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集合 子集与真子集



集合 不等式的解法与简易逻辑
本章复习建议:解不等式是高中数学的主要工具之一,建议将第六章“不等式”拆开,把不 等式的解法安排在第一章. 一 考试内容: (1) 集合、子集、补集、交集、并集. (2)不等式的解法.含绝对值的不等式. (3)逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件. 二 考试要求: (1)理解集合、子集、补集、交集、交集的概念.了解空集和全集的意义.了解

属于、包 含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. (2)掌握简单不等式的解法. (3)理解逻辑联结词"或"、"且"、"非"的含义.理解四种命题及其相互关系.掌握充分条 件、必要条件及充要条件的意义.

g3.1001 集合的概念和运算
一、知识回顾: 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合间的交、并、补运算. 集合运算的性质; 集合的分类、特性、表示法、常用数集专用符号; 元素与集合、集合与集合的关系; 集合的文氏图、数轴法表示的应用.
交 : A ? B ? {x | x ? A, 且 x ? B} 并 : A ? B ? { x | x ? A或 x ? B } 补 : C U A ? { x ? U , 且 x ? A}

主要性质和运算律 包含关系:
A ? A, ? ? A, A ? U , C U A ? U , A ? B , B ? C ? A ? C ; A ? B ? A, A ? B ? B ; A ? B ? A, A ? B ? B.

等价关系: A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B ? C U A ? B ? U

集合的运算律:(注意结合“文氏图”) 交换律: A ? B ? B ? A ; A ? B ? B ? A . 结合律: ( A ? B ) ? C ? A ? ( B ? C ); ( A ? B ) ? C ? A ? ( B ? C ) 分配律:. A ? ( B ? C ) ? ( A ? B ) ? ( A ? C ); A ? ( B ? C ) ? ( A ? B ) ? ( A ? C ) 0-1 律: ? ? A ? ? , ? ? A ? A , U ? A ? A , U ? A ? U 等幂律: A ? A ? A , A ? A ? A . 求补律:A∩?A=φ A∪?A=U ?U=φ ?φ =U ?(?A)=A U U U U U U 反演律:?(A∩B)= (?A)∪(?B) ?(A∪B)= (?A)∩(?B) U U U U U U 有限集的元素个数 定义:有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数,记为 card( A)规定 card(φ ) =0. 基本公式: (1、2、3、5 了解;4 要记住)
(1) ca rd ( A ? B ) ? ca rd ( A ) ? ca rd ( B ) ? ca rd ( A ? B ) ( 2 ) ca rd ( A ? B ? C ) ? ca rd ( A ) ? ca rd ( B ) ? ca rd ( C ) ? ca rd ( A ? B ) ? ca rd ( B ? C ) ? ca rd ( C ? A ) ? ca rd ( A ? B ? C )

(3) card(?A)= card(U)- card(A) U (4)设有限集合 A, card(A)=n,则 (ⅰ)A 的子集个数为 2 ;
n n

(ⅱ)A 的真子集个数为 2 ? 1 ;
n n

(ⅲ)A 的非空子集个数为 2 ? 1 ;(ⅳ)A 的非空真子集个数为 2 ? 2 . (5)设有限集合 A、B、C, card(A)=n,card(B)=m,m<n,则
n?m (ⅰ) 若 B ? C ? A ,则 C 的个数为 2 ;

n?m ?1; (ⅱ) 若 B ? C ? A ,则 C 的个数为 2

n?m ?1; (ⅲ) 若 B ? C ? A ,则 C 的个数为 2

(ⅳ) 若 B ? C ? A ,则 C 的个数为 2

n?m

?2.

二、基础训练 1.(04 年全国Ⅰ理)设 A、B、I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I ,则下列各式中错误 的是 (A) ( C I A ) ? B ? I (C) A ? ( C I B ) ? ? ( B ) (B) ( C I A ) ? ( C I B ) ? I (D) ( C I A ) ? ( C I B ) ? C I B

2.(05 全国卷Ⅰ)设 I 为全集, S 1、 S 2 、 S 3 是 I 的三个非空子集,且 S 1 ? S 2 ? S 3 ? I ,

则下面论断正确的是(C)
( (A) C I S 1 ? S 2 ? S 3)? ?

( (B) S 1 ? C I S 2 ? C I S 3) ( (D) S 1 ? C I S 2 ? C I S 3)

(C) C I S 1 ? C I S 2 ? C I S 3)? ?

3.(05 湖北卷)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q= { a
? b | a ? P , b ? Q }, 若 P ? { 0 , 2 , 5}, Q ? {1, 2 , 6 } ,则

P+Q 中元素的个数是

( B )

A.9 B.8 C.7 D.6 4.设集合 A 和 B 都是坐标平面上点集{(x,y)︳x∈R,y∈R},映射 f: A→B 把集合 A 中的元 素 (x,y) 映 射 成 集 合 B 中 的 元 素 (x+y,x-y) , 则 在 映 射 f 下 , 象 (2,1) 的 原 象 是 ( ) (A)(3,1) (B) (
3 1 3 1 , ) (C)( , ? ) 2 2 2 2
? x ?? x

(D)(1,3)
x? P x? M

5.(04 年北京理)函数 f ( x ) ? ?

