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天津市河东区2015届高三一模考试数学文试题(解析版)



2015 年天津市河东区高考数学一模试卷(文科)
一.选择题(本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.每小题给出的四个选项只有一个符合 题目要求.) 1. (5 分) (2015?河东区一模)复数 (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限

为( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【考点】 : 复数代数

形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】 : 先将复数 z 进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理后得 到代数形式,写出复数在复平面上对应的点的坐标,根据坐标的正负得到所在的象限. 【解析】 : 解:∵ = ﹣ i ∴复数在复平面对应的点的坐标是( ,﹣ ) ∴它对应的点在第四象限, 故选 D 【点评】 : 判断复数对应的点所在的位置,只要看出实部和虚部与零的关系即可,把所给的 式子展开变为复数的代数形式,得到实部和虚部的取值范围,得到结果. =

2. (5 分) (2015?河东区一模)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣2y 的最

大值为( ) A. ﹣3 B. 0 C. 1 D. 3 【考点】 : 简单线性规划. 【专题】 : 计算题;不等式的解法及应用. 【分析】 : 作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC 及其内部,再将目标函数 z=x﹣2y 对应的直线进行平移,可得当 x=1,y=0 时,z 取得最大值 1.

【解析】 : 解:作出不等式组

表示的平面区域,

得到如图的△ABC 及其内部,其中 A(﹣1,1) ,B(2,1) ,C(1,0) 设 z=F(x,y)=x﹣2y,将直线 l:z=x﹣2y 进行平移, 当 l 经过点 C 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=F(1,0)=1

故选:C

【点评】 : 本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=x﹣2y 的最大值,着重考查了二元一 次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 3. (5 分) (2015?河东区一模)某程序框图如图所示,则输出的结果 S=( )

A. 26 B. 57 C. 120 D. 247 【考点】 : 程序框图. 【专题】 : 图表型. 【分析】 : 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的 作用是利用循环计算变量 S 的值,并输出 K>4 时,变量 S 的值,模拟程序的运行,用表格 对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到输出结果. 【解析】 : 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 是否继续循环 k S 循环前/1 1 第一圈 是 2 4 第二圈 是 3 11 第三圈 是 4 26 第四圈 是 5 57 第五圈 否 故选 B.

【点评】 : 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其 处理方法是: :①分析流程图(或伪代码) ,从流程图 (或伪代码) 中即要分析出计算的类型, 又要分析出参与计算的数据 (如果参与运算的数据比较多, 也可使用表格对数据进行分析管 理)?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模. 4. (5 分) (2015?河东区一模)函数 f(x)=|x﹣2|﹣lnx 在定义域内零点的个数为( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 )

【考点】 : 函数的零点;对数函数的单调性与特殊点. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 先求出函数的定义域,再把函数转化为对应的方程,在坐标系中画出两个函数 y1=|x﹣2|,y2=lnx(x>0)的图象求出方程的根的个数,即为函数零点的个数. 【解析】 : 解:由题意,函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ; 由函数零点的定义,f(x)在(0,+∞)内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx=0 的根. 令 y1=|x﹣2|,y2=lnx(x>0) ,在一个坐标系中画出两个函数的图象: 由图得,两个函数图象有两个交点, 故方程有两个根,即对应函数有两个零点. 故选 C.

【点评】 : 本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系,通过转化和作图求 出函数零点的个数. 5. (5 分) (2015?河东区一模)下列说法正确的是个数为( ①a=1 是直线 x﹣ay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直的充要条件 )

②直线 x=

是函数

的图象的一条对称轴
2 2

③已知直线 l:x+y+2=0 与圆 C: (x﹣1) +(y+1) =2,则圆心 C 到直线 l 的距离是 2 2 2 ④若命题 P:“存在 x0∈R,x0 ﹣x0﹣1>0”,则命题 P 的否定:“任意 x∈R,x ﹣x﹣1≤0” A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【考点】 : 命题的真假判断与应用. 【专题】 : 简易逻辑. 【分析】 : ①a=±1 是直线 x﹣ay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直的充要条件,即可判断出正误; ②根据 =0≠±1,即可判断出正误;

