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空间点、直线平面之间的位置关系讲义与例题



平面 1、平面含义 师:以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中抽象出 来的,但是,几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 师:在平面几何中,怎样画直线? 之后教师加以肯定,解说、类比,将知识迁移,得出平面的画法:水平放置的平面通常画成 0 一个平行四边形,锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长(如图)

D α

A B

C

平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平面的平行四 边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线或不画(打 出投影片)

β

β

α

α

·B 课本 P41 图 2.1-4 说明 平面内有无数个点,平面可以看成点的集合。 点 A 在平面α 内,记作:A∈α 点 B 在平面α 外,记作:B ? α ·A

α

2.1-4 3、平面的基本性质 教师引导学生思考教材 P41 的思考题,让学生充分发表自己的见解。 师:把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边,可以看到,直尺的整个边缘就落在了桌面上, 用事实引导学生归纳出以下公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 (教师引导学生阅读教材 P42 前几行相关内容,并加以解析) 符号表示为 A∈L A B∈L => L α α · ·B L A∈α

B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 师:生活中,我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等…… 引导学生归纳出公理 2 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B · α · C 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , · 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 教师用正(长)方形模型,让学生理解两个平面的交线的含义。 引导学生阅读 P42 的思考题,从而归纳出公理 3 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L β 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 P α · L 空间中直线与直线之间的位置关系 2、师:那么,空间两条直线有多少种位置关系?(板书课题) (二)讲授新课 1、教师给出长方体模型,引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如下图:

2、 (1)师:在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。 在空间中,是否有类似的规律? 组织学生思考: 长方体 ABCD-A'B'C'D'中, BB'∥AA',DD'∥AA', BB'与 DD'平行吗? 生:平行 再联系其他相应实例归纳出公理 4 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。

(投影)

让学生观察、思考: ∠ADC 与 A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何? 0 生:∠ADC = A'D'C',∠ADC + ∠A'B'C' = 180 教师画出更具一般性的图形,师生共同归纳出如下定理 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 教师强调:并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、以教师讲授为主,师生共同交流,导出异面直线所成的角的概念。 (1)师:如图,已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直线 a'∥a、b'∥b,我们把 a'与 b'所成的锐角(或直角)叫异面直线 a 与 b 所成的角(夹角) 。

(2)强调: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, ); 2 ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 1、判断题: (1)a∥b c⊥a => c⊥b ( ) (1)a⊥c b⊥c => a⊥b ( ) 2、填空题: 在正方体 ABCD-A'B'C'D'中,与 BD'成异面直线的有 ________ 条。

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 (二)研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物,从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点

(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a α a∩α =A a∥α 2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考,准确归纳出两个平面之间有两种 位置关系: (1)两个平面平行 —— 没有公共点 (2)两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 用类比的方法,学生很快地理解与掌握了新内容,这两种位置关系用图形表示为 α L

β α ∥β

α

β

α ∩β = L

教师指出:画两个相互平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。

空间点、直线平面之间的位置关系 单元测试
一、选择题 1. a,b 是两条异面直线, ( ) A.若 P 为不在 a、b 上的一点,则过 P 点有且只有一个平面与 a,b 都平行 B.过直线 a 且垂直于直线 b 的平面有且只有一个 C.若 P 为不在 a、b 上的一点,则过 P 点有且只有一条直线与 a,b 都平行 D.若 P 为不在 a、b 上的一点,则过 P 点有且只有一条直线与 a,b 都垂直 2. a、b 是异面直线,下面四个命题: ①过 a 至少有一个平面平行于 b;②过 a 至少有一个平面垂直于 b;③至少有一条直线与 a、

b 都垂直;④至少有一个平面分别与 a、b 都平行,其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的正棱锥体积最大时,直 线 BD 和平面 ABC 所 成的角的大小为 ( ) A. 90° B .60° C. 45° D.30° 4、下面四个命题:

