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四川省乐山市2016届高考第二次调研数学试卷(文科)(解析版)



2016 年四川省乐山市高考第二次调研数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∩B 为( A.{4} B.? C.{0,2,4} D.{1,3} )

2.设

命题 p:函数 f(x)=ex 在 R 上为增函数;命题 q:函数 f(x)=cos2x 为奇函数,则下列命题 中真命题是( ) C.(¬p)∧(¬q) D.p∧(¬q) )

A.p∧q B.(¬p)∨q

3.已知 i 是虚数单位,若 z(1+i)=|i+1|,则 z 的虚部为( A. B. C. D.

4.等差数列{an}中,a1+a9=10,a2=﹣1,则数列{an}的公差为( A.1 B.2 C.3 D.4 )



5.在△ ABC 中,tanB=﹣2,tanC= ,则 A 等于( A. B. C. D.

6.一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是(



A.112 B.80

C.72

D.64

7.抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,且△ AOB 的 面积为 A.±1 ,则点 B 的纵坐标为( B. C. ) D.
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8.若实数 x,y 满足

,则 z=3x+2y 的值域是(



A.[0,6] 9.函数

B.[1,9]

C.[2,8]

D.[3,7] )

的图象可能是(

A.

B.

C.

D.

10. f x) f x+2) =2f 2]时, f x) = 定义域为 R 的函数 ( 满足 ( (x) ﹣2, 当 x∈ (0, (



若 x∈(0,4]时,t2﹣ A.[1,2] B.[2, ]

≤f(x)恒成立,则实数 t 的取值范围是( C.[1, ] D.[2,+∞)



二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上. 11.lg +lg 的值是 . , ,若∠ABO=90°,则实数 t

12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 的值为 .

13.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为



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14.设 F1、F2 分别为双曲线

的左、右焦点,P 为双曲线 C 在第一象限上的一点,若

,则△ PF1F2 内切圆的面积为



15.定义:[x](x∈R)表示不超过 x 的最大整数.例如[1.5]=1,[﹣0.5]=﹣1.给出下列结论: ①函数 y=[sinx]是周期为 2π 的周期函数; ②函数 y=[sinx]是奇函数; ③函数 y=[sinx]的值域是{﹣1,0,1}; ④函数 y=[sinx]﹣cosx 不存在零点. 其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤. 16.已知函数 f(x)=cos2(x﹣ (Ⅰ)求 f( )的值; ],都有 f(x)≤c,求实数 c 的取值范围. x.

(Ⅱ)若对于任意的 x∈[0,

17.为调查乘客的候车情况,公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车 时间(单位:分钟)作为样本分成 5 组,如下表所示: 组别 一 二 三 候车时间 [0,5) [5,10) [10,15) 人数 2 6 4
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四 五

[15,20) [20,25]

2 1

(Ⅰ)求这 15 名乘客的平均候车时间; (Ⅱ)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (Ⅲ)若从上表第三、四组的 6 人中随机抽取 2 人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不 同组的概率. 18.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为直角梯形, . (1)求证:PC⊥BC; (2)E 为 PB 中点,F 为 BC 中点,求四棱锥 D﹣EFCP 的体积.

19.已知数列{an}是等比数列,首项 a1=1,公比 q>0,其前 n 项和为 Sn,且 S1+a1,S3+a3,S2+a2 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}、{cn}满足 恒成立,求 m 的最大值. 20.设椭圆 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 Q(1,0)作直线 l(不与 x 轴垂直)与该椭圆交于 M、N 两点,与 y 轴交于点 R,若 =λ , = ,试判断 λ+μ 是否为定值,并说明理由. . 的离心率为 ,且内切于圆 x2+y2=9. ,且 bn?cn=1,令 Tn 为数列{cn}的前 n 项和,若 Tn≥m

21.已知函数

(Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f(x)在其定义域内为增函数,求 a 的取值范围;

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(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设函数 成立,求实数 a 的取值范围.

