1 [解析] 原式=sin 20° cos 10° +cos 20° sin 10° =sin(20° +10° )= . 2

3.已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= 5 A.- 3 5 B.- 9 5 C. 9

3 ,则 cos 2α=( 3 5 D. 3

)

1 2 [解析] 由(sin α+cos α)2= 得 2sin αcos α=- ,∵α 在第二象限, 3 3 ∴cos α-sin α=- ?sin α+cos α?2-4sin αcos α=- 15 , 3 3 ? 5 15? × =- , 3 ?- 3 ? 3

故 cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=

π? 3 ? ?π ? 2 4.已知 tan?α-6?= ,tan?6+β?= ,则 tan(α+β)的值为( ? ? 7 ? ? 5 29 A.41 1 B.29 1 C.41 D.1

)

π π 3 2 α- ?+tan? +β? + tan? 6 6 7 5 ? ? ? ? π π ?α- ?+? +β??= [解析] tan(α+β)=tan? = = 1, ?? 6? ?6 ?? π ?π+β? 1-3×2 α- ?· 1-tan? tan 7 5 ? 6? ?6 ?

5.

cos 10° - 3sin 10° = sin 20°

.

3 ?1 ? 2? cos 10°- sin 10°? 2 ?2 ? 2sin?30°-10°? [解析] 原式= = =2. sin 20° sin 20°

π? 1 1 ? 6.已知 cos α=3,cos(α+β)=-3,且 α、β∈?0,2?,则 cos(α-β)=( ? ? 1 A.-2 1 B.2 1 C.-3 23 D.27

)

π? 1 2 [解析] 因为 α∈? ?0,2?,所以 2α∈(0,π).因为 cos α=3,所以 cos 2α=2cos α-1=

π? 7 4 2 - ,所以 sin 2α= 1-cos22α= .又 α、β∈? ?0,2?,所以 α+β∈(0,π),所以 sin(α+β) 9 9 2 2 = 1-cos2?α+β?= , 所以 cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) 3 7? ? 1? 4 2 2 2 23 =? ?-9?×?-3?+ 9 × 3 =27.

π? 2π? 4 3 π ? ? 7.已知 sin?α+3?+sin α=- 5 ,-2<α<0,则 cos?α+ 3 ?等于( ? ? ? ? 4 A.-5 3 B.-5 4 C.5 3 D.5

)

π 4 3 π 3 3 4 3 α+ ?+sin α=- [解析] ∵sin? ,- < α <0 ,∴ sin α + cos α =- , 3 ? ? 5 2 2 2 5 ∴ 2π? 3 1 4 2π 2π 1 3 4 sin α+ cos α=- .∴cos? ?α+ 3 ?=cos αcos 3 -sin αsin 3 =-2cos α- 2 sin α=5. 2 2 5

3π? 5 10 ?π ? ? 8 若 sin 2α= 5 ,sin(β -α)= 10 ,且 α∈?4,π?,β∈?π, 2 ?,则 α+β 的值是 ? ? ? ? 7π A. 4 9π B. 4 5π 7π C. 4 或 4 5π 9π D. 4 或 4

π ? π π ? π π? ? 又 sin 2α= 5, [解析] (1)因为 α∈? 故 2α∈? 故 2α∈? α∈? ?4,π?, ?2,2π?, ?2,π?, ?4,2?, 5 3π π 5π 2 5 3 10 π, ?,故 β-α∈? , ?,于是 cos(β-α)=- ∴cos2α=- ,β∈? ,∴cos(α+β) 2? ? ?2 4 ? 5 10 2 5 ? 3 10? 5 10 2 =cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin (β-α)=- × - - × = , 5 10 2 ? 10 ? 5 5π 7π ? 且 α+β∈? ? 4 ,2π?,故 α+β= 4 .

