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浙江省台州市高三第一次调考试卷(数学理)


台州市 2009 年高三年级第一次调考试题



学(理科)

2009.3

命题:余绍安(天台中学) 徐跃文(温岭中学) 审题:王建华(黄岩中学) 注意事项: 1. 本卷共 4 页,三大题,22 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2. 用蓝、黑色水笔或圆珠笔书写答案,考试结束只需将答案纸交回.
参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 棱柱的体积公式 V=Sh 其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式 V=

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A,B 相互独立,那么

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好 发生 k 次的概率是 Cn 球的表面积公式
k

1 Sh 3

pk (1 ? p)n ?k ,
2

其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高 棱台的体积公式 1 V ? h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3 其中 S1, S2 分别表示棱台的上底、下底面积, h 表示棱台的高

其中 p 表示在一次试验中事件 A 发生的概率

S ? 4πR

球的体积公式 V ? 4 πR 3 3 其中 R 表示球的半径

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 A ? ?1, a ? 2,5? , ?U A ? ?2,4? ,则 a 的值为 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 2.下列四个数中最大的是 (A) lg 2 (B)

lg 2

(C)

(lg 2) 2

(D)

lg(lg 2)

3. 现要完成下列 3 项抽样调查: ①从 10 盒酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查. ②科技报告厅有 32 排,每排有 40 个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报告会结束 后,为了听取意见,需要请 32 名听众进行座谈. ③东方中学共有 160 名教职工,其中一般教师 120 名,行政人员 16 名,后勤人员 24 名. 为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为 20 的样本.较为合理 的抽样方法是 (A) ①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样. (B) ①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样. (C) ①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样. (D) ①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样.
y

4.已知函数 f ?x ? ? 2 sin(?x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? 且函数的图象如图所示,则点 (? , ? ) 的坐标是 (A) (C)

? ?),
?
24

2
3
5? 24

? ( 2, ) 3 2? (2, ) 3

(B) (D)

? ( 4, ) 3 2? (4, ) 3

?

o -2

x

1

5.根据右边程序框图,若输出 y 的值是 4, 则输入的实数 x 的值为 (A) 1 (B) ?2 (C)

1或 2

(D) 1 或 ?2

6. 已知点 M ( 3,0) ,椭圆

x2 ? y 2 ? 1 与直线 y ? k ( x ? 3) 4

交于点 A 、 B ,则 ?ABM 的周长为 (A)4 (B) 8 (C) 12 (D) 16

7.设直线 m 与平面 ? 相交但不垂直,则下列说法中正确的是 . (A) 在平面 ? 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 (B) 过直线 m 有且只有一个平面与平面 ? 垂直 (C) 与直线 m 垂直的直线不可能与平面 ? 平行 . (D) 与直线 m 平行的平面不可能与平面 ? 垂直 . 8.设 (2 x ?

1 n ) (n ? N 且 n ? 2) 展开式中所有项的二项式系数的和为 an ,展开式中含 x n ? 4 x a a a 项的系数为 bn ,记 Tn ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ,则 T20 ? b2 b3 bn 80 160 19 38 (A) (B) (C) (D) 21 5 21 5

1 9.若 m,n ?{x | x ? a2 ? 102 ? a1 ? 10 ? a0 } ,其中 a i ? {1, 2, 3, 4, 5} (i ? 0,,2) ,并且
m ? n ? 735 ,则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为
(A) 32 (B) 40 (C) 50 (D) 75

10.给出定义:若 m ?

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数) m 叫做离实数 x 最近的整数, ,则 2 2 记作 {x} ? m ,在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? ?x? 的四个命题:
学科网

①函数 y = f (x) 的定义域为 R ,值域为 ?0, ? ; 2 ②函数 y = f (x) 在 ??

? 1 1? , ? 上是增函数; ? 2 2?

? 1? ? ?
学科网

学科网

③函数 y = f (x) 是周期函数,最小正周期为 1;

学科网

2

④ 函数 y = f (x) 的图象关于直线 x ?


k ( k ? Z )对称. 2
(C) ①②③

科网

其中正确命题的序号是 (A) ①③ (B) ③④




(D) ①③④

学科

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.已知 z 1 =2+ i , z 2 = 1 ? 3i ,则复数 12.已知命题 则命题

i ? z2 的虚部为 z1
,命题 q 是命题





p : ?x ? R, x 2 ? 12 ? 2
x

p 的否定,
▲ .

p 、 q 、 p ? q 、 p ? q 中真命题的是(写出所有真命题)

13. 已知 P( x, y) 是抛物线 y 2 ? ?4 x 的准线与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的两条渐近线所围成的平 面区域(含边界)的任意一点,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 14.一几何体的三视图如下图,则它的体积为 ▲ . ▲ .

15.已知等差数列 {an } 中, a3 ? 7,a6 ? 16 ,将此等差数列的各项排成如下三角形数阵:

a1 a2 a4 a 7 ? ? a 8 ? a 5 a9 ? a3 a6 a 10 ?
▲ .