,若在[1,e]上至少存在一点 x0,使得 f(x0)≥g(x0)

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2016 年四川省乐山市高考第二次调研数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∩B 为( A.{4} B.? C.{0,2,4} D.{1,3} )

【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由条件利用补集的定义求得 CUA),再根据两个集合的交集的定义求得 CUA)∩B 的结果. 【解答】解:∵已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4}, 则(CUA)={0,4},∴CUA)∩B={4}, 故选 A. 【点评】本题主要考查求集合的补集,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题.

2.设命题 p:函数 f(x)=ex 在 R 上为增函数;命题 q:函数 f(x)=cos2x 为奇函数,则下列命题 中真命题是( ) C.(¬p)∧(¬q) D.p∧(¬q)

A.p∧q B.(¬p)∨q

【考点】复合命题的真假. 【专题】转化思想;函数的性质及应用;简易逻辑. 【分析】先判定命题 p,q 的真假,再利用复合命题真假的判定方法即可得出. 【解答】解:命题 p:函数 f(x)=ex 在 R 上为增函数,是真命题; 命题 q:函数 f(x)=cos2x 为偶函数,因此是假命题, ∴¬q 是真命题. 则下列命题中真命题是 p∧¬q. 故选:D. 【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题.
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3.已知 i 是虚数单位,若 z(1+i)=|i+1|,则 z 的虚部为( A. B. C. D.



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题;转化思想;数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、虚部定义即可得出. 【解答】解:z(1+i)=|i+1|,∴z= 则 z 的虚部为﹣ 故选:B. 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、虚部定义,考查了推理能力与计算能力,属 于基础题. . = = (1﹣i)= ,

4.等差数列{an}中,a1+a9=10,a2=﹣1,则数列{an}的公差为( A.1 B.2 C.3 D.4



【考点】等差数列的通项公式. 【专题】计算题;方程思想;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d,∵a1+a9=10,a2=﹣1, ∴2a1+8d=10,a1+d=﹣1, 联立解得 d=2. 故选:B. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

5.在△ ABC 中,tanB=﹣2,tanC= ,则 A 等于( A. B. C. D.



【考点】两角和与差的正切函数. 【专题】计算题;三角函数的求值.

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【分析】利用诱导公式知 tanA=﹣tan(B+C),利用两角和的正切可求得 tan(B+C)的值,从而可 知 tanA 的值,A∈(0,π),于是可得答案. 【解答】解:∵在△ ABC 中,tanB=﹣2,tanC= , ∴tanA=tan[π﹣(B+C)] =﹣tan(B+C) =﹣

=﹣

=1, 又 A∈(0,π), ∴A= ,

故选:A. 【点评】本题考查两角和与差的正切函数,考查诱导公式的应用,考查运算求解能力,属于中档题.

6.一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是(



A.112 B.80

C.72

D.64

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】由三视图可知此几何体是由一个棱柱和一个棱锥构成的组合体,代入数据分别求棱柱与棱 锥的体积即可. 【解答】解:由三视图可知,此几何体是由一个棱柱和一个棱锥构成的组合体,
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棱柱的体积为 4×4×4=64; 棱锥的体积为 ×4×4×3=16; 则此几何体的体积为 80; 故选 B. 【点评】本题考查了三视图的识图与计算能力,属于基础题.

7.抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,且△ AOB 的 面积为 A.±1 ,则点 B 的纵坐标为( B. C. ) D.

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;规律型;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用抛物线的性质求出 A 的坐标,通过三角形的面积求解即可. 【解答】解:由题意可知:OF=1,|AF|=3,可得 xA=2,代入抛物线方程,不妨令 A 在 x 轴上方, 解得 yA=2 可得 同理可得 yB= 故选:C. 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,考查计算能力. . ,△ AOB 的面积为 = , ,yB=﹣ .

,yA﹣yB=3

8.若实数 x,y 满足

,则 z=3x+2y 的值域是(



A.[0,6]

B.[1,9]

C.[2,8]

D.[3,7]

【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;作图题;不等式的解法及应用. 【分析】由题意作出其平面区域,令 m=x+2y 化为 y=﹣ x+ m, 截距,由几何意义可求得 0≤x+2y≤2,从而得到答案. 【解答】解:由题意作出其平面区域,
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m 相当于直线 y=﹣ x+ m 的纵

令 m=x+2y 化为 y=﹣ x+ m, 故由图象可知, 0≤x+2y≤2, 故 1≤z≤9, 故选 B.

m 相当于直线 y=﹣ x+ m 的纵截距,

【点评】本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.