9.在△ABC 中,tan A+tan B+ 3= 3tan A· tan B,则 C 等于( π A.3 2π B. 3 π C.6 π D.4

)

[解析] 由已知可得 tan A+tan B= 3(tan A· tan B-1), tan A+tan B 2 π ∴tan(A+B)= =- 3,又 0<A+B<π,∴A+B= π,∴C= . 3 3 1-tan Atan B

5 3 10 10.已知锐角 α,β 满足 sin α= 5 ,cos β= 10 ,则 α+β 等于( 3π A. 4 π 3π B.4或 4 π C.4 π D.2kπ+4(k∈Z)

)

[解析] 由 sin α=

5 3 10 2 5 10 ,cos β= 且 α,β 为锐角,可知 cos α= ,sin β= ,故 5 10 5 10

2 5 3 10 5 10 2 π cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= × - × = ,又 0<α+β<π,故 α+β= . 5 10 5 10 2 4

π? π? ? ? 11.若 α∈?0,4?,且 tan?α+4?=2cos 2α,则角 α 的大小为 ? ? ? ?
π α+ ? sin ? 4? ? π α+ ?=2cos 2α,得 [解析] 由 tan? =2(cos2α-sin2α), ? 4? π ? cos ? ?α+4?



sin α+cos α 整理得: =2(cos α-sin α)(cos α+sin α), 因为 sin α+cos cos α-sin α π π 1 1 2 α≠0,所以可得(cos α-sin α) = ,解得 sin 2α= ,由 α∈?0, 4 ?,得 2α∈?0, 2?, ? ? ? ? 2 2 π π 所以 2α= ,α= . 6 12

3 1 12.已知 α,β 均为锐角,且 sin α=5,tan(α-β)=-3. (1)求 sin(α-β)的值;(2)求 cos β 的值.
π π π π 1 [解] (1)∵0<α< ,0<β< ,∴- <α-β< .又 tan(α-β)=- , 2 2 2 2 3 π ∴- <α-β<0,且 cos(α-β)=-3sin(α-β).由 sin2(α-β)+cos2(α-β)=1, 2 得 10sin2(α-β)=1.∴sin(α-β)=- 10 . 10

3 4 3 10 (2)由 sin α= 及 α 为锐角,得 cos α= .由(1)知 cos(α-β)= . 5 5 10 ∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 4 3 10 3 ? 10? 9 10 = × + ×?- ?= 50 . 5 10 5 ? 10 ?

?π π? 13.若 θ∈?4,2?,sin ? ? 3 A.5 4 B.5

3 7 2θ= 8 ,则 sin 7 C. 4 3 D.4

θ=(

)

π π? 3 7 1 ?π ? [解析] 由 θ∈? ?4,2?,得 2θ∈?2,π?.又 sin 2θ= 8 ,故 cos 2θ=-8.故 sin θ= 1-cos 2θ 3 = . 2 4

2 π 14.已知 sin α-cos α=3,则 sin2(4-α)=( 1 A.18 1 B.9 2 C. 9 2 D.9

)

π -2α? 1-cos? 2 ? ? π 2 5 2? ? [解析] 将 sin α-cos α= 两边平方得 2sin αcos α= ,所以 sin ?4-α?= 3 9 2 1-2sin αcos α 2 = = , 2 9

?π ? 1 ?2π ? 15.若 sin ?6-α?=3,则 cos ? 3 +2α?的值为( ? ? ? ? 1 A.3 1 B.-3 7 C.9 7 D.-9

)

π ? 1 ?π ? 1 [解析] 因为 sin ? ?6-α?=3,所以 cos ?3+α?=3, 2π 1 7 2?π ? ? 即 cos ? ? 3 +2α?=2cos ?3+α?-1=2×9-1=-9.

?π ? tan?4+α?cos 2α ? ? 16.计算 =( ? 2?π 2cos ?4-α? ? ? A.-2 B.2

)

C.-1
π ? sin? ?4+α?

D.1

π -2α? · sin? 2 ? ? π π ? ? +α?cos 2α cos?4+α? tan? ?4 ? [解析] 解法一: = π π ? -α? 2cos2? 2cos2? ?4 ? ?4-α? π ? cos? ?4-α? = π ? sin? ?4-α? π ? ?π ? · 2sin? ?4-α?cos?4-α? =1.

π ? 2cos2? ?4-α?

