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2015高考数学易错点查漏补缺(二)



2015 高考数学易错点查漏补缺(二)
易错点 11 求复合函数单调区间时忽视定义域 【问题】: 求函数 y ? log0.5 (4 ? 3x ? x2 ) 的增区间。
2 错解一:∵外层函数为减函数,内层函数 u ? 4 ? 3x ? x 减区间为 [ , ??) ,∴原函数增区间

3 2

为 [ , ??) 。

剖析:基础不牢,忽视定义域问题
2 2 错解二:∵ 4 ? 3x ? x ? 0 ,函数定义域为 ? ?1, 4? ,又内层函数 u ? 4 ? 3x ? x 在 ( ?1, ] 为

3 2

3 2

增函数,在 [ , ??) 为减函数,∴原函数增区间为 ( ?1, ] 。 剖析:识记不好,对复合函数单调性法则不熟练。 正确答案: [ , 4) 反思:求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域;②作出内层函数的图象;③用“同 增异减”法则写单调区间。解此类题通常会出现以下两类错误:一是忽视定义域;二是 “同 增异减”法则不会或法则用错。 易错点 12 解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论 【问题】: 函数 f ( x) ? (m ?1) x2 ? 2(m ? 1) x ?1 的图象与 x 轴只有一个交点,求实数 m 的取 值范围。 错解:由 ? ? 0 解得 m ? 0或m ? ?3 剖析:知识残缺,分类讨论意识没有,未考虑 m ? 1 ? 0 的情况。 正确答案: ??3,0,1?
2 反思:在二次型函数 y ? ax ? bx? c中,当 a ? 0 时为二次函数,其图象为抛物线;当

3 2

3 2

3 2

a ? 0,b ? 0时为一次函数,其图象为直线。在处理此类问题时,应密切注意 x 2 项的系数是否
为 0,若不能确定,应分类讨论,另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的 对象。例如:

ax2 ? bx ? c ? 0 解集为 R ? a ? 0, ? ? 0或a=b=0,c>0 ax2 ? bx ? c ? 0 解集为 ? ? a ? 0, ? ? 0或a=b=0,c ? 0
易错点 13 用函数图象解题时作图不准 【问题】: 求函数 f ( x) ? x 的图象与直线 f ( x) ? 2 的交点个数。
2 x

错解:两个 剖析:忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响。 正确答案:三个

反思: “数形结合”是重要思想方法之一,以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受 数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质,画准图形,不能主观臆造,导致 图形“失真” ,从而得出错误的答案。 易错点 14 忽视转化的等价性 【问题】1: 已知方程 mx ? 3x ? 1 ? 0 有且只有一个根在区间(0,1)内,求实数 m 的取值
2

范围。 错解:∵方程 mx ? 3x ? 1 ? 0 有且只有一个根在区间(0,1)内,∴函数 y ? mx2 ? 3x ? 1 的
2

图象与 x 轴在(0,1)内有且只有一个交点,∴ f (0) f (1) ? 0 ,解得 m ? 2 剖析:知识残缺,在将方程转化为函数时,应考虑到 f (1) ? 0 的情况。 正确答案: m ? ? ??, 2? 【问题】2:函数 y ? e|ln x| ? | x ? 1 | 的图象大致是( )

剖析:①在转化过程中,去绝对值时出错,从而得到错误的图象。 ②在图象变换过程中出错,搞错平移方向。 正确答案:D 反思:等价转化是数学的重要思想方法之一,处理得当会起到意想不到的效果,但等价转化 的前提是转化的等价性,反之会出现各种离奇的错误。 易错点 15 分段函数问题

?? 2 ? a ? x ? 1 x ? 1 【问题】1:.已知 f ( x) ? ? 是 R 上的增函数,求 a 的取值范围。 ? x x ?1 ? ?a
错解: (1, 2) 剖析:知识残缺,只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数,忽视 f ( x ) 在分界点附近函数 值大小关系。 正确答案: ? , 2)
? 2 【问题】2:设函数 f ( x) ? ? x ? bx ? c, x ? 0, x ? 0, 若f (?4) ? f (0), f ( ?2) ? ?2 ,求关于 x 的方程 x ? 0. ?2,

