2.3.1数乘向量

§3 从速度的倍数到数乘向量

3.1 数乘向量

1.向量加法的三角形法则 2.向量加法的平行四边形法则
a b B a A b C a a + b A B a + b b D a

b
C

. 特点:首尾相接，首尾连

特点:共起点

3.向量的减法
b a

o.
a

b

B

a?b

A

特点：共起点，连终点，方向指向被减向量

1.在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先 看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上光速 远远大于声速.经测量，光速大小约为声速的8.7×105

倍.
2. 一重物由高空自由落下，由自由落体运动的速度公式 vt = gt 可知，它在1s 末和2 s 末的速度，大小分别为 v1 = 9.8 m/ s 和 v2 = 19.6 m/ s .显然 v2 = 2 v1 ,并且方向都是 竖直向下.

由以上两个实例可以看出，实际中存在方向相同、 大小之间存在倍数关系的两个向量，因此有必要研

究实数与向量积的运算.

1.理解、掌握向量数乘运算及其几何意义.（重点）

2.掌握数乘运算的运算律.（重点）
3.掌握向量共线的判定定理和性质定理.（难点）

探究点1 数乘向量 思考1：

O

A

B

C

N

M

Q

P

，

.

思考2：向量 3a 与向量 a 有什么关系？向量 ?3a 与向 量 a 有什么关系？ 提示： 1.向量 3a 的方向与 a 的方向相同，向量 3a 的长度 是 a 的长度的3倍，即 | 3a |? 3| a | .

2.向量 ?3a 的方向与 a 的方向相反，向量 ?3a 的长
度是 a 的长度的3倍，即 | ?3a |? 3| a | .

向量的数乘运算 一般地，实数λ 与向量 a 的积是一个向量， 记作 λ a. 这种运算叫作向量的数乘运算. 它的长度和方向规定如下：

特别地，当λ =0时 λa ? 0,方向任意.

思考3：数乘向量依然是向量,它的方向由谁决定? 提示:由λ和向量a的方向共同决定. 思考4：数乘向量的几何意义. 提示:是把向量 a 沿 a的方向或 a 的反方向伸长或压

缩，具体为：

①当|λ|＞1时，有|λa |＞|a |，这意味着表示

向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ
＜0)上伸长为原来的|λ|倍，

②当0＜|λ|＜1时，有|λa |＜|a|，这意味着表
示向量a的有向线段在原方向(0＜λ＜1)或反方 向(-1＜λ＜0)上缩短为原来的|λ|倍.

探究点2 数乘向量的运算律 1.根据定义，求作向量 3(2a) 和 6a(a ? 0) ，并作比较.

结论：

3(2a) ? 6a

2.

数乘向量的运算律: 设 a,b 为向量，λ ，μ 为实数，则有： 结合律 第一分配律 第二分配律
λ(μa) ? (λμ)a
λ(a ? b) ? λa ? λb

(λ ? μ)a ? λa ? μa

解：

向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算， 通常叫作向量的线性运算. 对于任意的向量 a,b 以及任意实数λ ，μ1， μ2 ，恒有

λ (μ1 a ? μ 2 b) ? λμ1 a ? λμ 2 b

【变式练习】

计算：

探究点3

共线向量判定定理和性质定理

思考1:如果 b ? λa, 那么向量 a 与 b 是否共线？
r r (a ? 0)

向量共线的判定定理

a 是一个非零向量，若存在一个实数λ ，使得 b ? λa.
则向量 b 与非零向量 a 共线.

思考2：如果非零向量 a 与 b 共线，那么是否有实数λ , 使 b ? λa ?

且当 a 与 b 同方向时，有 b ? λa; 当 a 与 b 反方向时，有 b ? ?λa, 所以始终有一个实数λ ，使 b ? λa.

向量共线的性质定理 若向量 b 与非零向量 a 共线，则存在一个实数λ ， 使得

b ? λa.

思考3：(1) a 为什么要是非零向量？

若是零向量时，λ不唯一.
(2) b 可以是零向量吗？

可以.

,

E

C A B D

A

B
P C

证明：如题干图，因为向量 BC 与向量 BA 共线，根据向
量共

1.在△ABC中， AB= a， AC= b，且 BD=2DC， 则 AD等于（ D ）
1 A．3 2 C．3

a +
a +

1 3 1 3

b
b

2 B．3 1 D．3

a +
a +

2 3 2 3

b
b

2.若 AP=
A．
4 3

1 3

PB， AB=λ BP，则实数λ 的值是（ D ）
3 4

B．-

C．

3 4

D ．-

4 3

a

解：作图如右图
依图猜想:A，B，C三点共线
b b b

b C

B
A a O

又AB与AC有公共点A,所以A，B，C三点共线.

不知道他自己的人的尊严，他就完全不能 尊重别人的尊严. ——席勒