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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理



【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第三章 导数及其 应用 3.1 导数的概念及运算 理

1.导数与导函数的概念 Δy (1)设函数 y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若 Δ x 无限趋近于 0 时,比值 = Δx

f?x0+Δ x?-f?x0? 无限趋近于一个常数 A,则称 f(x)在 x=x0 处可导,并称该常数 A 为 Δx
函数 f(x)在 x=x0 处的导数(derivative),记作 f′(x0). (2)若 f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x 的变化而 变化,因而也是自变量 x 的函数,该函数称为 f(x)的导函数,记作 f′(x). 2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义, 就是曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线的斜 率 k,即 k=f′(x0). 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数

f(x)=C(C 为常数) f(x)=xα (α 为常数) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ex f(x)=ax(a>0,a≠1) f(x)=ln x f(x)=logax(a>0,a≠1)
4.导数的运算法则 若 f′(x),g′(x)存在,则有 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);

f′(x)=0 f′(x)=α xα -1 f′(x)=cos_x f′(x)=-sin_x f′(x)=ex f′(x)=axln_a f′(x)= x f′(x)= xln a
1 1

1

(3)[

f?x? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ]′= (g(x)≠0). g?x? g2?x?

5.复合函数的导数 若 y=f(u),u=ax+b,则 y′x=y′u·u′x,即 y′x=y′u·a. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( × )

(2)求 f′(x0)时,可先求 f(x0)再求 f′(x0).( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × (5)函数 f(x)=sin(-x)的导数是 f′(x)=cos x.( × ) )

1 3 1.(教材改编)f′(x)是函数 f(x)= x +2x+1 的导函数,则 f′(-1)的值为________. 3 答案 3 1 3 2 解析 ∵f(x)= x +2x+1,∴f′(x)=x +2. 3 ∴f′(-1)=3. 2.如图所示为函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能 是________.

答案 ④ 解析 由 y=f′(x)的图象知 y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减,说明函数 y=f(x)的切线 的斜率在(0, +∞)上也单调递减, 故可排除①③.又由图象知 y=f′(x)与 y=g′(x)的图象 在 x=x0 处相交,说明 y=f(x)与 y=g(x)的图象在 x=x0 处的切线的斜率相同,由图知②不

2

符合,④符合,故④正确. π π 3.设函数 f(x)的导数为 f′(x),且 f(x)=f′( )sin x+cos x,则 f′( )=________. 2 4 答案 - 2 π 解析 因为 f(x)=f′( )sin x+cos x, 2 π 所以 f′(x)=f′( )cos x-sin x, 2 π π π π 所以 f′( )=f′( )cos -sin , 2 2 2 2 π 即 f′( )=-1,所以 f(x)=-sin x+cos x. 2

f′(x)=-cos x-sin x.
π π π 故 f′( )=-cos -sin =- 2. 4 4 4 4 4.已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是 e +1 __________. 答案 ?

?3π ,π ? ? ? 4 ?

4 解析 ∵y= x , e +1 -4e -4e -4 ∴y′= x = . 2= 2x x ?e +1? e +2e +1 x 1 e + x+2 e 1 1 x x x ∵e >0,∴e + x≥2,当且仅当 e = x=1, e e 即 x=0 时,“=”成立.∴y′∈[-1,0), ∴tan α ∈[-1,0).又 α ∈[0,π ), ∴α ∈?
x x

?3π ,π ?. ? ? 4 ?
x

1 x 5.(2015·陕西)设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线垂直, 则 P 的坐标为________. 答案 (1,1) 1 x x 0 解析 y′=e ,曲线 y=e 在点(0,1)处的切线的斜率 k1=e =1,设 P(m,n),y= (x>0)的

x

3

导数为 y′=-

1

x

2

1 1 (x>0),曲线 y= (x>0)在点 P 处的切线斜率 k2=- 2 (m>0),因为两切

x

m

线垂直,所以 k1k2=-1,所以 m=1,n=1,则点 P 的坐标为(1,1).

