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3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2课时)1



3.1.2 两角和与差的 正弦、余弦、正切公式

复习

cos (? –? ) =cos? cos? + sin?sin?

cos(? ? ? ) ? ? cos? cos? – sin? sin?
注意:(1)用单角 的三角函数表示复角的三角函数
(2)公式中的角

?,

?

具有任意性

sin(? ? ? ) ? ?

sin(? ? ? ) ? ?

复习
?

诱导公式: ? Sin( ??

2

)= ?

Sin(

?
2

? ? )= ? ? ? )= ?

cos (

?
2

??

)= ?

cos (

?
2

正弦、余弦的转化

二、公式的推导

sin ?? ? ? ?
?? ? ? cos ? ? ?? ? ? ? ? ?2 ?

sin(? ? ? ) ? ?

用 ? ? 代?

?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ?

?? ? ?? ? ? cos? ? ? ? cos ? ? sin? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ?

? sin ? cos ? ? cos? sin ?

两角和与差的正弦公式

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
简记:S(? ? ? )

sin(? ? ? ) ? ?

用 ? ? 代?

sin(? ? ? ) ? sin[? ? (?? )] ? sin ? cos(?? ) ? cos ? sin(?? )

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
简记:S(? ? ? )

两角和的正切公式:

sin(α+β) tan(? ? ? ) ? cos(α+β)
sinαcosβ+ cosαsinβ ? cosαcosβ- sinαsinβ

分子分母同时除以cos ? cos ? 当cos ? cos ? ? 0时,
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ

记:T(? + ? )

tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ
上式中以??代?得
tan ? ? tan(? ? ) tanα- tanβ tan[? ? (? ? )] ? = 1 ? tan ? tan(? ? ) 1+ tanαtanβ

tanα- tanβ ∴tan(α-β)= 1+ tanαtanβ 记T(? - ? )

两角和与差的正切公式
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ
tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

注意:1?必须在定义域范围内使用上述公式。
即:tan?,tan?,tan(?±?)只要有一个不存 在就不能使用这个公式,只能(也只需)用诱 ? tan( ?? ) 不 导公式来解。如:已知tan ? =2,求 2 能用 T
2?注意公式的结构,尤其是符号。
(? ? ? )

三 、公式应用
3 ? 例2:已知 sin a ? ? , ? 是第四象限的角,求 sin( ? ? ), 5 4 cos( ? ? ), tan(? ? )的值。 4 4 3 解:由sin? =- , ? 是第四象限的角,得 5 4 2 3 2 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? (? 5 ) ? , 5 sin ? 3 所以 tan ? ? ?? cos ? 4
于是有 sin(

?

?

?
4

? ? ) ? sin

?

4 4 2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

cos ? ? cos

?

sin ?

cos(

?
4

? ? ) ? cos

?
4

cos ? ? sin

?
4

sin ?

2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10 ? tan ? ? tan ? tan ? ? 1 4 tan(? ? ) ? ? ? 4 1 ? tan ? 1 ? tan ? tan
3 ? ?1 4 ? ? ?7 3 1 ? (? ) 4 4

三 、公式应用

练习:----------学案例2

解: tan15?=

tan(45??30?)=
o o

tan45 - tan30 ? o o 1+ tan45 tan30
3 1? 3 ? 3 12 ? 6 3 3 ? ? ? ? 2? 3 6 3 3? 3 1? 3

例3:利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1)sin72。cos 42。? cos 72。sin 42。 ; (2) cos 20。cos 70。? sin 20。sin 70。 ; 1 ? tan15。 (3) . 。 1- tan15
解:(1)由公式得: sin72。 cos 42。? cos 72。 sin 42。 1 ? sin(72 ? 42 ) ? sin 30 ? ; 2
。 。 。

(2) cos 20。 cos 70。? sin 20。 sin 70。 ? cos(20。? 70。 ) ? cos 90。? 0
1 ? tan15。 tan 45。? tan15。 (3) ? 。 1- tan15 1- tan 45。 tan15。 ? tan(45。? 15。 ) ? tan 60。? 3

练习
?

学案 例1

例4

把下列式子化为一个角的三角函数形式

3 1 (1) sin ? ? cos ? 2 2
思考(2)

2 sin ? ? 2 cos?

化 a sin x ? b cos x 为一个角的三角函数形式

a sin x ? b cos x

? ? a b ? a ?b ? sin x ? cos x ? 2 2 a 2 ? b2 ? a ?b ? a cos ? ? 2 2 a ? b 令 b sin ? ? a 2 ? b2
2 2

? ? ?

? a 2 ? b2 ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? ? a 2 ? b2 sin ? x ? ? ?

统一函数名:

a sin x ? b cos x ? a ? b sin( x ? ? )
2 2

其中

a a 2 ? b2

? cos ? ,

b a 2 ? b2

? sin? .

练习

把下列各式化为一个角的三角函数形式

----------

学案例3

五.小结
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1 - tanαtanβ

注:公式的

正用、逆用、
变形用

tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

变形:

tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ)
tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
tan? ? tan? (1 ? tanαtanβ)= tan(? ? ? )

补充 练 习
1、化简: (1)tan(α+β)(1- tanαtanβ) tan(α-β)+ tanβ (2) 1- tan(α-β)tanβ 答案: (1)tanα+ tanβ

(2)tanα
2、求值: (1) tan71 - tan26 答案: (1) 1
o o

1+ tan71o tan26o
(2) -1

1- 3tan75o (2) o 3 + tan75

3、△ABC中, 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

证明: ∵tanA、tanB、tanC 都有意义, ∴tanAtanB≠1. ∴△ABC中没有直角,

tan A ? tan B , ∵ tan(A+B)= 1 ? tan A tan B

∴ tanA+tanB= tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B) =tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C) = –tanC+tanAtanBtanC, ∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

练习
? 5? ? ?? 例5、已知x ? ?0, ? ,求函数y ? cos( ? x) ? cos( ? x)的值域. 12 12 ? 2?
? ? ? ? ? ? 2? ? ? ?? 解: y ? cos( ? x) ? cos( ? ( ? x)) ? x ? ?0, ? ? x ? ? ? , ? 6 ?6 3 ? 12 2 12 ? 2? ? ? ? ? ?1 ? ? ? cos( ? x) ? sin( ? x) ? sin x ? ? ? ? ? ,1? x 12 12 6 ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?sin cos( ? x) ? cos sin( ? x) ? 4 12 4 12 ? ? ? ?? ? ? 2 ? sin ? ? ( ? x) ? ? 4 12 ?
? 2 ? sin( ? x) 6
? ?? ? 2 ? ? y ? 2 sin ? x ? ? ? ? , 2? 6? ? 2 ? ?

?



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