?3 ?2

f ( x) ? x 解的个数。
错解:两个 剖析:基础不实,分类讨论意识没有,未能将方程

f ( x) ? x 分两种情况来解。

正确答案:三个 反思:与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨 论奇偶性等等。在解决此类问题时,要注意分段函数是一个函数而不是几个函数,如果自变 量取值不能确定,要对自变量取值进行分类讨论,同时还要关注分界点附近函数值变化情况。 易错点 16 函数零点定理使用不当 【问题】若函数 f ( x ) 在区间[-2,2]上的图象是连续不断的曲线,且 f ( x ) 在(-2,2)内有一个零 点,则 f (?2) f (2) 的值 ( ) A 大于 0 B 小于 0 C 等于 0 D 不能确定

错解:由函数零点存在定理知 f (?2) f (2) ? 0 ,故选 B 剖析:没有正确理解函数零点的含义及存在性,若函数 f ( x ) 在(-2,2)内有一个零点,且该 零点为“变号零点” ,则 f (?2) f (2) ? 0 ,否则 f (?2) f (2) ? 0 正确答案:D 反思:函数零点定理是指如果函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的图象是一条连续不断的曲线,并且 有 f (a) f (b) ? 0 ,那么函数 f ( x ) 在区间 ( a, b) 内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理 法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点” ,函数零点定理仅适用 于“变号零点” ,对“不变号零点”无能为力。 易错点 17 混淆两类切线的概念 【问题】: 若直线 y = kx 与曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 2 x 相切试求 k 的值。 (提示 y=kx 即过原 点的切线) 错解:

y? ? 3x2 ? 6x ? 2 ,∴斜率 k ? 2 ,
1 4

剖析:知识残缺,过某点的切线并非在某点处的切线。 正确答案: k ? 2或k ? ?

反思:曲线在点 P 处的切线”P 为切点且 P 在曲线上,而“过点 P 的切线”仅能说明点 P 在曲 线的切线上。 易错点 18 误解“导数为 0”与“有极值”的逻辑关系 【问题】:函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x=1 处有极值 10,求 a , b 的值。
3 2 2

错解:由 f (1) ? 10, f ?(1) ? 0 解得 a ? 4, b ? ?11或a ? ?3, b ? 3

剖析:对“导数为 0”与“有极值”逻辑关系分辨不清,错把 f ( x0 ) 为极值的必要条件当作充 要条件。 正确答案:a=4,b=-11 反思:在使用导数求函数极值时,很容易出现的错误是求出使导函数等于 0 的点,而没 有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断,误以为使导函数等于 0 的点就是函数的极值点。 出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为 0 只是这 个函数在此点取到极值的必要条件,充要条件是 f ?( x0 ) ? 0且f ?( x)在x0 两侧异号。 。 易错点 19 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻 【问题】:若函数 f ( x) ? ax3 ? x 在 R 上为减函数,求实数 a 的取值范围。 错解:由 f ?( x)=3ax2 ?1 ? 0 在 R 上恒成立,∴ ? 错误!未找到引用源。 剖析:概念模糊,错把 f ( x ) 在某个区间上是单调增(减)函数的充分条件当成充要条件。事 实上 a ? 0 时满足题意。 正确答案: a ? 0 反思:一个函数在某个区间上单调增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大 (小)于等于 0,且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为 0。切记导函数在某区间上恒大 (小)于 0 仅为该函数在此区间上单调增(减)的充分条件。 易错点 20 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚 【问题】: 已知函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示,则 y = f(x)的图象最有可能的是 ______.

a?0 ,解得 a ? 0 ?? ? 12a ? 0 ?

错解:选 A, B, D 剖析:概念不清,凭空乱猜,正确解法是由于 f ?(0) ? f ?(2) ? 0 ,且两边值符号相反,故 0 和 2 为极值点;又因为当 x ? 0和x ? 2 时, f ?(x) ? 0 ,当 0 ? x ? 2 时, f ?(x) ? 0 ,所以函 数 f (x) 在 (??,0)和(2,+?)上为增函数,在 (0, 2)上为减函数。 正确答案:C 反思:解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值 为 0;②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减,导函数看正负。



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