题型一 导数的运算 例 1 求下列函数的导数: (1)y=(3x -4x)(2x+1); (2)y=x sin x; (3)y=3 e -2 +e; (4)y= ln x ; x2+1
x x x
2 2

(5)y=ln(2x-5). 解 (1)∵y=(3x -4x)(2x+1) =6x +3x -8x -4x=6x -5x -4x, ∴y′=18x -10x-4. (2)y′=(x )′sin x+x (sin x)′=2xsin x+x cos x. (3)y′=(3 e )′-(2 )′+e′ =(3 )′e +3 (e )′-(2 )′ =3 e ln 3+3 e -2 ln 2 =(ln 3+1)·(3e) -2 ln 2. ?ln x?′?x +1?-ln x?x +1?′ (4)y′= 2 2 ?x +1? 1 = =
2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2

x x

x

x

x

x

x

x

x x

x x

x

x

x

x

?x +1?-2xln x ?x +1?
2 2

2

x2+1-2x2ln x . x?x2+1?2

(5)令 u=2x-5,y=ln u, 1 2 则 y′=(ln u)′u′= ·2= , 2x-5 2x-5 2 即 y′= . 2x-5 思维升华 (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样 可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商的形式时,如能化简则化简,这

4

样可避免使用商的求导法则,减少运算量.(2)复合函数求导时,先确定复合关系,由外向内 逐层求导,必要时可换元. (1)f(x)=x(2 016+ln x),若 f′(x0)=2 017,则 x0=________. (2)若函数 f(x)=ax +bx +c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)=________. 答案 (1)1 (2)-2 1 解析 (1)f′(x)=2 016+ln x+x× =2 017+ln x,故由 f′(x0)=2 017 得 2 017+ln x0
4 2

x

=2 017,则 ln x0=0,解得 x0=1. (2)f′(x)=4ax +2bx, ∵f′(x)为奇函数,且 f′(1)=2, ∴f′(-1)=-2. 题型二 导数的几何意义 命题点 1 已知切点的切线方程问题 ln x-2x 例 2 (1)函数 f(x)= 的图象在点(1,-2)处的切线方程为__________.
3

x

(2)曲线 y=e

-2x

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为________. (2) 1 3

答案 (1)x-y-3=0

1-ln x 解析 (1)f′(x)= ,则 f′(1)=1, 2

x

故该切线方程为 y-(-2)=x-1,即 x-y-3=0. (2)∵y′=-2e
-2x

,曲线在点(0,2)处的切线斜率 k=-2,

∴切线方程为 y=-2x+2,该直线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形 如图所示, 2 2 其中直线 y=-2x+2 与 y=x 的交点为 A( , ), 3 3 1 2 1 ∴三角形的面积 S= ×1× = . 2 3 3 命题点 2 未知切点的切线方程问题 例 3 (1)与直线 2x-y+4=0 平行的抛物线 y=x 的切线方程是__________. (2)已知函数 f(x)=xln x,若直线 l 过点(0,-1),并且与曲线 y=f(x)相切,则直线 l 的 方程为____________. 答案 (1)2x-y-1=0 (2)x-y-1=0 解析 (1)对 y=x 求导得 y′=2x.设切点坐标为(x0,x0),则切线斜率为 k=2x0. 由 2x0=2 得 x0=1,故切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. (2)∵点(0,-1)不在曲线 f(x)=xln x 上,
5
2 2 2

∴设切点为(x0,y0). 又∵f′(x)=1+ln x,∴? 解得 x0=1,y0=0. ∴切点为(1,0),∴f′(1)=1+ln 1=1. ∴直线 l 的方程为 y=x-1,即 x-y-1=0. 命题点 3 和切线有关的参数问题 1 2 7 例 4 已知 f(x)=ln x,g(x)= x +mx+ (m<0),直线 l 与函数 f(x),g(x)的图象都相切, 2 2 且与 f(x)图象的切点为(1,f(1)),则 m=________. 答案 -2 1 解析 ∵f′(x)= ,
?y0=x0ln ?