π π? π 3 tan? 3× ?4+12?cos6 2 π 解法二:取 α= ,则原式= = =1. 12 π π? 3 - 2× 2cos2? 4 ?4 12?

3 17.已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= 3 ,则 cos 2α 等于( 5 A.- 3 5 B.- 9 5 C. 9 5 D. 3

)

[解析] 解法一:∵sin α+cos α=

3 1 ,∴(sin α+cos α)2= , 3 3

2 2 ∴2sin αcos α=- ,即 sin 2α=- . 3 3

又∵α 为第二象限角且 sin α+cos α=

3 >0, 3

π 3 3 ∴2kπ+ <α<2kπ+ π(k∈Z),∴4kπ+π<2α<4kπ+ π(k∈Z), 2 4 2 ∴2α 为第三象限角,∴cos 2α=- 1-sin2 2α=- 解法二:由 sin α+cos α= 2 ∴2sin αcos α=- . 3 ∵α 为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0, ∴sin α-cos α= ?sin α-cos α?2= 1-2sin αcos α= 15 . 3 5 . 3

3 1 两边平方得 1+2sin αcos α= , 3 3

?sin α+cos α= 33, 由? 15 ?sin α-cos α= 3 ,
∴cos 2α=2cos 2α-1=-

? ?sin α= 得? ? ?cos α=
5 . 3

3+ 15 , 6 3- 15 . 6

18.

sin 47° -sin 17° cos 30° 等于( cos 17° 3 A.- 2 1 B.-2

) 1 3 C.2 D. 2

sin?30° +17° ?-sin 17° cos 30° [解析] 原式= cos 17° = sin 30° cos 17° +cos 30° sin 17° -sin 17° cos 30° sin 30° cos 17° 1 = =sin 30° = . cos 17° cos 17° 2

19.4cos 50° -tan 40° =( A. 2 B. 2+ 3 2

) C. 3 D.2 2-1

sin 40° -sin 40° 2sin 80° -sin 40° sin 40° 4cos 40° [解析] 原式=4sin 40° - = = cos 40° cos 40° cos 40° = 2sin?120° -40° ?-sin 40° 3cos 40° +sin 40° -sin 40° 3cos 40° = = = 3, cos 40° cos 40° cos 40°

π 2π ? 23π? 20. cos 9· cos 9 · cos?- 9 ?=( ? ? 1 A.-8 1 B.-16 1 C.16

) 1 D.8

23 ? π 2π [解析] cos · cos · cos? · cos 40° · cos 100° =-cos 20° · cos 40° · cos 80° ?- 9 π?=cos 20° 9 9 1 sin 40° · cos 40° · cos 80° 2 sin 20° cos 20° cos 40° cos 80° =- =- sin 20° sin 20° 1 1 1 sin 80° · cos 80° sin 160° sin 20° 4 8 8 1 =- =- =- =- . sin 20° sin 20° sin 20° 8

π? 1 5 ?π π? ? 21.已知 tan α+tan α=2,α∈?4,2?,则 sin?2α-4?的值为( ? ? ? ? 7 2 A.- 10 2 B. 10 2 C.- 10 7 2 D. 10

)

1 1 5 tan α- ?=0, [解析] 由 tan α+ = ,得(tan α-2)? 2? ? tan α 2 π π? 1 即 tan α=2 或 tan α= ,∵α∈? ?4,2?,得 tan α>1, 2 π? 1 2 2 2 ∴tan α= 舍去.sin? ?2α-4?= 2 (sin 2α-cos α+sin α) 2 =
2 2 2 2 2sin αcos α-cos α+sin α 2 2tan α-1+tan α 7 2 × = × = . 2 2 10 cos2α+sin2α 1+tan2α

1+sin β π? π? ? ? 22.设 α∈?0,2?,β∈?0,2?,且 tan α= cos β ,则( ? ? ? ? π A.3α-β=2 π π B.2α-β=2 C.3α+β=2

) π D.2α+β=2

1+sin β sin α 1+sin β [解析] 由 tan α= 得 = , cos β cos α cos β π ? 即 sin αcos β=cos α+cos αsin β,∴sin(α-β)=cos α=sin? ?2-α?. π? ? π? ? π π? π ? π? ∵α∈? ?0,2?,β∈?0,2?,∴α-β∈?-2,2?,2-α∈?0,2?, π ? π π ∴由 sin(α-β)=sin? ?2-α?,得 α-β=2-α,∴2α-β=2.

