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黑龙江省齐齐哈尔四中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷



2014-2015 学年黑龙江省齐齐哈尔四中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题每小题 5 分共 60 分,请将正确答案的选项填在后面的答题 卡上) 1.已知集合 P={1,2},集合 Q={1,2,3},则集合 P 与 Q 的关系为( ) A.P?Q B.P∈Q C.P?Q D.P=Q 2.已知集合 P={x|1≤x≤3},则实数 2 与集合 P

的关系是( A.2∈P B.2?P C.2?P D.2?P 3.已知集合 P={1,2},集合 Q={1,2,3},则集合 P∩Q=( A.φ B.{1} C.P D.Q )

)

4.已知函数 A. ( ,+∞) B.

,则函数 f(x)的定义域为( C. D.

)

5.已知函数 f(x)= A.2 B. C. D.

,则 f(3)的值为(

)

6.log23+log2 +log5 A.4 B.1

﹣lg100=(

)

C.﹣1 D.﹣4

7.已知

2,则 a,b,c 的大小关系为(

)

A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a

8.函数

的奇偶性为(

)

A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 9.函数 f(x)=2x2﹣x 的单调的增区间为( A. B. C. ) D.

10.函数

在闭区间[1,4]上的最小值与最大值分别为(

)

A.﹣1,20 B.2,18

C.15,20

D.16,18 )

11.二次函数 f(x)=﹣x2+2x+1 在闭区间[﹣1,0]上( A.有最大值和最小值 B.有最大值无最小值 C.有最小值无最大值 D.无最大值无最小值

12.函数 f(x)=2x﹣5x 则函数 f(x)的零点所在区间可以为( A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)

)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分共 60 分) 13.已知集合 M={x|1≤x≤3},N={x|﹣2≤x≤2},则 M∪N=__________.

14.已知

,则 f[f(1)]=__________.

15.不等式

的解集为__________.

16.已知函数 f(x)=x2+x+a 与 x 轴有两个交点,则实数 a 的取值范围是__________.

三、解答题(本大题共六小题满分 70 分) 17.已知全集 U={x∈N|1≤x≤9},集合 A={1,2,4,6}集合 B={2,3,5,6},试证明 (1) (?uA)∪(?uB)=?u(A∩B) (2) (?uA)∩(?uB)=?u(A∪B) 18.已知函数 ,

(1)试用定义证明 f(x)在(﹣2,+∞)上为减函数. (2)求函数 f(x)在[2,6]上的最大值和最小值.

19.已知函数 (1)求 a 的值, (2)求

,且



的值,3)求

的值.

20.已知函数 f(x)=ax2+c(a,c≠0) , (1)试用定义证明 f(x)为偶函数; (2)已知 g(x)=f(x+1) ,且 g(1)=0,g(0)=1,求 f(x)的解析式.

21.已知 f(x)=lg(ax2+2x+1) . (1)当 a=0 时,求 f(x)的定义域; (2)当 a=2 时求 f(x)的值域. 22.已知函数 f(x)=2x﹣2﹣x. (1)求 f(x)的零点. (2)用定义判别 f(x)的奇偶性; (3)用定义证明 f(x)在(﹣∞,+∞)上为增函数.

2014-2015 学年黑龙江省齐齐哈尔四中高一(上)期中数 学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题每小题 5 分共 60 分,请将正确答案的选项填在后面的答题 卡上) 1.已知集合 P={1,2},集合 Q={1,2,3},则集合 P 与 Q 的关系为( ) A.P?Q B.P∈Q C.P?Q D.P=Q 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】集合. 【分析】直接利用集合的关系判断即可. 【解答】解:由题意集合 P 中的元素,都是集合 Q 中的元素,可得 P?Q. 故选:A. 【点评】本题考查集合的基本关系的判断,是基础题. 2.已知集合 P={x|1≤x≤3},则实数 2 与集合 P 的关系是( A.2∈P B.2?P C.2?P D.2?P 【考点】元素与集合关系的判断. 【专题】集合. 【分析】根据元素和集合的关系判断即可. 【解答】解:∵集合 P={x|1≤x≤3}, ∴实数 2∈集合 P, 故选:A. 【点评】本题考查了集合和元素的关系,是一道基础题. 3.已知集合 P={1,2},集合 Q={1,2,3},则集合 P∩Q=( A.φ B.{1} C.P D.Q ) )