x0, x0?x0,

?y0+1=?1+ln ?

x

∴直线 l 的斜率为 k=f′(1)=1. 又 f(1)=0,∴切线 l 的方程为 y=x-1.

g′(x)=x+m,
设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0,y0), 1 2 7 则有 x0+m=1,y0=x0-1,y0= x0+mx0+ ,m<0, 2 2 于是解得 m=-2. 命题点 4 导数与函数图象的关系 例 5 如图,点 A(2,1),B(3,0),E(x,0)(x≥0),过点 E 作 OB 的垂线 l. 记△AOB 在直线 l 左侧部分的面积为 S,则函数 S=f(x)的图象为下图中的 ________(填序号).

答案 ④ 解析 函数的定义域为[0,+∞),当 x∈[0,2]时,在单位长度变化量 Δ x 内面积变化量 Δ S 大于 0 且越来越大,即斜率 f′(x)在[0,2]内大于 0 且越来越大,因此,函数 S=f(x)的图象 是上升的,且图象是下凸的;
6

当 x∈(2,3)时, 在单位长度变化量 Δ x 内面积变化量 Δ S 大于 0 且越来越小, 即斜率 f′(x) 在(2,3)内大于 0 且越来越小,因此,函数 S=f(x)的图象是上升的,且图象是上凸的; 当 x∈[3,+∞)时,在单位长度变化量 Δ x 内面积变化量 Δ S 为 0,即斜率 f′(x)在[3,+ ∞)内为常数 0,此时,函数图象为平行于 x 轴的射线. 思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0). (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k. (3)若求过点 P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由? 求解即可. (4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况, 由切线 的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢. π (1)已知函数 f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,a=f′( ),f′(x)是 f(x)的导函 4 数,则过曲线 y=x 上一点 P(a,b)的切线方程为__________________. (2)若直线 y=2x+m 是曲线 y=xln x 的切线,则实数 m 的值为________. 答案 (1)3x-y-2=0 或 3x-4y+1=0 (2)-e 解析 (1)由 f(x)=3x+cos 2x+sin 2x 得 f′(x)=3-2sin 2x+2cos 2x, π π π 则 a=f′( )=3-2sin +2cos =1. 4 2 2 由 y=x 得 y′=3x , 当 P 点为切点时,切线的斜率 k=3a =3×1 =3. 又 b=a ,则 b=1,所以切点 P 的坐标为(1,1). 故过曲线 y=x 上的点 P 的切线方程为 y-1=3(x-1), 即 3x-y-2=0. 当 P 点不是切点时,设切点为(x0,x0), ∴切线方程为 y-x0=3x0(x-x0), ∵P(a,b)在曲线 y=x 上,且 a=1,∴b=1. ∴1-x0=3x0(1-x0), ∴2x0-3x0+1=0, ∴2x0-2x0-x0+1=0, ∴(x0-1) (2x0+1)=0, 1? ? 1 ∴切点为?- ,- ?, 8? ? 2
7
2 3 2 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3 3 2 2 3 2 3

? ?y1=f?x1?, ?y0-y1=f′?x1??x0-x1? ?

1 3? 1? ∴此时的切线方程为 y+ = ?x+ ?, 8 4? 2? 综上,满足题意的切线方程为 3x-y-2=0 或 3x-4y+1=0. (2)设切点为(x0,x0ln x0), 1 由 y′=(xln x)′=ln x+x· =ln x+1,

x

得切线的斜率 k=ln x0+1, 故切线方程为 y-x0ln x0=(ln x0+1)(x-x0), 整理得 y=(ln x0+1)x-x0,与 y=2x+m 比较得
?ln x0+1=2, ? ? ?-x0=m, ?