③利用点到直线的距离公式公式计算出距离,即可判断出正误; ④利用命题的否定,即可判断出正误. 【解析】 : 解: ①a=±1 是直线 x﹣ay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直的充要条件, 因此是假命题; ②∵ 一条对称轴,是假命题; ③圆心 C(﹣1,1)到直线 l 的距离=
2

=0≠±1,因此直线 x=

不是函数

的图象的

=

,因此是假命题;
2

④若命题 P:“存在 x0∈R,x0 ﹣x0﹣1>0”,则命题 P 的否定:“任意 x∈R,x ﹣x﹣1≤0”,是 真命题. 因此只有:④正确. 故选:A. 【点评】 : 本题考查了简易逻辑的判定方法、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数的 图象与性质、 点到直线的距离公式、 命题的否定, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.

6. (5 分) (2015?河东区一模)已知双曲线 顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于( A. B. C. D. 1

=1 的渐近线方程为 y=± )

x,则以它的

【考点】 : 双曲线的简单性质. 【专题】 : 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 根据双曲线的渐近线方程为 y=± x,算出 b= 为 到本题答案. 【解析】 : 解:∵双曲线的方程是

,c=2a.设所求椭圆的方程

,则可得 a1=c=2a 且椭圆的半焦距 c1=a,由此结合椭圆的离心率公式即可得

=1,∴它的渐近线方程为

由此可得 =

,可得 b=

,c=

=2a

设所求椭圆的方程为

(a1>b1>0)

∵椭圆的顶点为双曲线的焦点,焦点为双曲线的顶点 ∴a1=c=2a,且椭圆的半焦距 c1=a 因此,该椭圆的离心率 e= = =

故选: 【点评】 : 本题给出双曲线的渐近线方程,求与双曲线顶点焦点互换的椭圆的离心率,着重 考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题. 7. (5 分) (2015?河东区一模)在 R 上定义运算⊕:x?y=x(1﹣y)若对任意 x>2,不等 式(x﹣a)?x≤a+2 都成立,则实数 a 的取值范围是( ) A. [﹣1,7] B. (﹣∞,3] C. (﹣∞,7] D. (﹣∞,﹣1]∪[7,+∞) 【考点】 : 其他不等式的解法. 【专题】 : 压轴题;新定义;不等式的解法及应用. 【分析】 : 由 x?y=x(1﹣y) ,把(x﹣a)?x≤a+2 转化为(x﹣a) (1﹣x)≤a+2,由任意 x >2,不等式(x﹣a)?x≤a+2 都成立,知 a≤ (x)]min,x<2.由此能求出结果. 【解析】 : 解:∵x?y=x(1﹣y) , ∴(x﹣a)?x≤a+2 转化为(x﹣a) (1﹣x)≤a+2, 2 ∴﹣x +x+ax﹣a≤a+2, 2 a(x﹣2)≤x ﹣x+2, ∵任意 x>2,不等式(x﹣a)?x≤a+2 都成立, ∴a≤ . .令 f(x)= ,x>2,则 a≤[f

令 f(x)=

,x>2,

则 a≤[f(x)]min,x>2 而 f(x)= =(x﹣2)+ +3 =

≥2

+3=7,

当且仅当 x=4 时,取最小值. ∴a≤7. 故选:C. 【点评】 : 本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用.关于新定义型的题,关键是理 解定义,并会用定义来解题. 8. (5 分) (2015?河东区一模)若直角坐标平面内 A、B 两点满足条件:①点 A、B 都在 f (x)的图象上;②点 A、B 关于原点对称,则对称点对(A,B)是函数的一个“姊妹点对”

