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【2015高考数学(人教A版,文科)一轮课时训练:第10篇 第2节 古典概型



第十篇

第2节

一、选择题 1.下列事件属于古典概型的基本事件的是( )

A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件 B.篮球运动员投篮,观察其是否投中 C.测量某天 12 时的教室内温度 D.一先一后掷两枚硬币,观察正反面出现的情况 解析:A 项任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件,但各点数之和不是等可能 1 2 1 的, 例如和为 2 的概率为 , 和为 3 的概率为 = , 所以它不是等可能的, 不是古典概型. B 36 36 18 项显然事件 “ 投中 ” 和事件 “ 未投中 ” 发生的可能性不一定相等,所以它也不是古典概 型.C 项其基本事件空间包含无限个结果,所以不是古典概型.D 项含有 4 个基本事件,每 个基本事件出现的可能性相等,符合古典概型,故选 D. 答案:D 2.甲乙二人玩猜数字游戏,先由甲任想一数字,记为 a,再由乙猜甲刚才想的数字, 把乙猜出的数字记为 b,且 a,b∈{1,2,3},若|a-b|≤1,则称甲乙“心有灵犀”,现任意找 两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( 1 A. 3 2 C. 3 5 B. 9 7 D. 9 )

解析:甲想一数字有 3 种结果,乙猜一种数字有 3 种结果,基本事件总数 3×3=9.设甲 乙“心有灵犀”为事件 A,则 A 的对立事件 B 为“|a-b|>1”,即|a-b|=2,包含 2 个基本 事件, 2 2 7 ∴P(B)= ,∴P(A)=1- = ,故选 D. 9 9 9 答案:D 3.(2014 合肥质检)将包含甲、乙两人的 4 名同学平均分成 2 个小组参加某项公益活动, 则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为( 1 A. 5 1 C. 3 2 B. 5 1 D. 6 )

解析:记另外两名同学为丙、丁,则将包含甲、乙两人的 4 名同学平均分成 2 个小组的 分法有(甲乙,丙丁),(甲丙,乙丁),(甲丁,乙丙),共 3 种;甲、乙两名同学分在同一小组

1 的只有(甲乙,丙丁)1 种,故甲、乙两名同学分在同一小组的概率为 P= .故选 C. 3 答案:C 4.从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的 概率等于( 1 A. 10 1 C. 6 ) 1 B. 8 1 D. 5

解析:如图所示,从正六边形 ABCDEF 的 6 个顶点中随机选 4 个顶点,可以看作随机 选 2 个顶点,剩下的 4 个顶点构成四边形,有 A、B,A、C,A、D,A、E,A、F,B、C, B、D,B、E,B、F,C、D,C、E,C、F,D、E,D、F,E、F,共 15 种.若要构成矩 3 1 形,只要选相对顶点即可,有 A、D,B、E,C、F,共 3 种,故其概率为 = ,故选 D. 15 5 答案:D 5.(2013 年高考新课标全国卷Ⅰ)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差 的绝对值为 2 的概率是( 1 A. 2 1 C. 4 ) 1 B. 3 1 D. 6

解析: 从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数有六种情况: (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4), 2 1 满足条件的有(1,3),(2,4),故所求概率是 = .故选 B. 6 3 答案:B 6.(2014 临沂模拟)已知 A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},则 A∩B =B 的概率是( 2 A. 9 8 C. 9 ) 1 B. 3 D.1

解析:∵A∩B=B,∴B 可能为?,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3}.当 B=?时, a2-4b<0,满足条件的 a,b 为 a=1,b=1,2,3;a=2,b=2,3;a=3,b=3.当 B={1}时, 满足条件的 a,b 为 a=2,b=1.当 B={2},{3}时,没有满足条件的 a,b.当 B={1,2}时, 满足条件的 a,b 为 a=3,b=2.当 B={2,3},{1,3}时,没有满足条件的 a,b,∴A∩B=B