?π ? 3 23. (1)若 sin?2+θ?=5,则 cos 2θ= ? ?

.

π ? 3 3 7 +θ =cos θ= ,∴cos 2θ=2cos2θ-1=2×? ?2-1=- . [解析] ∵sin? 2 5 ? ? ? ? 5 25

(2) .化简:

sin 20° 1+cos 40° = cos 50°

.

2 sin 40° sin 20° 1+cos 40° sin 20° 2cos220° 2 2 [解析] = = = . cos 50° cos 50° cos 50° 2

θ 2cos22-sin θ-1 24.若 tan 2θ=-2 2,π<2θ<2π,则 = ? π? θ + ? ? 2sin 4? ?
cos θ-sin θ 1-tan θ [解析] 原式= = , sin θ+cos θ 1+tan θ 2tan θ 又 tan 2θ= =-2 2,即 2tan2θ-tan θ- 2=0, 1-tan2θ 解得 tan θ=- 1 π 1 或 tan θ= 2.∵π<2θ<2π,∴ <θ<π.∴tan θ=- , 2 2 2

.

1 1+ 2 故原式= =3+2 2. 1 1- 2

25.(2015· 广东卷)已知 tan α=2. π? sin 2α ? (1)求 tan?α+4?的值;(2)求 2 的值. ? ? sin α+sin αcos α-cos 2α-1 π tan α+tan 4 2+1 π? ? (1)tan?α+4?= π=1-2×1=-3. ? ? 1-tan αtan 4

[解]

sin 2α 2sin αcos α (2) 2 = 2 sin α+sin αcos α-cos 2α-1 sin α+sin αcos α-?2cos2α-1?-1 = 2×2 2sin αcos α 2tan α = 2 =1. 2 = 2 sin α+sin αcos α-2cos α tan α+tan α-2 2 +2-2
2

α α 6 ?π ? 26.已知 α∈?2,π?,且 sin2+cos 2= 2 . ? ? (1)求 cos α 的值; 3 ?π ? (2)若 sin(α-β)=-5,β∈?2,π?,求 cos β 的值. ? ?
[解] (1)因为 sin α α 6 1 +cos = ,两边同时平方,得 sin α= . 2 2 2 2

π 3 又 <α<π,所以 cos α=- 1-sin2α=- . 2 2 π π π π (2)因为 <α<π, <β<π,所以- <α-β< . 2 2 2 2 3 4 又 sin(α-β)=- ,得 cos(α-β)= . 5 5 cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)

=-

4 3+3 3 4 1 ? 3? × + ×?-5?=- . 2 5 2 10

1 ?π ? ?π ? ?π π? 27.已知 cos?6+α?· cos?3-α?=-4,α∈?3,2?. ? ? ? ? ? ? 1 (1)求 sin 2α 的值;(2)求 tan α-tan α的值.
π π? 1 ? cos?π-α?=cos?π+α?· ?π ? 1 ? [解] (1)cos? ?6+α?· ?3 ? ?6 ? sin?6+α?=2sin?2α+3?=-4, π? 1 即 sin? ?2α+3?=-2, π π? 4π π π 3 , ,所以 2α+ ∈?π, ?,所以 cos?2α+ ?=- . 因为 α∈? 3? 3? ?3 2? ? 3 ? 2 π π π π π π 1 2α+ - ?=sin?2α+ ?cos -cos?2α+ ?sin = . 所以 sin 2α=sin? 3 3? 3? 3 3? 3 2 ? ? ?
2 2 1 sin α cos α sin α-cos α -2cos 2α (2)由(1)知 tan α- = - = = = tan α cos α sin α sin αcos α sin 2α

-2×?-

?

3? 2?

1 2

=2 3.



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