(点对(A,B)与(B,A)可看作同一个“姊妹点对”) .已知函数 f(x)=



则 f(x)的“姊妹点对”有( )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【考点】 : 函数的值. 【专题】 : 压轴题;新定义. 【分析】 : 首先弄清关于原点对称的点的特点,进而把问题转化为求方程 的根的个数,再转化为求函数 φ(x)=2e +x +2x 零点的个数即可. 【解析】 : 解:设 P(x,y) (x<0) ,则点 P 关于原点的对称点为 P (﹣x,﹣y) , 于是
x 2 ′ x 2

,化为 2e +x +2x=0,

x

2

令 φ(x)=2e +x +2x,下面证明方程 φ(x)=0 有两解. 由 x +2x≤0,解得﹣2≤x≤0,而
′ x 2

>0(x≥0) ,∴只要考虑 x∈[﹣2,0]即可.

求导 φ (x)=2e +2x+2, x ′ x 令 g(x)=2e +2x+2,则 g (x)=2e +2>0, ′ ∴φ (x)在区间[﹣2,0]上单调递增, ﹣2 ﹣1 ′ ′ 而 φ (﹣2)=2e ﹣4+2<0,φ (﹣1)=2e >0, ∴φ(x)在区间(﹣2,0)上只存在一个极值点 x0. ﹣2 ﹣1 而 φ(﹣2)=2e >0,φ(﹣1)=2e ﹣1<0,φ(0)=2>0, ∴函数 φ(x)在区间(﹣2,﹣1) , (﹣1,0)分别各有一个零点. 也就是说 f(x)的“姊妹点对”有两个. 故选 B. 【点评】 : 本题考查了函数的零点, 善于转化及熟练利用导数判断方程的根的个数是解决问 题的关键. 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡横线上.) 9. (5 分) (2015?河东区一模)某体校有男运动员 56 人,女运动员 42 人,用分层抽样的方 法从全体运动员中抽出一个容量为 28 的 样本进行体能测试,则女运动员应抽出 12 人.

【考点】 : 分层抽样方法. 【分析】 : 先求得抽样比例,再用女运动员总数乘以这个比例,即得到样本中女运动员的人 数. 【解析】 : 解: ,∴女运动员应抽出 42× =12 人

故答案是 12 【点评】 : 本题主要考查分层抽样方法. 10. (5 分) (2015?河东区一模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 108+3π .

【考点】 : 由三视图求面积、体积. 【专题】 : 空间位置关系与距离. 【分析】 : 由题意三视图可知,几何体是由 1 个圆柱体和 2 个长方体组成的几何体,利用三 视图的数据,求出几何体的体积即可. 【解析】 : 解:由题意可知几何体是由 1 个圆柱体和 2 个长方体组成的几何体. 其中,圆柱体底面半径为 1,高为 3 的圆柱与 2 个长方体的长宽高分别为 1.5,6,6, 2 所以几何体的体积为 V=1 π×3+2×1.5×6×6=108+3π. 故答案为:108+3π. 【点评】 : 本题考查三视图与几何体的关系,考查空间想象能力与计算能力. 11. (5 分) (2015?河东区一模)如图,AB 是圆 O 的直径,直线 CE 和圆 O 相切于点于 C, AD⊥CE 于 D,若 AD=1,∠ABC=30°,则圆 O 的面积是 4π .

【考点】 : 圆的切线的性质定理的证明. 【专题】 : 计算题.

【分析】 : 在圆中线段利用解直角三角形求得 AC、AB,进而利用圆的半径,结合面积公式 求得圆 O 的面积即可. 【解析】 : 解:∵CD 是圆 O 的切线,∴∠ABC=∠ACD=30°, ∴在直角三角形 ACD 中,AD=1,∴AC=2, ∴在直角三角形 ABC 中,AC=2,∴AB=4, ∴圆的半径是 2,从而圆的面积是 4π. 故填:4π. 【点评】 : 此题考查的是直角三角形的性质、与圆有关的比例线段以及面积公式,属于基础 题. 12. (5 分) (2015?河东区一模)函数 y=a 线 mx+ny﹣1=0(mn>0)上,则
1﹣x

(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直

的最小值为 4 .