9.函数

的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由函数的解析式,可求出函数的定义域,可排除 B,D 答案;分析 x∈(﹣2,﹣1)时,函 数值的符号,进而可以确定函数图象的位置后可可排除 C 答案.
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【解答】解:若使函数

的解析式有意义



,即

即函数 可排除 B,D 答案

的定义域为(﹣2,﹣1)∪(﹣1,+∞)

当 x∈(﹣2,﹣1)时,sinx<0,ln(x+2)<0 则 可排除 C 答案 故选 A 【点评】本题考查的知识点是函数的图象,熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答 的关键. >0

10. f x) f x+2) =2f 2]时, f x) = 定义域为 R 的函数 ( 满足 ( (x) ﹣2, 当 x∈ (0, (



若 x∈(0,4]时,t2﹣ A.[1,2] B.[2, ]

≤f(x)恒成立,则实数 t 的取值范围是( C.[1, ] D.[2,+∞)



【考点】分段函数的应用;函数恒成立问题. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】由 f(x+2)=2f(x)﹣2,求出 x∈(2,3),以及 x∈[3,4],的函数的解析式,分别求出 (0,4]内的四段的最小值,注意运用二次函数的最值和函数的单调性,再由 t2﹣ 即为由 t2﹣ ≤f(x)min,解不等式即可得到所求范围. ≤f(x)恒成立

【解答】解:当 x∈(2,3),则 x﹣2∈(0,1), 则 f(x)=2f(x﹣2)﹣2=2(x﹣2)2﹣2(x﹣2)﹣2,即为 f(x)=2x2﹣10x+10, 当 x∈[3,4],则 x﹣2∈[1,2], 则 f(x)=2f(x﹣2)﹣2= ﹣2.
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当 x∈(0,1)时,当 x= 时,f(x)取得最小值,且为﹣ ; 当 x∈[1,2]时,当 x=2 时,f(x)取得最小值,且为 ; 当 x∈(2,3)时,当 x= 时,f(x)取得最小值,且为﹣ ; 当 x∈[3,4]时,当 x=4 时,f(x)取得最小值,且为﹣1. 综上可得,f(x)在(0,4]的最小值为﹣ . 若 x∈(0,4]时,t2﹣ 则有 t2﹣ ≤﹣ . ≤f(x)恒成立,

解得 1≤t≤ . 故选:C. 【点评】本题考查分段函数的运用,主要考查分段函数的最小值,运用不等式的恒成立思想转化为 求函数的最值是解题的关键.

二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上. 11.lg +lg 的值是 1 .

【考点】对数的运算性质. 【专题】计算题. 【分析】直接利用对数的运算性质求解即可. 【解答】解: 故答案为:1. 【点评】本题考查对数的运算性质,基本知识的考查. = =1.

12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 的值为 5 . 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【专题】平面向量及应用. 【分析】利用已知条件求出 【解答】解:因为知



,若∠ABO=90°,则实数 t

,利用∠ABO=90°,数量积为 0,求解 t 的值即可. , ,
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所以

=(3,2﹣t), ,

又∠ABO=90°,所以

可得:2×3+2(2﹣t)=0.解得 t=5. 故答案为:5. 【点评】本题考查向量的数量积的应用,正确利用数量积公式是解题的关键.