,其中 P、M 为实数集 R 的两个非空子集,又

规定 f(P)={y︱y=f(x),x∈P}, f(M)={y︱y=f(x),x∈M}.给出下列四个判断,其中正确判断 有 ( B ) ①若 P∩M= ? 则 f(P)∩f(M)= ? ②若 P∩M≠ ? 则 f(P)∩f(M)≠ ? ③若 P∪M=R 则 f(P)∪f(M)=R ④若 P∪M≠R 则 f(P)∪f(M)≠R A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2 6.(06 安徽卷)设集合 A ? ? x x ? 2 ? 2 , x ? R ? , B ? ? y | y ? ? x , ? 1 ? x ? 2 ? ,则

CR

?A?

B ? 等于(

) B. ? x x ? R , x ? 0 ? C. ? 0 ? D. ?

A. R

解: A ? [0, 2 ] , B ? [ ? 4 , 0 ] ,所以 C R ? A ? B ? ? C R {0} ,故选 B。 7(06 卷)若 A、B、C 为三个集合, A ? (A) A
? C
B ? B ? C

,则一定有
? C

(B) C

? A

(C) A

(D) A

??

【思路点拨】本题主要考查.集合的并集与交集运算,集合之间关系的理解。 【正确解答】因为 A ? A ? B 且 C ? B ? C A ? B ? C ? B 由题意得 A ? C 所以选 A 【解后反思】对集合的子、交、并、补运算,以及集合之间的关系要牢固掌握。本题考查三 个抽象集合之间的关系,可以考虑借助与文氏图。 8.(06 卷 I)设集合 M ? ? x x ? x ? 0 ? , N ? ? x x ? 2 ? ,则
2

A. M ? N ? ?
2

B. M ? N ? M

C. M ? N ? M

D. M ? N ? R

解: M ? ? x x ? x ? 0 ? = { x | 0 ? x ? 1} , N ? ? x x ? 2 ? = { x | ? 2 ? x ? 2} , ∴ M ? N ? M ,选 B. 9.(06 重庆卷)已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则( uA)∪( uB)= (A){1,6} (B){4,5} (C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7}

解析:已知集合 U ? ?1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ?, A ? ?2 , 4 , 5 , 7 ?, B ? ?3 , 4 , 5 ? ,( uA) ={1,3,6},( uB) ={1, 2,6,7},则( uA)∪( uB)={1,2,3,6,7},选 D. 10. (06 辽宁卷)设集合 A ? {1, 2} ,则满足 A ? B ? {1, 2, 3} 的集合 B 的个数是 (A)1 (B)3 (C)4 (D)8
2

【解析】 A ? {1, 2} , A ? B ? {1, 2, 3} ,则集合 B 中必含有元素 3,即此题可转化为求集合
A ? {1, 2} 的子集个数问题,所以满足题目条件的集合 B 共有 2 ? 4 个。故选择答案 C。

三、例题分析 例 1.已知集合 A= ?x ? y , x ? y , xy ? ,B= ?x ? y , x ? y , 0 ? ,A=B,求 x,y 的值。
2 2 2 2

例 2.已知集使 A= ?y y ? ( a ? a ? 1) y ? a ( a ? 1) ? 0 ? ,
2 2 2

B= ? y y ?
?

?

1 2

x

2

? x?

5

? , 0 ? x ? 3 ? ,A∩B=φ ,求实数 a 的取值范围. 2 ?



3 . 已 知 函 数
2 3 2

y=3x+1

的 定 义 域 为

A= ?3 , b , c , d ? , 值 域 为

B= ? 4 , 7 , a ? 3 a , a ? 5 a ? 2 a ? 2 0 ? 求 a+b+c+d. 课堂练习 1.设集合 M={a,b},则满足 M∪N ? {a,b,c}的集合 N 的个数为 ( ) A.1 B.4 C.7 B 2. S 为全集, ? A ? S , 设 则下列结论中不正确的是 A. C S A ? C S B B. A ? B ? B
2

D.8 ( )

( C. A ? C S B )? ?

( D. C S A )? B ? ? (04 山东)

3. 已知集合 A={x|x -5x+6=0},B={x|mx+1=0},且 A∪B=A, 则实数 m 组成的集合___________. 4.设集合 P={a,b,c,d},Q={A|A P},则集合 Q 的元素个数__________________. 5.定义 A-B={x|x∈A 且 x ? B},若 M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},则 N-M 等于 ( ) A.M B.N C.{1,4,5} D.{6} 五、作业 六、知识扩充: (1) 已知集合 A= x 使 y ? a ax ? x 有意义 、
2

?

?,集合 B= ?y 使 y ? a

ax ? x 有意义
2

?,A=B

是否可能成立?如可能成立,求出使 A=B 的 a 的取值范围,如不可能成立,说明理由.

(2) 、定义域为 ?x x ? R , 且 x ? 0 ? 的奇函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,而 f(1)=0,设

函数 g(x)=sin x+kcosx-2k(x∈[0, 求 M∩N.

2

?
2

])集合 M= ? k 使 g ( x ) ? 0 ? N= ? k 使 f [ g ( x )] ? 0 ? ,





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