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人教A版必修4平面向量复习



平面向量复习一
高一数学组
2016/12/1 1

平面向量 复习
表示 向量的三种表示 向量加法 与减法 向量的相关概念 三 角 形 法 则 平行四边形法则 向量平行、 垂直的条件

平 面 向 量
运算

实数与向量 的积

平面向量的 基本定理

/>2016/12/1

向量的数量积

2

一、向量的相关概念:

1)定义
2)重要概念:
(1)零向量: (2)单位向量: (3)平行向量: (4)相等向量: (5)相反向量:

3)向量的表示 4)向量的模(长度)
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二、向量的运算
1)加法:①两个法则 减法: ①法则 ②坐标表示 ②坐标表示

运算律
2)实数λ与向量 a 的积

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3)平面向量的数量积: (1)两向量的夹角定义 (2)平面向量数量积的定义 (3)a在b上的投影 (4)平面向量数量积的几何意义 (5)平面向量数量积的运算律

4

三、平面向量之间关系
向量平行(共线)条件的两种形式: 向量垂直条件的两种形式:

(3)两个向量相等的条件是两个向量的坐 标相等.

四、平面向量的基本定理
注:满足什么条件的向量可作为基底?
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向量定义:既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念:
(1)零向量: 长度为0的向量,记作0. (2)单位向量:长度为1个单位长度的向量.

(3)平行向量:也叫共线向量,方向相同或相反
的非零向量. (4)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量:长度相等且方向相反的向量.
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向 量 几何表示 : 有向线段 ? ??? ? 的 字母表示 : a 、 AB 等 表 坐标表示 : (x,y) 示
若 A(x1,y1),
则 AB =
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B(x2,y2)

(x2 - x1 , y2 - y1)
7

向量的模(长度) 1. 设 a = ( x , y ), 则 a ?

x ?y
2

2

2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别
为A(x1,y1)、B (x2,y2) ,则

a ? AB ?
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?x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

8

平面向量复习 1.向量的加法运算 三角形法则 AB+BC= AC OA+OB= OC
A B O A C B

平行四边形法则

C

重要结论:AB+BC+CA= 0

坐标运算:
?

设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
? ? ?

则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) 注 : AB ? a , AD ? b
(1) a ?
? ?

b , 则四边形是什么图形?
?

?

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( 2) a ? b ?

a ? b , 则四边形是什么图形?

?

?

9

平面向量复习

2.向量的减法运算 1)减法法则: OA-OB = BA 2)坐标运算: 若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a - b= (x1 - x2 , y1 - y2)
3.加法运算率 1)交换律: 2)结合律:
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B

O

A

a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)
10

平面向量 复习

实数λ与向量 a 的积
定义:λa是一个

向量.
与a方向相同;

它的长度 |λa| = |λ| |a|;
它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向

(2) 当λ<0时,λa 的方向 与a方向相反.

其实质就是向量的伸长或缩短!
坐标运算: 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)

= (λ x , λ y)
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? 1、平面向量的数量积 ? (1)a与b的夹角:

a θ

共同的起点

b

0 ,1800] [0 ?(2)向量夹角的范围:

? (3)向量垂直:
B B A A A O B A B O O A B
12

a O θ
O
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b

(4)两个非零向量的数量积:

a· b = |a| |b| cosθ
? 规定:零向量与任一向量的数量积为0

几何意义: 数量积 a · b 等于 a 的长度 |a|与 b 在
a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
B b B b

B
b

O θ
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a
B1 A B1

θ
O a

θ
A O (B1)

a
13

A

5、数量积的运算律: ⑴交换律: a ? b ? b ? a ⑵对数乘的结合律: (? a) ? b ? ?(a ? b) ? a ? (?b) ⑶分配律: (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

注意: 数量积不满足结合律

即: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
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平面向量数量积的重要性质
a,b为非零向量,e为单位向量

· a = a · e =| a | cosθ ? (2)a ⊥ b的条件是 a ·b =0 ? (3) 当 a与b同向时, a ·b = |a | | b | ; ? 当 a 与b 反向时,a ·b = - |a | | b |
? (1)e
? ? ?

特别地:a ·a=| a | (4)cosθ=

2

或 |a|=

(5)| a· b|≤|a||b|
15

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二、平面向量之间关系
向量平行(共线)条件的两种形式:

(1)a // b(b ? 0) ? a ? ? b; (2)a // b(a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
向量垂直条件的两种形式:

(1)a ? b ? a ? b ? 0 (2)a ? b ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
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(3)两个向量相等的条件是两个向量的
坐标相等.

? , y1 ), 即: a ? ( x1?
那么

? a ? b ? x1 ? x2且y1 ? y2

? b ? ( x2 , y2 )

三、平面向量的基本定理

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如果e1 , e2 是同一平面内的两个不共线 向量,那么对于这一平面内的任一向 量 a ,有且只有一对实数?1 , ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2

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1.若a ? 0, b ? 0,则a ? b ? 0 ( × ? ? ? ? ? ? 2.若a ? b ? 0,则a ? 0或b ? 0 ( × ? ? ? ? ? ? ? ? 3.若a ? b ? a ? c,且a ? 0,则b ? c ( × ? 2 ?2 ? ? ( √ ) 4. a ? a ? a ? a ? ? ? ? ? ? ( √ ) 5. a ? b ? a ? b ,则a // b ? ? ? ? ? ? ( √ ) 6. a ? b ? a ? b ,则a ? b
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练习 ? 1:判断正误,并简述理由。 ?? ? ? ?

) ) )

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平面向量复习 2. 设AB=2(a+5b),BC= ?2a + 8b,CD=3(a ?b), 求证:A、B、D 三点共线。 分析
要证A、B、D三点共线,可证 AB=λBD关键是找到λ

解: ∵BD=BC+CD= ?2a + 8b+ 3(a ?b)=a+5b
∴AB=2 BD AB∥ BD

且AB与BD有公共点B

∴ A、B、D 三点共线
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