13.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为



【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图. 【分析】由已知中的程序框图,可知:该程序的功能是计算并输出变量 S 的值,模拟程序的运行过 程,分析出各变量的变化情况,可得答案. 【解答】解:第 1 次执行循环体后:S= 第 2 次执行循环体后:S= 第 3 次执行循环体后:S= 第 4 次执行循环体后:S= 第 5 次执行循环体后:S= 第 6 次执行循环体后:S= 件; 第 7 次执行循环体后:S= 续循环的条件;
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,i=1,满足继续循环的条件; ,i=2,满足继续循环的条件; +sinπ,i=3,满足继续循环的条件; +sinπ +sinπ +sinπ ,i=4,满足继续循环的条件; ,i=5,满足继续循环的条件; +sin2π,i=6,满足继续循环的条

+sinπ

+sin2π

,i=7,满足继

S= 第 8 次执行循环体后: 满足继续循环的条件; 第 9 次执行循环体后:S= +sin3π,i=9,不满足继续循环的条件; 由 S= 故输出的 S 值为: 故答案为: +sinπ ,

+sinπ

+sin2π

,i=8,

+sinπ

+sin2π

+sin2π

+sin3π=2

=



【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法 解答.

14.设 F1、F2 分别为双曲线

的左、右焦点,P 为双曲线 C 在第一象限上的一点,若

,则△ PF1F2 内切圆的面积为 【考点】双曲线的简单性质.

4π .

【专题】方程思想;定义法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求得双曲线的 a,b,c,运用双曲线的定义,结合条件可得|PF1|=8,|PF2|=6.可得△ PF1F2 为直角三角形,设内切圆的半径为 r,运用面积相等,解方程可得 r=2,即可得到所求面积. 【解答】解:双曲线 的 a=1,b=2 ,

c=

=5,

由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=2, 又 ,

解得|PF1|=8,|PF2|=6. |F1F2|=2c=10, 即有 82+62=102, 可得△ PF1F2 为直角三角形,
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设内切圆的半径为 r,可得 r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)= |PF1|?|PF2|, 即有 r(8+6+10)=8×6, 解得 r=2, 可得内切圆的面积为 4π. 故答案为:4π. 【点评】本题考查三角形的内切圆的面积,注意运用等积法,判断△ PF1F2 为直角三角形是解题的关 键,同时考查双曲线的定义,属于中档题.

15.定义:[x](x∈R)表示不超过 x 的最大整数.例如[1.5]=1,[﹣0.5]=﹣1.给出下列结论: ①函数 y=[sinx]是周期为 2π 的周期函数; ②函数 y=[sinx]是奇函数; ③函数 y=[sinx]的值域是{﹣1,0,1}; ④函数 y=[sinx]﹣cosx 不存在零点. 其中正确命题的序号是 ①③④ (写出所有正确命题的序号). 【考点】函数的值;函数零点的判定定理. 【专题】计算题;阅读型;分类讨论;函数的性质及应用. 【分析】根据三角函数的性质①②③判断比较容易,④要分类讨论,根据[sinx]的取值讨论 cosx 的取值,从而解得. 【解答】解:∵sin(2π+x)=sinx,∴[sin(2π+x)]=[sinx],∴①正确; ∵[sin ]=0,[sin(﹣ )]=﹣1,∴②不正确;

∵y=sinx 的值域为[﹣1,1], ∴函数 y=[sinx]的值域是{﹣1,0,1},故③正确; 当[sinx]=﹣1 时,﹣1≤sinx<0,cosx>﹣1,则[sinx]﹣cosx<0, 当[sinx]=0 时,0≤sinx<1,cosx≠0,则[sinx]﹣cosx≠0, 当[sinx]=1 时,sinx=1,则[sinx]﹣cosx=1, 故④正确; 故答案为:①③④.

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【点评】本题考查了三角函数的性质的应用及学生的学习能力的应用,同时考查了分类讨论的思想 应用,属于中档题.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤. 16.已知函数 f(x)=cos2(x﹣ (Ⅰ)求 f( )的值; ],都有 f(x)≤c,求实数 c 的取值范围. x.

(Ⅱ)若对于任意的 x∈[0,

【考点】三角函数的最值;三角函数的恒等变换及化简求值. 【专题】计算题;三角函数的求值. 【分析】(Ⅰ)由条件利用二倍角的余弦公式求出 (Ⅱ)利用三角恒等变换化简 f(x)的解析式为 范围,可得 f(x)的最大值,可得实数 c 的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)∵函数 ∴ (Ⅱ)∵ = = 因为 所以当 所以 故当 . ,所以 ,即 … ,… 时,f(x)取得最大值 . . … . … … . … … , 的值. ,由 x 的范围求出角 的

,f(x)≤c 等价于

,f(x)≤c 时,c 的取值范围是

【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的定义域、值域,属于中档题.