①空间中如果有两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等 ②一个平面内两条直线与另外一个平面平行,则这两个面平行 ③一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 ④两个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直 其中,正确命题的个数是( )
A.0 二、填空题 B.1 C.2 D.3

1. 已知直线 m,n,平面 ? , ? ,给出下列命题: ①若 m ? ? , m ? ? , 则? ? ? ;②若 m // ? , m // ? , 则? // ? ; ③若 m ? ? , m // ? , 则? ? ? ; ④若异面直线 m, n 互相垂直, 则存在过 m 的平面与 n 垂直. 其 中正确的命题的题号为 _______ 2. 设 l、 m、 n 是三条不同的直线, ?、? 、? 是三个不同的平面,下面有四个命题: ① 若l ∥ ? , ? ∥ ? ,则l ∥?; ③ 若? ? ? , l ∥? ,则l ? ?; ② 若l ∥ n, m ∥ n,则l ∥ m; ④ 若l ? ? , m ? ? , ? ? ? , 则l ? m.

其中假命题的题号为__________ 3. 在右图所示的是一个正方体的展开图,在原来的正方体中,有下列命题: ①AB 与 EF 所在的直线平行; ②AB 与 CD 所在的直线异面; ③MN 与 BF 所在的直线成 60°角; ④MN 与 CD 所在的直线互相垂直.其中正确的命题是_____________ 三、解答题 D 1. 下列五个正方体图形中, l 是正方体的一条对角线,点

M,N,P 分别为其所在棱的中点,求能得出 l ⊥面 MNP 的图
形的序号(写出所有符合要求的图形序号) E

F

C

B

N

A M

2.

如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长的 3,侧棱 AA1=

3 3 , D 是 CB 延长线上一点, 2

且 BD=BC. (Ⅰ)求证:直线 BC1//平面 AB1D; (Ⅱ)求二面角 B1—AD—B 的大小; (Ⅲ)求三棱锥 C1—ABB1 的体积.

3. 如图,已知四棱锥 S-ABCD 的底面 ABCD 是正方形,SA⊥底面 ABCD,E 是 SC 上的一点. (1)求证:平面 EBD⊥平面 SAC; (2)设 SA=4,AB=2,求点 A 到平面 SBD 的距离; A B

S E D C

答案: 一、1.D 2.A 3.C 4.B 二、1.③、④ 2.①、③ 3.②、④ 三、1. 为了得到本题答案,必须对 5 个图形逐一进行判别.对于给定的正方体,l 位置固 定,截面 MNP 变动,l 与面 MNP 是否垂直,可从正、反两方面进行判断.在 MN、NP、MP 三