则此数阵中第 20 行从左到右的第 10 个数是

16.已知 f (x) 是 R 上的奇函数,若将 f (x) 的图象向右平移一个单位,则得到一个偶函数

) 的图象,若 f (?1) ? 2 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2009 ?





? 17.已知 O 是△ ABC 的外心, AB ? 2 , AC ? 1 ,?BAC ? 120 .设 AB ? a , AC ? b ,

若 AO ? ma ? nb ,则 m ? n ?

1





3

三.解答题:本大题共 5 小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 满足 4 cos B cos (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin C 的取值范围.
2

A?C ? cos 2 B ? 0. 2

19.(本题满分 14 分)体育课进行篮球投篮达标测试,规定:每位同学有 5 次投篮机会,若 投中 3 次则“达标” ;为节省测试时间,同时规定: 若投篮不到 5 次已达标, 则停止投篮; 若后面投篮全中,也不能达标(例如前 3 次都未投中等情形) ,则停止投篮.同学甲投篮 命中率为 ,且每次投篮互不影响. (Ⅰ)求同学甲恰好投 4 次达标的概率; (Ⅱ)设测试中甲投篮次数记为ξ ,求ξ 的分布列及数学期望 Eξ .

2 3

CD , 20.(本题满分 15 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥ 底面 ABCD, AB ∥
BAD =120°, PA = 3 ,∠ AD ? CD ? 1 ,∠ ACB =90°, M 是线段 PD 上的一点(不包括
端点). (Ⅰ)求证: BC ⊥ 平面 PAC ; (Ⅱ)求二面角 D ? PC ? A 的正切值; (Ⅲ)试确定点 M 的位置,使直线 MA P

M A B

15 与平面 PCD 所成角 ? 的正弦值为 . 5
D

C

21. 本题满分 14 分) ( 已知点 B(0, , C (0,?3) , 1) 点 直线 PB 、PC 都是圆 ( x ? 1) ? y ? 1
2 2

的切线( P 点不在 y 轴上). (Ⅰ)求过点 P 且焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程; (Ⅱ)过点(1,0)作直线 l 与(Ⅰ)中的抛物线相交于 M 、 N 两点,问是否存在定点 R,使

RM ? RN 为常数?若存在,求出点 R 的坐标及常数;若不存在,请说明理由.

4

22.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) ,点 A s, f ? s ? , B t , f ?t ? . (Ⅰ)若 a ? 0,b ? 3 ,函数 f ( x ) 在 (t , t ? 3) 上既能取到极大值,又能取到极小值,求 t 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? 0 时,

?

? ?

?

f ( x) ?1 ? ? ln x ? 1 ? 0 对任意的 x ? ? , ?? ? 恒成立,求 b 的取值范围; x ?2 ?

(Ⅲ)若 0 ? a ? b ,函数 f ( x ) 在 x ? s 和 x ? t 处取得极值,且 a ? b ? 2 3 , O 是坐标 原点,证明:直线 OA 与直线 OB 不可能垂直.

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

CAADD BB BAD
二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)

11. ? 1

12.p, p ? q

13. 3

14.

3 2

15.598

16. ? 2

17. ?

1 2

三、解答题 18.解: (Ⅰ)由已有

2 cos B[1 ? cos(A ? C)] ? 2 cos2 B ? 1 ? 0

2 cos B(1 ? cos B) ? 2 cos2 B ? 1 ? 0
(4 分)

得 cos B ?

1 ? , 所以 B ? ; 2 3
2? 2? ? A且0 ? A ? 3 3

(6 分)

(Ⅱ)由(1) C ?

(8 分)

所以 sin A ? sin C ? sin A ? sin(

2? 3 3 ? A) ? sin A ? cos A 3 2 2

(10 分)

5

? 3 sin( A ? ?

?
6

) 5? 6 ? sin( A ?

(12 分)

?
6

? A?

?
6

?

?

1 ) ? ( ,] 1 6 2
(14 分)

? sin A ? sin C的取值范围是 (

3 , 3] 2
2 3 1 8 ? 3 27

19.解: (Ⅰ)同学甲同学恰好投 4 次达标的概率 P ? C 3 ( )
2

3

(4 分)

(Ⅱ) ? 可取的值是 3,4,5

1 2 1 P(? ? 3) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? 3 3 3 1 8 2 2 P(? ? 5) ? C 4 ( ) 2 ( ) 2 ? 3 3 27 1 8 10 P(? ? 4) ? 1 ? ? ? 3 27 27

(6 分) (8 分) (10 分)

? 的分布列为
?

3
1 3

4
10 27

5
8 27
(12 分)

P
所以 ? 的数学期望为 E? ? 3 ?

1 10 8 107 ? 4? ? 5? ? . 3 27 27 27

(14 分)

20.解:(Ⅰ)∵PA⊥底面 ABCD,BC ? 平面 AC,∴PA⊥BC ∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,又 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC (Ⅱ)取 CD 的中点 E,则 AE⊥CD,∴AE⊥AB,又 PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AE 建立如图所示空间直角坐标系,则
3 1 3 1 , ,0) , ? ,0) ,D( 2 2 2 2 ???? ??? ? ??? ? 3 1 3 1 AP ? (0,0, 3) , AC ? ( , , 0) , PD ? ( , ? , ? 3) 2 2 2 2 (6 分) ?? ? 易求 n1 ? ( 3, ?3,0) 为平面 PAC 的一个法向量.