【考点】 : 基本不等式;指数函数的图像与性质. 【专题】 : 计算题;压轴题;转化思想. 【分析】 : 最值问题长利用均值不等式求解, 适时应用“1”的代换是解本题的关键. 函数 y=a ﹣x (a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,知 A(1,1) ,点 A 在直线 mx+ny﹣1=0 上,得 m+n=1 又 mn>0,∴m>0,n>0,下用 1 的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值. 【解析】 : 解:由已知定点 A 坐标为(1,1) ,由点 A 在直线 mx+ny﹣1=0 上, ∴m+n=1, 又 mn>0,∴m>0,n>0, ∴ =( ) (m+n)= =2+ + ≥2+2? =4,
1

当且仅当两数相等时取等号. 故答案为 4. . 【点评】 : 均值不等式是不等式问题中的确重要公式,应用十分广泛.在应用过程中,学生 常忽视“等号成立条件”,特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握.当均值 不等式中等号不成立时,常利用函数单调性求最值.也可将已知条件适当变形,再利用均值 不等式,使得等号成立.有时也可利用柯西不等式以确保等号成立,取得最值. 13. (5 分) (2015?河东区一模) 已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时, f (x) =x +2x, 2 若 f(2﹣a )>f(a) ,则实数 a 的取值范围是 (﹣2,1) . 【考点】 : 函数奇偶性的性质;函数单调性的性质. 【专题】 : 函数的性质及应用. 2 2 【分析】 : 题意可先判断出 f(x)=x +2x=(x+1) ﹣1 在(0,+∞)上单调递增,根据奇 2 函数的对称区间上的单调性可知,f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,从而可比较 2﹣a 与 a 的大小,解不等式可求 a 的范围. 2 2 【解析】 : 解:∵f(x)=x +2x=(x+1) ﹣1 在(0,+∞)上单调递增, 又∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, 根据奇函数的对称区间上的单调性可知,f(x)在(﹣∞,0)上单调递增, ∴f(x)在 R 上单调递增. 2 ∵f(2﹣a )>f(a) ,
2

∴2﹣a >a, 解不等式可得,﹣2<a<1, 故答案为: (﹣2,1) . 【点评】 : 本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同 (偶函数对称区间上的单调性 相反)的性质的应用, 一元二次不等式的求解,属于基础试题. 14. (5 分) (2007?天津)如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D 是边 BC 上

2

一点,DC=2BD,则

?

=



【考点】 : 平面向量数量积的运算. 【专题】 : 压轴题. 【分析】 : 法一:选定基向量 积运算,求出 的值. , , 将两向量 ,用基向量表示出来,再进行数量

法二:由余弦定理得可得分别求得 又 夹角大小为∠ADB,



所以

= ,

. ,由图及题意得 ,

【解析】 : 解:法一:选定基向量 = ∴ = 法二:由题意可得 =( + ) ( =

) =

BC =AB +AC ﹣2AB?ACcosA=4+1+2=7, ∴BC= , ∴cosB= = =

2

2

2

AD=

=









=



故答案为:﹣ . 【点评】 : 本题主要考查余弦定理和向量数量积的应用. 向量和三角函数的综合题是高考热 点,要给予重视. 三、解答题: (本大题 6 个题,共 80 分) 15. (13 分) (2015?河东区一模)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2, 3;蓝色卡片两张,标号分别为 1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率; (2)现往袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片 颜色不同且标号之和不大于 4 的概率. 【考点】 : 古典概型及其概率计算公式. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : (I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况,用列举法求得有 10 种情况,其中 两张卡片的颜色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况,从而求得所求事件的概率. (II)所有的抽法共有 =15 种,其中颜色不同且标号之和不大于 4 的有 10 种情况,由此

求得所求事件的概率. 【解析】 : 解: (I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种:红 1 红 2,红 1 红 3,红 1 蓝 1, 红 1 蓝 2,红 2 红 3,红 2 蓝 1,红 2 蓝 2,红 3 蓝 1,红 3 蓝 2,蓝 1 蓝 2. 其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况, 故所求的概率为 .