17.为调查乘客的候车情况,公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车 时间(单位:分钟)作为样本分成 5 组,如下表所示:
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组别 一 二 三 四 五

候车时间 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25]

人数 2 6 4 2 1

(Ⅰ)求这 15 名乘客的平均候车时间; (Ⅱ)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (Ⅲ)若从上表第三、四组的 6 人中随机抽取 2 人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不 同组的概率. 【考点】古典概型及其概率计算公式;频率分布表. 【专题】概率与统计. 【分析】(Ⅰ)用每一段的中间值乘以每一段的频率然后作和即得 15 名乘客的平均候车时间; (Ⅱ)查出 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数,得到 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的频 率,用频率乘以 60 即可得到答案; (Ⅲ)用列举法写出从第三组和第四组中随机各抽取 1 人的所有事件总数,查出两人恰好来自不同 组的事件个数,则两人恰好来自不同组的概率可求. 【解答】解:(Ⅰ)由图表得: 所以这 15 名乘客的平均候车时间为 10.5 分钟. (Ⅱ)由图表得:这 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数为 8, 所以,这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数大约等于 . ,

(Ⅲ)设第三组的乘客为 a,b,c,d,第四组的乘客为 e,f,“抽到的两个人恰好来自不同的组”为 事件 A. 所得基本事件共有 15 种,即(ac),(ab),(ad),(ae),(af),(bc),(bd),(be), (bf),(cd),(ce),(cf),(de),(df),(ef), 抽到的两人恰好来自不同组的事件共 8 种,分别是(ae),(af),(be),(bf),(ce),(cf), (df),(df). 其中事件 A 包含基本事件 8 种,由古典概型可得 ,即所求概率等于 .

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【点评】本题考查了频率分布表,考查了古典概型及其概率计算公式,考查了学生读取图表的能力, 是基础的计算题.

18.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为直角梯形, . (1)求证:PC⊥BC; (2)E 为 PB 中点,F 为 BC 中点,求四棱锥 D﹣EFCP 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】转化思想;转化法;空间位置关系与距离. 【分析】(1)根据线面垂直的性质定理进行证明即可. (2)根据条件求出四棱锥的高,利用棱锥的体积公式进行求解即可. 【解答】证明:(1)∵PA⊥平面 ABCD,BC?面 ABCD, ∴PA⊥BC,连接 AC, ∵AD=CD,AD⊥CD,∴AC= ∵BC= ,

,AB=2,AB2=AC2+BC2,

∴BC⊥AC,∴BC⊥面 PAC, ∵PC?面 PAC, ∴PC⊥BC; (2)由(1)知 BC⊥PC,且 PC= ∵E 为 PB 中点,F 为 BC 中点, ∴SEFCP= SPBC, 则 VD﹣EFCP= VD﹣PBC= VP﹣DBC= = . ,

【点评】本题主要考查空间直线和直线垂直的判定以及三棱锥体积的计算,根据相应的判定定理以 及棱锥的体积公式是解决本题的关键.
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19.已知数列{an}是等比数列,首项 a1=1,公比 q>0,其前 n 项和为 Sn,且 S1+a1,S3+a3,S2+a2 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}、{cn}满足 恒成立,求 m 的最大值. 【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 【分析】(1)由于 S1+a1,S3+a3,S2+a2 成等差数列,可得 2(S3+a3)=S2+a2+S1+a1.解得 q,可得 an. (2)数列{bn}、{cn}满足 = =﹣log2an+1=n,bn=n(n+2).由于 bn?cn=1,可得 cn= ,且 bn?cn=1,令 Tn 为数列{cn}的前 n 项和,若 Tn≥m

.再利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出.