8 8 的概率为 = .故选 C. 3×3 9 答案:C 二、填空题 x2 y2 7.曲线 C 的方程为 2+ 2=1,其中 m、n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数,事件 m n x2 y2 A=“方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”,那么 P(A)=________. m n 解析:试验中所含基本事件个数为 36,若想表示椭圆,则前后两次的骰子点数不能相 同,则去掉 6 种可能,既然椭圆焦点在 x 轴上,则 m>n,又只剩下一半情况,即有 15 种, 15 5 因此 P(A)= = . 36 12 答案: 5 12

8.(2013 年高考新课标全国卷Ⅱ)从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概 率是________. 解析:从 1,2,3,4,5 中任意取两个不同的数共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4), (2,5),(3,4),(3,5),(4,5)10 种.其中和为 5 的有(1,4),(2,3),2 种. 2 1 由古典概型概率公式知所求概率为 = . 10 5 1 答案: 5 9.(2014 南京模拟)在集合 A={2,3}中随机取一个元素 m,在集合 B={1,2,3}中随机取 一个元素 n,得到点 P(m,n),则点 P 在圆 x2+y2=9 内部的概率为________. 解析:点 P(m,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6 种情况,只有(2,1),(2,2) 2 1 这 2 个点在圆 x2+y2=9 的内部,所求概率为 = . 6 3 1 答案: 3 10.(2013 年高考重庆卷)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的 概率为________. 解析:甲、乙、丙三人随机地站成一排有 6 种方法:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、 4 2 丙甲乙、丙乙甲,其中甲、乙相邻的有 4 种.故所求概率 P= = . 6 3 2 答案: 3 三、解答题 11.(2014 马鞍山市第一次教学质量检测)乳制品按行业质量标准分成五个等级,等级系 数 x 分别为 1,2,3,4,5.现从该乳制品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到的

频率分布表如下: x f 1 a 2 0.3 3 0.35 4 b 5 c

(1)若抽取的 20 件乳制品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a,b,c 的值; (2)在(1)的条件下,将等级系数为 4 的乳制品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的乳制品记 为 y1,y2,现从这 5 件乳制品 x1,x2,x3,y1,y2 中任取两件(假定每件乳制品被抽取的可能 性相同),写出所有可能的结果,并求出这两件乳制品的等级系数恰好相同的概率. 解:(1)由频率分布表得 a+0.3+0.35+b+c=1, 即 a+b+c=0.35. 因为所抽取的 20 件乳制品中,等级系数为 4 的恰有 3 件, 3 所以 b= =0.15, 20 又因为所抽取的 20 件乳制品中,等级系数为 5 的恰有 2 件, 2 所以 c= =0.1, 20 于是 a=0.35-0.15-0.1=0.1, 所以 a=0.1,b=0.15,c=0.1. (2)从 5 件乳制品 x1,x2,x3,y1,y2 中任取两件,所有可能的结果为(x1,x2),(x1,x3), (x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2)共 10 个. 设事件 A 表示“从这 5 件乳制品 x1,x2,x3,y1,y2 中任取两件,等级系数恰好相同”, 则 A 包含的事件为(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2)共 4 个, 4 2 故所求的概率 P(A)= = . 10 5 12.(2014 滨州一模)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了 A、B、C、D 四所需要面试 的院校,这四所院校的面试安排在同一时间.因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做 志愿,假设每位同学选择各个院校是等可能的,试求: (1)甲、乙选择同一所院校的概率; (2)院校 A、B 至少有一所被选择的概率. 解:由题意可得,甲、乙都只能在这四所院校中选择一个做志愿的所有可能结果为: (甲 A,乙 A),(甲 A,乙 B),(甲 A,乙 C),(甲 A,乙 D),(甲 B,乙 A),(甲 B,乙 B), (甲 B,乙 C),(甲 B,乙 D),(甲 C,乙 A),(甲 C,乙 B),(甲 C,乙 C),(甲 C,乙 D),(甲 D,乙 A),(甲 D,乙 B),(甲 D,乙 C),(甲 D,乙 D),共 16 种. 4 1 (1)其中甲、乙选择同一所院校有 4 种,所以甲、乙选择同一所院校的概率为 = . 16 4 (2)院校 A、B 至少有一所被选择的有 12 种,所以院校 A、B 至少有一所被选择的概率

12 3 为 = . 16 4



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