【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】直接利用交集运算法则求解即可. 【解答】解:集合 P={1,2},集合 Q={1,2,3},则集合 P∩Q={1,2}=P. 故选:C. 【点评】本题考查交集的求法,考查计算能力.

4.已知函数 A. ( ,+∞) B.

,则函数 f(x)的定义域为( C. D.

)

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0,分式的分母不为 0 求得 x 的取值集合得答案.

【解答】解:由 2x﹣3≥0,得 x ∴函数 f(x)的定义域为[

. ) .

故选:B. 【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础题.

5.已知函数 f(x)= A.2 B. C. D.

,则 f(3)的值为(

)

【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可. 【解答】解:函数 f(x)= 则 f(3)= = . ,

故选:C. 【点评】本题考查函数的解析式的求法,考查计算能力.

6.log23+log2 +log5 A.4 B.1

﹣lg100=(

)

C.﹣1 D.﹣4

【考点】对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可. 【解答】解:log23+log2 +log5 =﹣2﹣2=﹣4. 故选:D. 【点评】本题考查对数的运算法则的应用,考查计算能力. ﹣lg100=log23﹣log23﹣2log55﹣2lg10

7.已知

2,则 a,b,c 的大小关系为(

)

A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a 【考点】对数值大小的比较. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 【解答】解:∵0<a=0.91.1<0.91.09<1, ∴c<a<b. 故选:B. <0,

【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题.

8.函数

的奇偶性为(

)

A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 【考点】函数奇偶性的判断. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】确定函数的定义域看其是否关于原点对称,判断 f(x)奇偶性,即找出 f(﹣x) 与 f(x)之间的关系从而可得结论 【解答】解:由题意,函数的定义域为[0,+∞) , ∴函数 为非奇非偶函数.

故选:D. 【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的判定,在定义域关于原点对称的前提下,可根据定 义判定函数奇偶性. 9.函数 f(x)=2x2﹣x 的单调的增区间为( A. B. C. ) D.

【考点】二次函数的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】求出二次函数的对称轴,即可写出结果. 【解答】解:函数 f(x)=2x2﹣x 的对称轴为:x= ,开口向上,函数 f(x)=2x2﹣x 的单 调的增区间为 .

故选:B. 【点评】本题考查二次函数的性质的应用,考查计算能力.

10.函数 A.﹣1,20 B.2,18

在闭区间[1,4]上的最小值与最大值分别为( C.15,20 D.16,18

)

【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性直接求解即可. 【解答】解:∵y=2x 和 y=log2x 在区间[1,4]上都是增函数, ∴y=2x+log2x 在区间[1,4]上为增函数, 当 x=1 时,函数 y=2x+log2x 在区间[1,4]上取得最小值 y=y=21+log21=2, 当 x=4 时,函数 y=2x+log2x 在区间[1,4]上取得最大值 y=y=24+log24=16+2=18, 故选:B. 【点评】 本题主要考查函数最值的计算, 利用指数函数和对数的函数的单调性是解决本题的 关键.

11.二次函数 f(x)=﹣x2+2x+1 在闭区间[﹣1,0]上( ) A.有最大值和最小值 B.有最大值无最小值 C.有最小值无最大值 D.无最大值无最小值 【考点】二次函数的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】求出二次函数的对称轴以及开口方向,然后求解最值. 【解答】解:二次函数 f(x)=﹣x2+2x+1 的对称轴为 x=1,开口向下,1?[﹣1,0], 二次函数 f(x)=﹣x2+2x+1 在闭区间[﹣1,0]上是单调增函数, 函数有最大值和最小值. 故选:A. 【点评】本题考查二次函数的性质的应用,考查计算能力. 12.函数 f(x)=2x﹣5x 则函数 f(x)的零点所在区间可以为( A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5) )