解得 x0=e,故 m=-e.

4.求曲线的切线方程条件审视不准致误

典例 (14 分)若存在过点 O(0,0)的直线 l 与曲线 y=x -3x +2x 和 y=x +a 都相切,求 a 的值. 易错分析 由于题目中没有指明点 O(0,0)的位置情况,容易忽略点 O 在曲线 y=x -3x +2x 上这个隐含条件,进而不考虑 O 点为切点的情况. 规范解答 解 易知点 O(0,0)在曲线 y=x -3x +2x 上. (1)当 O(0,0)是切点时, 由 y′=3x -6x+2,得在原点处的切线斜率 k=2, 即直线 l 的斜率为 2,故直线 l 的方程为 y=2x. 由?
?y=2x, ? ?y=x +a, ?
2 2 3 2 3 2

3

2

2

得 x -2x+a=0, [5 分]
3 2 3

2

依题意 Δ =4-4a=0,得 a=1.

(2)当 O(0,0)不是切点时,设直线 l 与曲线 y=x -3x +2x 相切于点 P(x0,y0),则 y0=x0- 3x0+2x0,且 k=3x0-6x0+2,① 又 k= =x0-3x0+2,② 3 1 联立①②,得 x0= (x0=0 舍去),所以 k=- , 2 4 1 故直线 l 的方程为 y=- x. 4 [9 分]
2 2

y0 x0

2

8

1 ? ?y=- x, 4 由? ? ?y=x2+a,

1 2 得 x + x+a=0, 4

1 1 依题意,Δ = -4a=0,得 a= . 16 64 1 综上,a=1 或 a= . 64

[12 分] [14 分]

温馨提醒 对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况, 要先判断切线所过点是否在曲线上; 若所过点在曲线上,要对该点是否为切点进行讨论.

[方法与技巧] 1.f′(x0)代表函数 f(x)在 x=x0 处的导数值;(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数,而函数值

f(x0)是一个常数,其导数一定为 0,即(f(x0))′=0.
2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时,首先必须注意变换 的等价性,避免不必要的运算失误. 3.未知切点的曲线切线问题,一定要先设切点,利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方 程. [失误与防范] 1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.复合函数的导 数要正确分解函数的结构,由外向内逐层求导. 2.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而后者包 括了前者. 3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1. 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x), 且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x, 则 f′(1)=________. 答案 -1 1 解析 由 f(x)=2xf′(1)+ln x,得 f′(x)=2f′(1)+ .

x

∴f′(1)=2f′(1)+1,则 f′(1)=-1. 2.已知曲线 y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为________.

9

答案

1 e

1 解析 y=ln x 的定义域为(0,+∞),且 y′= ,

x

1 1 设切点为(x0,ln x0),则曲线在 x=x0 处的切线斜率 k= ,切线方程为 y-ln x0= (x-x0),

x0

x0

因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1, 1 解得 x0=e,故此切线的斜率为 . e 3. 已知 f1(x)=sin x+cos x, fn+1(x)是 fn(x)的导函数, 即 f2(x)=f1′(x), f3(x)=f2′(x), ?,

fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,则 f2 016(x)=____________.
答案 sin x-cos x 解析 ∵f1(x)=sin x+cos x, ∴f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x, ∴f3(x)=f2′(x)=-sin x-cos x, ∴f4(x)=f3′(x)=-cos x+sin x, ∴f5(x)=f4′(x)=sin x+cos x=f1(x), ∴fn(x)是以 4 为周期的函数, ∴f2 016(x)=f4(x)=sin x-cos x. 4.设曲线 y=ax-ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y=2x,则 a=________. 答案 3 1 解析 令 f(x)=ax-ln x, 则 f′(x)=a- .由导数的几何意义可得在点(1,1)处的切线的斜

x

率为 f′(1)=a-1.又切线方程为 y=2x,则有 a-1=2,∴a=3. 5. 已知 y=f(x)是可导函数, 如图, 直线 y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线, 令 g(x) =xf(x),g′(x)是 g(x)的导函数,则 g′(3)=______________.

