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高中数学人教版选修2-1教学设计：§3.1.2 空间向量的数乘运算(二)

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§3.1.2 空间向量的数乘运算（二）
学习目标
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

学习过程
一、课前准备 （预习教材 P86~ P87，找出疑惑之处）
? ? ? ? ? 复习

1 ：什么叫空间向量共线？空间两个向量 a, b ， 若 b 是非零向量，则 a 与 b 平行的充要条件是

??? ? 1 ??? ? 2 ??? ? 复习 2：已知直线 AB，点 O 是直线 AB 外一点，若 OP ? OA ? OB ，试判断 A,B,P 三点是否共线？ 3 3

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：空间向量的共面

??? 问题：空间任意两个向量不共线的两个向量 a,b 有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？

新知：共面向量： 2. 空间向量共面：

同一平面的向量.

? ? ? ? ?? 定理：对空间两个不共线向量 a, b ，向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在 .

， 使得

推论：空间一点 P 与不在同一直线上的三点 A,B,C 共面的充要条件是： ⑴ 存在 ，使 ⑵ 对空间任意一点 O，有

??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ???? 试试：若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满足关系式 OP ? OA ? OB ? OC ,则点 P 与 A,B,C 共面 2 3 6 吗？

??? ? ??? ? ??? ? ???? 反思：若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满足关系式 OP ? xOA ? yOB ? zOC ,且点 P 与 A,B,C 共面， 则x? y?z? .

※ 典型例题 例 1 下列等式中，使 M,A,B,C 四点共面的个数是（ ） ???? ? ??? ? ??? ? ???? ? ① OM ? OA ? OB ? OC; ???? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ???? ? ② OM ? OA ? OB ? OC; 5 3 2 ???? ???? ???? ? ? ③ MA ? MB ? MC ? 0;
???? ? ??? ? ??? ? ???? ? ④ OM ? OA ? OB ? OC ? 0 . A. 1 B. 2 C. 3

D. 4

??? ? 1 ??? ? 7 ??? ? ???? 变式：已知 A,B,C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若向量 OP ? OA ? OB ? ?OC ? ? ? R ? , 5 3 则 P,A,B,C 四点共面的条件是 ? ?

例 2 如图，已知平行四边形 ABCD,过平面 AC 外一点 O 作射线 OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点 OE OF OG OH E,,F,G,H,并且使 ? ? ? ? k, OA OB OC OD 求证：E,F,G,H 四点共面.

变式：已知空间四边形 ABCD 的四个顶点 A,B,C,D 不共面，E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,AD 的中点，求证： E,F,G,H 四点共面.

A

E B

H

F

D G

C

小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且 要注意向量的方向.

※ 动手试试
??? ? 1 ??? ? 2 ??? ? 2 ???? 练 1. 已知 A, B, C 三点不共线， 对平面外任一点， 满足条件 OP ? OA ? OB ? OC ， 试判断： 点 P 与 A, B, C 5 5 5 是否一定共面？

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 练 2. 已知 a ? 3m ? 2n, b ? ( x ? 1)m ? 8n ， a ? 0 ，若 a // b ，求实数 x.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.

※ 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点 都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度” ，空间的平移包含平面的平移.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： ???? ? ???? ? ????? 1. 在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量 D1 A 、 D1C 、 AC 是（ ） 1 1 A. 有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量. ???? ???? ??? ? ???? 2. 正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中， 点 E 是上底面 A ' B ' C ' D ' 的中心， 若 BB' ? xAD ? yAB ? z AA' , 则 x＝ ， y＝ ，z＝ . ??? ? ??? ? ??? ? OA + OB . 3. 若点 P 是线段 AB 的中点，点 O 在直线 AB 外，则 OP ? ???? ? ???? ???? 1 ??? AO . 4. 平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , O 为 A 1 C 与 B 1 D 的交点,则 ( AB ? AD ? AA' ) ? 3 5. 在下列命题中：①若 a、b 共线，则 a、b 所在的直线平行；②若 a、b 所在的直线是异面直线，则 a、b 一

定不共面；③若 a、b、c 三向量两两共面，则 a、b、c 三向量一定也共面；④已知三向量 a、b、c，则空 间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为 （ ）. A．0 B.1 C. 2 D. 3

课后作业：

? ? ? ? ? ? ? ? 1. 若 a ? 3m ? 2n ? 4 p, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp ， ? ? ? ? a ? 0 ，若 a // b ，求实数 x, y .

??? ? ?? ?? ? ???? ?? ?? ? ???? ?? ?? ? ?? ?? ? 2.已知两个非零向量 e1 , e2 不共线, AB ? e1 ? e2 , AC ? 2e1 ? 8e2 , AD ? 3e1 ? 3e2 . 求证： A, B, C , D 共面．



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