(4 分)

A(0, ,0,0) ,P(0,0, 3 ) ,C(

?? ? n2 ? (2,0,1)







PDC













(9 分)

6

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? n1 ? n2 5 ? ? ∴cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? | n1 | ? | n2 | 5

故二面角 D-PC-A 的正切值为 2. (11 分) (Ⅲ)设 M ( x, y, z), PM ? mPD ,则

( x, y, z ? 3 ) ? m(

3 1 ,? ,? 3 ) , 2 2
(13 分)

解得点 M (

3 1 3 1 m,? m, 3 ? 3m) ,即 AM ? ( m,? m, 3 ? 3m) 2 2 2 2
3 5 m ? 3(1 ? m)
2 2

由 sin ? ?

?

1 15 得 m ? 1 (不合题意舍去)或 m ? 2 5

所以当 M 为 PD 的中点时,直线 AM 与平面 PCD 所成角的正弦值为

15 . 5

(15 分)

21.解: (Ⅰ)设直线 PC 的方程为: y ? kx ? 3, 由

| k ?3| k ?1
2

? 1得 k ?

4 4 ,所以 PC 的方程为 y ? x ? 3. 3 3

(4 分)

?y ? 1 ? 由? 得 P 点的坐标为 (3,1) . 4 ?y ? 3 x ? 3 ?
可求得抛物线的标准方程为 y ?
2

1 x. 3
2

(6 分)

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 x ? m y ? 1 ,代入抛物线方程并整理得 y ? 设 M ( x1 , y1 ),N ( x2 , y 2 ),则 y1 ? y 2 ?

1 1 my ? ? 0 (8 分) 3 3

1 1 m,y1 y 2 ? ? 3 3

设 R( x0 , y0 ) ,则 RM ? RN ? ( x1 ? x0 , y1 ? y0 ) ? ( x2 ? x0 , y 2 ? y0 )

? ( x1 ? x0 )(x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) ? (my1 ? 1 ? x0 )(my2 ? 1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 )

? m2 y1 y2 ? m(1 ? x0 )( y1 ? y2 ) ? (1 ? x0 ) 2 ? y1 y2 ? y0 ( y1 ? y2 ) ? y0
? 1 1 1 2 x0 m 2 ? y 0 m ? (1 ? x0 ) 2 ? y 0 ? 3 3 3

2

(11 分)

7

当 x0 ? y0 ? 0 时上式是一个与 m 无关的常数.

0 所以存在定点 R(0, ) ,相应的常数是

2 . 3

(14 分)

22.解: (Ⅰ)当 a ? 0, b ? 3 时 f (x) ? x3 -3x 2 ,?f ?(x) ? 3x 2 - 6x

(2 分)

? f (x) 在 (2, ??)和(??,0) 上递增,在 (0, 2) 上递减
所以 f (x) 在 0 和 2 处分别达到极大和极小,由已知有

t ? 0 且 t ? 3 ? 2 ,因而 t 的取值范围是 (?1, 0) .

(4 分)

f ( x) ? ln x ? 1 ? 0 即 x 2 ? bx ? ln x ? 1 ? 0 x ln x 1 1 ln x 1 ? ? b ,记 g ( x) ? x ? ? ( x ? ), 可化为 x ? x x x x 2
(Ⅱ)当 a ? 0 时, 则 g ?( x) ? 1 ?
2

1 ? ln x 1 x 2 ? ln x ? 2 ? , x2 x x2 市一次模理数参答—3(共 4 页)
1 , x

(7 分)

记 m( x) ? x ? ln x,则 m ?( x) ? 2 x ?

2 1 2 ? m(x) 在 ( , ) 上递减,在 ( ,? ?) 上递增. 2 2 2 ? m( x) ? m( 2 1 2 ) ? ? ln ?0 2 2 2
1 2

从而 g ?( x ) ? 0,? g ( x )在[ ,?? ) 上递增 因此 g ( x ) min ? g ( ) ?

1 2

5 5 ? 2 ln 2 ? b,故 b ? ? 2 ln 2. 2 2

(10 分)

(Ⅲ)假设 OA ⊥ OB ,即 OA ? OB = (s, f (s)) ? (t , f (t )) ? st ? f (s) f (t ) ? 0 故 ( s ? a)(s ? b)(t ? a)(t ? b) ? ?1,

[st ? (s ? t )a ? a 2 ][st ? (s ? t )b ? b 2 ] ? ?1
分) 由 s , t 为 f ? (x)=0 的两根可得, s ? t ? 从而有 ab(a ? b) ? 9
2



12

2 ab (a ? b),st ? , (0 ? a ? b) 3 3

8

(a ? b) 2 ? (a ? b) 2 ? 4ab ?

9 ? 4ab ? 2 36 ? 12 ab

即 a ? b ≥2 3 ,这与 a ? b <2 3 矛盾. 故直线 OA 与直线 OB 不可能垂直. (15 分)

9


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