答案 0 1 1 解析 由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处切线的斜率等于- ,∴f′(3)=- . 3 3 ∵g(x)=xf(x),∴g′(x)=f(x)+xf′(x), ∴g′(3)=f(3)+3f′(3),

10

又由题图可知 f(3)=1, 1 ∴g′(3)=1+3×(- )=0. 3 6.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax + (a,b 为常数)过点 P(2,-5),且该曲线在 点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是______. 答案 -3 解析 y=ax + 的导数为 y′=2ax- 2, 7 直线 7x+2y+3=0 的斜率为- . 2
2 2

b x

b x

b x

b ? ?4a+2=-5, 由题意得? b 7 ? ?4a-4=-2,
3

解得?

? ?a=-1, ?b=-2, ?

则 a+b=-3.

7.已知函数 f(x)=x -3x,若过点 A(0,16)且与曲线 y=f(x)相切的直线方程为 y=ax+16, 则实数 a 的值是________. 答案 9 解析 先设切点为 M(x0,y0), 则切点在曲线上有 y0=x0-3x0,① 求导数得到切线的斜率 k=f′(x0)=3x0-3, 又切线 l 过 A、M 两点,所以 k= 则 3x0-3=
2 2 3

y0-16 , x0

y0-16 ,② x0

联立①②可解得 x0=-2,y0=-2, -2-16 从而实数 a 的值为 a=k= =9. -2 1 8.已知曲线 y= x ,则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为______________. e +1 答案 x+4y-2=0 -e 解析 y′= x 2= ?e +1?
x

-1 , 1 x e + x+2 e 1 1 x x e × x=2(当且仅当 e = x,即 x=0 时取等号), e e

1 x x 因为 e >0,所以 e + x≥2 e 1 x 则 e + x+2≥4, e

11

-1 1 故 y′= ≥- 当(x=0 时取等号). 1 4 x e + x+2 e 当 x=0 时,曲线的切线斜率取得最小值, 1 此时切点的坐标为(0, ), 2 1 1 切线的方程为 y- =- (x-0), 2 4 即 x+4y-2=0. 9.已知曲线 y=x +x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程. 解 (1)由 y=x +x-2,得 y′=3x +1, 由已知令 3x +1=4,解之得 x=±1. 当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限,∴切点 P0 的坐标为(-1,-4). (2)∵直线 l⊥l1,l1 的斜率为 4, 1 ∴直线 l 的斜率为- . 4 ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为(-1,-4), 1 ∴直线 l 的方程为 y+4=- (x+1), 4 即 x+4y+17=0. 10.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明: 曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为 定值,并求此定值. 7 解 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 4 1 b 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ 2, 2 x
2 3 2 3

b x

b 1 ? ?2a-2=2, 于是? b 7 ? ?a+4=4,

解得?

? ?a=1, ?b=3. ?

3 故 f(x)=x- .

x

12

3 (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为

x

y-y0=(1+
即 y ? ( x0 ?

3 )( x ? x0 ) 2 x0

3 3 )=(1+ 2 )( x-x0 ). x0 x0
x0

6 令 x=0,得 y=- , 6? ? 从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为?0,- ?.

?

x0?

令 y=x,得 y=x=2x0, 从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 1? 6 ? 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为 S= ?- ?|2x0|=6. 2? x0? 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,且此定 值为 6. B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 1 11.已知函数 f(x)= x+1,g(x)=aln x,若在 x= 处函数 f(x)与 g(x)的图象的切线平行, 4 则实数 a 的值为________. 答案 1 4

a 1 ?1 解析 由题意可知 f ? ? x ? ? x 2, g′(x)= , x 2

1 1 ? a 1 1 由 f′( )=g′( ),得 ? ( ) 2 = , 4 4 1 2 4 4
1 1 可得 a= ,经检验,a= 满足题意. 4 4 12.曲边梯形由曲线 y=x +1,y=0,x=1,x=2 所围成,过曲线 y=x +1 (x∈[1,2])上 一点 P 作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形,则这一点的坐标为 ____________.
2 2