【解答】解:(1)∵S1+a1,S3+a3,S2+a2 成等差数列,∴2(S3+a3)=S2+a2+S1+a1. ∴4a3=a1=1,∴q2= ,公比 q>0,解得 q= . ∴an= . =﹣log2an+1=n,

(2)数列{bn}、{cn}满足 ∴bn=n(n+2). ∵bn?cn=1, ∴cn= =

. + + +…+

∴数列{cn}的前 n 项和 Tn= + = ∵Tn≥m 恒成立, ∴m≤T1= . ∴m 的最大值为 . .

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【点评】本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题.

20.设椭圆 (1)求椭圆 C 的方程;

的离心率为

,且内切于圆 x2+y2=9.

(2)过点 Q(1,0)作直线 l(不与 x 轴垂直)与该椭圆交于 M、N 两点,与 y 轴交于点 R,若 =λ , = ,试判断 λ+μ 是否为定值,并说明理由.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】方程思想;分析法;平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)利用圆 x2+y2=9 的直径为 6,可得 a=3,结合离心率公式,参数 a、b、c 的关系即可 得出; (2)把直线的方程与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系、向量相等即可得到定值. 【解答】解:(1)由圆 x2+y2=9 的直径为 6, 依题意知 2a=6,所以 a=3, 又因为 e= = 则 b= ,所以 c=2 =1, +y2=1; a,

所以椭圆 C 的方程为

(2)λ+μ=﹣ ,即 λ+μ 为定值. 理由如下:依题意知,直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) 设 M(x1,y1),N(x2,y2),R(0,y3), 由 消去 y 并整理,得(1+9k2)x2﹣18k2x+9k2﹣9=0,

即有 x1+x2= 由 即 =λ

①,x1x2=

②,

,可得(x1,y1)﹣(0,y3)=λ[(1,0)﹣(x1,y1)], ,又 x1≠1 与 x1≠1 轴不垂直,所以 x1≠1,

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所以 λ=

,同理 μ=



所以 λ+μ=

+

=



将①②代入上式可得 λ+μ=﹣ ,即 λ+μ 为定值. 【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的相交问题、根与系数的关系、弦长公式、 点到直线的距离公式、向量相等是解题的关键.

21.已知函数



(Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f(x)在其定义域内为增函数,求 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设函数 成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函 数的最值. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】(Ⅰ)当 a=1 时,求出切点坐标,然后求出 f'(x),从而求出 f'(1)的值即为切线的斜率, 利用点斜式可求出切线方程; (Ⅱ)先求导函数,要使 f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需 f′(x)≥0 在(0,+∞)内恒 成立,然后将 a 分离,利用基本不等式可求出 a 的取值范围; (III)根据 g(x)在[1,e]上的单调性求出其值域,然后根据(II)可求出 f(x)的最大值,要使在 [1,e]上至少存在一点 x0,使得 f(x0)≥g(x0)成立,只需 f(x)max≥g(x)min,x∈[1,e],然后 建立不等式,解之即可求出 a 的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)当 a=1 时,函数 ∴f(1)=1﹣1﹣ln1=0. , , ,若在[1,e]上至少存在一点 x0,使得 f(x0)≥g(x0)

曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 f'(1)=1+1﹣1=1. 从而曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y﹣0=x﹣1, 即 y=x﹣1.
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(Ⅱ)



要使 f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需 f′(x)≥0 在(0,+∞)内恒成立. 即:ax2﹣x+a≥0 得: 恒成立.

由于







∴ ∴f(x)在(0,+∞)内为增函数,实数 a 的取值范围是 (III)∵ 在[1,e]上是减函数 .…

∴x=e 时,g(x)min=1,x=1 时,g(x)max=e,即 g(x)∈[1,e] f'(x)= 令 h(x)=ax2﹣x+a

当 又

时,由(II)知 f(x)在[1,e]上是增函数,f(1)=0<1 在[1,e]上是减函数,故只需 f(x)max≥g(x)min,x∈[1,e] ,g(x)min=1,即)= ≥1

而 f(x)max=f(e)= 解得 a≥

∴实数 a 的取值范围是[

,+∞)

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及利用导数研究函数的单调性和最 值,同时考查了转化的思想,属于中档题.

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