【考点】二分法求方程的近似解. 【专题】计算题;分类讨论;分析法;函数的性质及应用. 【分析】将选项中各区间两端点值代入 f(x) ,满足 f(a)?f(b)<0(a,b 为区间两端点) 的为所求的答案. 【解答】解:∵f(1)=﹣3<0, f(2)=4﹣10=﹣6<0, f(3)=8﹣15=﹣7<0, f(4)=16﹣20=﹣4<0, f(5)=32﹣25=7>0, ∴f(4)f(5)<0, ∴函数的零点在(4,5)区间上, 故选:D. 【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题.函数零点附近函数值 的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分共 60 分) 13.已知集合 M={x|1≤x≤3},N={x|﹣2≤x≤2},则 M∪N={x|1≤x≤2}. 【考点】并集及其运算. 【专题】集合. 【分析】集合 A 与集合 B 的所有元素合并到一起,构成集合 A∪B,能求出 M∪N. 【解答】解:∵集合 M={x|1≤x≤3},N={x|﹣2≤x≤2}, ∴M∪N={x|1≤x≤2}, 故答案为:{x|1≤x≤2}. 【点评】本题考查集合的交集及其运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

14.已知

,则 f[f(1)]= .

【考点】函数的值;分段函数的应用.

【专题】函数的性质及应用. 【分析】由已知中 ,将 x=1,代入计算可得答案.

【解答】解:∵



∴f[f(1)]=f(﹣1)= , 故答案为: 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数求值,难度不大,属于基础题.

15.不等式

的解集为( ,+∞) .

【考点】指、对数不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】由指数函数的单调性化指数不等式为一次不等式得答案. 【解答】解:由 ∴3x﹣2>﹣1,即 x ∴不等式 . 的解集为( ,+∞) . ,得 23x﹣2>2﹣1,

故答案为: ( ,+∞) . 【点评】本题考查指数不等式的解法,考查了指数函数的单调性,是基础题. 16.已知函数 f(x)=x2+x+a 与 x 轴有两个交点,则实数 a 的取值范围是 a< . 【考点】二次函数的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】若函数 f(x)=x2+x+a 与 x 轴有两个交点,则△ =1﹣4a>0,解得实数 a 的取值范 围. 【解答】解:∵函数 f(x)=x2+x+a 与 x 轴有两个交点, ∴△=1﹣4a>0, 解得:a< , 故答案为:a< . 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,难度不大,属于基础题. 三、解答题(本大题共六小题满分 70 分) 17.已知全集 U={x∈N|1≤x≤9},集合 A={1,2,4,6}集合 B={2,3,5,6},试证明

(1) (?uA)∪(?uB)=?u(A∩B) (2) (?uA)∩(?uB)=?u(A∪B) 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:全集 U={x∈N|1≤x≤9}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={1,2,4,6}, 集合 B={2,3,5,6}, ∴CuA={3,5,7,8,9},?uB={1,4,7,8,9}, A∩B={2,6},A∪B={1,2,3,4,5,6}, (1) (?uA)∪(?uB)={1,3,4,5,7,8,9},?u(A∩B)={1,3,4,5,7,8,9}, ∴(?uA)∪(?uB)=?u(A∩B) , (2) ) (?uA)∩(?uB)={7,8,9},?u(A∪B)={7,8,9}. ∴(?uA)∩(?uB)=?u(A∪B) . 【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关 键.