条线中,若有一条不垂直 l,则可断定 l 与面 MNP 不垂直;若有两条与 l 都垂直,则可断定 l⊥面 MNP;若有 l 的垂面∥面 MNP,也可得 l⊥面 MNP. 解法 1 作正方体 ABCD-A1B 1 C1 D1 如附图,与题设图形对比讨论.在附图中,三个截面 BA1D、EFGHKR 和 CB 1 D1 都是对角线 l (即 AC1)的垂面. 对比图①,由 MN∥BA l,MP∥BD,知面 MNP∥面 BA l D,故得 l⊥面 MNP. 对比图②,由 MN 与面 CB1D1 相交,而过交点且与 l 垂直的直线都应在面 CBl Dl 内,所以 MN 不垂直于 l,从而 l 不垂直于面 MNP. 对 比图③,由 MP 与面 BA l D 相交,知 l 不垂直于 MN,故 l 不垂直于面 MNP. 对比图④,由 MN∥BD,MP∥BA.知面 MNP∥面 BA 1 D,故 l⊥面 MNP. 对比图⑤,面 MNP 与面 EFGHKR 重合,故 l⊥面 MNP. 综合得本题的答案为①④⑤. 解法 2 如果记正方体对角线 l 所在的对角截面为 ? .各图可讨论如下: 在图①中,MN,NP 在平面 ? 上的射影为同一直线,且与 l 垂直,故 l⊥面 MNP.事实上,还可这样考虑:l 在上底面的射影是 MP 的垂线,故 l⊥MP;l 在 左侧面的射影是 MN 的垂线,故 l⊥MN,从而 l⊥面 MNP. 在图②中,由 MP⊥面 ? ,可证明 MN 在平面 ? 上的射影不是 l 的垂线,故 l 不垂直于 MN.从而 l 不垂直于面 MNP. 在图③中,点 M 在 ? 上的射影是 l 的中点,点 P 在 ? 上的射影 是上底面的内点,知 MP 在 ? 上的射影不是 l 的垂线,得 l 不垂直于面 MNP. 在图④中,平面 ? 垂直平分线段 MN,故 l⊥MN.又 l 在左侧面的射影(即侧面正方形的 一条对角线)与 MP 垂直,从而 l⊥MP,故 l⊥面 MNP. 在图⑤中,点 N 在平面 ? 上的射影是对角线 l 的中点,点 M、P 在平面 ? 上的射影分别 是上、下底面对角线的 4 分点,三个射影同在一条直线上,且 l 与这一直线垂直.从而 l⊥ 面 MNP. 至此,得①④⑤为本题答案. 2. (Ⅰ)证明:CD//C1B1,又 BD=BC=B1C1, ∴ 四边形 BDB1C1 是平行四边形, ∴BC1// DB1. 又 DB1 ? 平面 AB1D,BC1 ? 平面 AB1D,∴直线 BC1//平面 AB1D. (Ⅱ)解:过 B 作 BE⊥AD 于 E,连结 EB1,[来源:Zxxk.Com] ∵B1B⊥平面 ABD,∴B1E⊥AD , ∴∠B1EB 是二面角 B1—AD—B 的平面角,[来源:Zxxk.Com] ∵BD=BC=AB, ∴E 是 AD 的中点, BE ? 1 AC ? 3 .
2 2

在 Rt△B1BE 中,
tan ?B1 BE ? 3 3 B1 B 2 ? ? 3 . ∴∠B1EB=60°. 3 BE 2

即二面角 B1—AD—B 的大小为 60° (Ⅲ)解法一:过 A 作 AF⊥BC 于 F,∵B1B⊥平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 BB1C1C, ∴AF⊥平面 BB1C1C,且 AF=
3 3 ?3 ? 3, 2 2

∴ VC ? ABB ? V A ? BB C ? 1 S ? B B C ? AF 1 1 1 1 1 1 1 1 3

1 1 3 3 3 3 27 即三棱锥 C1—ABB1 的体积为 27 . ? ( ? ? 3) ? ? . 8 3 2 2 2 8

解法二:在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,? S

?ABB1

? S ?AA B ?VC1 ? ABB1 ? VC1 ? AA1B1 ? VA? A1B1C1
1 1

1 1 3 2 3 3 27 即三棱锥 C1—ABB1 的体积为 27 . ? S?A1 B1C1 ? AA (4 ? ?3 )? ? . 1 ? 8 3 3 4 2 8

S E A O B C D

13. (1)证明:∵SA⊥底面 ABCD,BD? 底面 ABCD,∴SA⊥BD ∵ABCD 是正方形,∴AC⊥BD ∴BD⊥平面 SAC,又 BD? 平面 EBD ∴平面 EBD⊥平面 SAC. (2)解:设 AC∩BD=O,连结 SO,则 SO⊥BD 由 AB=2,知 BD=2 2

SO= SA2+AO2= 42+( 2)2=3 2
1 1 ∴S△SBD= BD·SO= ·2 2·3 2=6 2 2 1 1 令点 A 到平面 SBD 的距离为 h,由 SA⊥平面 ABCD, 则 ·S△SBD·h= ·S△ABD·SA 3 3 1 4 ∴6h= ·2·2·4 ? h= 2 3 4 ∴点 A 到平面 SBD 的距离为 3



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