(II)加入一张标号为 0 的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的 10 种情况外, 多出 5 种情况:红 1 绿 0,红 2 绿 0,红 3 绿 0,蓝 1 绿 0,蓝 2 绿 0,即共有 15 种情况, 其中颜色不同且标号之和不大于 4 的有 10 种情况,所以概率为 .

【点评】 : 本题考查古典概型问题,可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件,应 用 列举法来解题是这一部分的最主要思想,属于基础题. 16. (13 分) (2015?河东区一模)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)设 x∈[﹣ , (sin x﹣cos x)+2sinxcosx.
2 2

],求 f(x)的值域和单调递增区间.

【考点】 : 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 【专题】 : 三角函数的图像与性质. 【分析】 : (Ⅰ)根据二倍角公式和和差角公式(辅助角公式) ,化简函数解析式为正弦型 函数的形式,进而结合 ω=2,可得 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)当 x∈[﹣ 的值域,由 区间. 【解析】 : 解: (Ⅰ)∵ = …(3 分) , ∴ω=2, ∴f(x)的最小正周期为 π. (Ⅱ)∵ ∴ ∴ ∴f(x)的值域为 当 递增时, , 即 . . …(12 分) , . . …(8 分) , , ]时, 递增时, ,结合正弦函数的图象和性质可得 f(x) ,可得 f(x)的单调递增

…(5 分)

故 f(x)的递增区间为

【点评】 : 本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换,三角函数的周期性及单调性,熟练 掌握三角函数的图象和性质是解答的关键. 17. (13 分) (2015?河东区一模) 如图, 在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AC=3, BC=4, AB=5, AA1=4,点 D 是 AB 的中点, (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1; (3)求二面角 B﹣CD﹣B1 正切值的大小.

【考点】 : 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【专题】 : 空间位置关系与距离. 【分析】 : (1)由已知得 AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC,由此能证明 AC ⊥BC1. (2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE,由已知得 DE∥AC1,由此能证明 AC1∥平面 CDB1. (3)以 C 为原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角 B﹣CD﹣B1 正切值. 【解析】 : (1)证明:直三棱柱 ABC﹣A1B1C1, 底面三边长 BC=3,BA=4,AB=5, ∴AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC, ∴AC⊥BC1. (2)证明:设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE, ∵D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点, ∴DE∥AC1, ∵DE?平面 CDB1,AC1 不包含平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1. (3)解:以 C 为原点,建立空间直角坐标系, B(0,4,0) ,C(0,0,0) ,A(3,0,0) , D( ,2,0) ,B1(0,4,4) , =( ,2,0) , 设平 CDB1 的法向量 =(0,4,4) , ,





取 x=4,得 =(4,﹣3,3) , 又平面 CBD 的法向量 =(0,0,1) , 设二面角 B﹣CD﹣B1 的平面角为 θ,

cosθ=|cos< ∴tanθ= .

>|=|

|=



∴二面角 B﹣CD﹣B1 正切值为 .