18.已知函数



(1)试用定义证明 f(x)在(﹣2,+∞)上为减函数. (2)求函数 f(x)在[2,6]上的最大值和最小值. 【考点】函数的最值及其几何意义;函数单调性的判断与证明. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)运用单调性的定义证明,注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤; (2)由(1)可得 f(x)在[2,6]上递减,即可得到最值. 【解答】解: (1)证明:设﹣2<m<n, 则 f(m)﹣f(n)= = , ﹣

由﹣2<m<n,可得 2+m>0,2+n>0,m﹣n<0, 即有 f(m)﹣f(n)>0,即 f(m)>f(n) , 则 f(x)在在(﹣2,+∞)上为减函数; (2)由(1)可得 f(x)在[2,6]上递减, 即有 x=2 处取得最大值,且为 ; 在 x=6 处取得最小值,且为 . 【点评】本题考查函数的单调性的判断和运用:求最值,考查运算能力,属于基础题.

19.已知函数 (1)求 a 的值,

,且



(2)求

的值,3)求

的值.

【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)将 x=1 代入函数 ,解得 a 的值,

(2) (2)由(1)得

,进而可得

=1,由此可得

的值.

【解答】解: (1)∵函数



∴ 解得:a=1, (2)由(1)得







=

=



∴ ∴

=1, =1+ = .

【点评】本题考查的知识点是函数求值,难度不大,属于基础题. 20.已知函数 f(x)=ax2+c(a,c≠0) , (1)试用定义证明 f(x)为偶函数; (2)已知 g(x)=f(x+1) ,且 g(1)=0,g(0)=1,求 f(x)的解析式. 【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数奇偶性的判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)直接利用函数的奇偶性的定义证明即可. (2)列出方程组求解即可. 【解答】解: (1)函数 f(x)=ax2+c, 可得 f(﹣x)=a(﹣x)2+c=ax2+c=f(x) . 所以函数的偶函数. (2)g(x)=f(x+1) ,且 g(1)=0,g(0)=1, 4a+c=0,a+c=1,

解得 a=﹣ ,c= . f(x)的解析式:f(x)= .

【点评】本题考查函数的奇偶性的判断与证明,函数的解析式的求法,考查计算能力. 21.已知 f(x)=lg(ax2+2x+1) . (1)当 a=0 时,求 f(x)的定义域; (2)当 a=2 时求 f(x)的值域. 【考点】对数函数的图像与性质. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)当 a=0 时,f(x)=lg(2x+1) .根据真数为正,可得函数的定义域; 2 (2)当 a=2 时,f(x)=lg(2x +2x+1) ,结合二次函数的图象和性质,可得函数的值域. 【解答】解: (1)当 a=0 时,f(x)=lg(2x+1) . 由 2x+1>0 得:x∈(﹣ ,+∞) , 故当 a=0 时,f(x)的定义域为(﹣ ,+∞) , (2)当 a=2 时,f(x)=lg(2x2+2x+1) . 此时 2x2+2x+1≥ , 故 f(x)=lg(2x2+2x+1)≥lg , 故 f(x)的值域为[lg ,+∞) . 【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,熟练掌握对数函数的图象和性质,是 解答的关键. 22.已知函数 f(x)=2x﹣2﹣x. (1)求 f(x)的零点. (2)用定义判别 f(x)的奇偶性; (3)用定义证明 f(x)在(﹣∞,+∞)上为增函数. 【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的性质;函数零点的判定定理. 【专题】综合题;函数的性质及应用. 【分析】 (1)令 f(x)=0,可得 f(x)的零点. (2)验证 f(﹣x)=﹣f(x) ,即可判断 f(x)的奇偶性; (3)用定义法证明单调性一般可以分为五步,取值,作差,化简变形,判号,下结论. 【解答】解: (1)由 2x﹣2﹣x=0,可得 x=0,即 f(x)的零点是 0. (2)函数的定义域为 R,f(﹣x)=2﹣x﹣2x=﹣(2x﹣2﹣x)=﹣f(x) , ∴函数是奇函数; x2∈ +∞) f x1) f x2) = (3) 任取 x1, (﹣∞, , 且 x1<x2, 则( ﹣( = , ﹣ ( )

∵x1<x2, ∴ <0,

∴f(x1)<f(x2) , ∴f(x)在(﹣∞,+∞)上为增函数. 【点评】本题考查函数的零点,奇偶性、单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档 题.



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