1

?3 13? 答案 ? , ? ?2 4 ?
解析 设 P(x0,x0+1),x0∈[1,2],则易知曲线 y=x +1 在点 P 处的切线方程为 y-(x0+1) =2x0(x-x0), ∴y=2x0(x-x0)+x0+1, 设 g(x)=2x0(x-x0)+x0+1, 则 g(1)+g(2)=2(x0+
13
2 2 2 2 2 2

1)+2x0(1-x0+2-x0), ∴S 普通梯形=

g?1?+g?2?
2

3?2 13 ? 2 ×1=-x0+3x0+1=-?x0- ? + , ∴P 2? 4 ?

?3 13? 点坐标为? , ?时,S 普通梯形最大. ?2 4 ?
1 2 13.若函数 f(x)= x -ax+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 2 答案 [2,+∞) 1 2 1 解析 ∵f(x)= x -ax+ln x,∴f′(x)=x-a+ . 2 x ∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线,∴f′(x)存在零点, 1 1 即 x+ -a=0 有解,∴a=x+ ≥2.

x

x

14.已知曲线 f(x)=x

n+1

(n∈N )与直线 x=1 交于点 P,设曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x

*

轴交点的横坐标为 xn,则 log2 016x1+log2 016x2+?+log2 016x2 015 的值为________. 答案 -1 解析 f′(x)=(n+1)x ,k=f′(1)=n+1, 点 P(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1), 令 y=0,得 x=1- 1 n n = ,即 xn= , n+1 n+1 n+1
n

1 2 3 2 014 2 015 1 ∴x1·x2·?·x2 015= × × ×?× × = ,则 log2 016x1+log2 016x2+?+log2 2 3 4 2 015 2 016 2 016
016 2 015

x

=log2 016(x1x2?x2 015)=-1. 15. 已知函数 f(x)=ax +3x -6ax-11, g(x)=3x +6x+12 和直线 m:y=kx+9,且 f′(- 1)=0. (1)求 a 的值; (2)是否存在 k,使直线 m 既是曲线 y=f(x)的切线,又是曲线 y=g(x)的切线?如果存在, 求出 k 的值;如果不存在,请说明理由. 解 (1)由已知得 f′(x)=3ax +6x-6a, ∵f′(-1)=0,∴3a-6-6a=0,∴a=-2. (2)存在. 由已知得,直线 m 恒过定点(0,9),若直线 m 是曲线 y=g(x)的切线,则设切点为(x0,3x0+6x0 +12). ∵g′(x0)=6x0+6, ∴切线方程为 y-(3x0+6x0+12) =(6x0+6)(x-x0),
14
2 2 2 3 2 2

将(0,9)代入切线方程,解得 x0=±1. 当 x0=-1 时,切线方程为 y=9; 当 x0=1 时,切线方程为 y=12x+9. 由(1)知 f(x)=-2x +3x +12x-11, ①由 f′(x)=0 得-6x +6x+12=0, 解得 x=-1 或 x=2. 在 x=-1 处,y=f(x)的切线方程为 y=-18; 在 x=2 处,y=f(x)的切线方程为 y=9, ∴y=f(x)与 y=g(x)的公切线是 y=9. ②由 f′(x)=12 得-6x +6x+12=12, 解得 x=0 或 x=1. 在 x=0 处,y=f(x)的切线方程为 y=12x-11; 在 x=1 处,y=f(x)的切线方程为 y=12x-10; ∴y=f(x)与 y=g(x)的公切线不是 y=12x+9. 综上所述,y=f(x)与 y=g(x)的公切线是 y=9,此时 k=0.
2 2 3 2

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