【点评】 : 本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面平行的证明,考查二面角的正切 值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 18. (13 分) (2015?河东区一模)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项的和为 Sn,且对任 2 ? 意的 n∈N ,都有 2Sn=an +an (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足 b1=1,2bn+1﹣bn=0, (n∈N?) .若 cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【考点】 : 数列递推式;数列的求和. 【专题】 : 点列、递归数列与数学归纳法. 【分析】 : (1)当 n=1 时,得 a1=1;当 n≥2 时,由 2an=2Sn﹣2Sn﹣1,得 an﹣an﹣1=1,从而 可得结论; (2)将 2bn+1﹣bn=0 变形可得 bn 为等比数列,由 Tn 及 前 n 项和的公式即得结论. 【解析】 : 解: (1)当 n=1 时,由 2a1=2S1= 当 n≥2 时,由 2an=2Sn﹣2Sn﹣1=( 得(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣1)=0, 因为 an+an﹣1>0,所以 an﹣an﹣1=1, 故 an=1+(n﹣1)×1=n; (2)由 b1=1, ,得 bn= ,则 cn=n , +an)﹣( ,a1>0,得 a1=1, ) , 的表达式相减,结合等比数列的

因为 Tn= 所以 两式相减,得

, ,

=



=2﹣(n+2)

, .

所以 Tn=4﹣(n+2)

【点评】 : 本题考查数列的通项公式及前 n 项和的求法, 注意解题方法的积累, 属于中档题.

19. (14 分) (2010?山东)已知函数 (Ⅰ)当 a=﹣1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)当 时,讨论 f(x)的单调性.



【考点】 : 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【专题】 : 导数的综合应用. 【分析】 : (Ⅰ)欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在 x=2 处的 导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. (Ⅱ)利用导数来讨论函数的单调性即可,具体的步骤是: (1)确定 f(x)的定义域; (2) 求导数 fˊ(x) ; (3)在函数的定义域内解不等式 fˊ(x)>0 和 fˊ(x)<0; (4)确定函 数的单调区间.若在函数式中含字母系数,往往要分类讨论. 【解析】 : 解: (Ⅰ)当 a=﹣1 时,f(x)=lnx+x+ ﹣1,x∈(0,+∞) , 所以 f′(x)= +1﹣ ,因此,f′(2)=1,

即曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线斜率为 1, 又 f(2)=ln2+2,y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y﹣(ln2+2)=x﹣2, 所以曲线,即 x﹣y+ln2=0; (Ⅱ)因为 ,

所以
2

=

,x∈(0,+∞) ,

令 g(x)=ax ﹣x+1﹣a,x∈(0,+∞) , (1)当 a=0 时,g(x)=﹣x+1,x∈(0,+∞) , 所以,当 x∈(0,1)时,g(x)>0,

此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; (2)当 a≠0 时,由 g(x)=0, 即 ax ﹣x+1﹣a=0,解得 x1=1,x2= ﹣1. ①当 a= 时,x1=x2,g(x)≥0 恒成立, 此时 f′(x)≤0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减; ②当 0<a< 时, x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减, x∈(1, ﹣1)时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增, x∈( ﹣1,+∞)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; ③当 a<0 时,由于 ﹣1<0, x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0 函数 f(x)单调递减; x∈(1,+∞)时,g(x)<0 此时函数 f′(x)>0 函数 f(x)单调递增. 综上所述: 当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减; 函数 f(x)在(1,+∞)上单调递增 当 a= 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减 当 0<a< 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减; 函数 f(x)在(1, ﹣1)上单调递增; 函数 f(x)在( ﹣1,+∞)上单调递减. 【点评】 : 本小题主要考查导数的概念、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义和利 用导数研究函数性质的能力,考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.
2

20. (14 分) (2015?河东区一模)设 F1,F2 分别是椭圆

=1(a>b>0)的左、右焦点,

P 为椭圆上的任意一点,满足|PF1|+|PF2|=8,△PF1F2 的周长为 12. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 ? 的最大值和最小值;

(Ⅲ)已知点 A(8,0) ,B(2,0) ,是否存在过点 A 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C, D,使得|BC|=|BD|?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 【考点】 : 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】 : 综合题.

【分析】 : (1)利用|PF1|+|PF2|=8,△PF1F2 的周长为 12,可得 2a=8,2a+2c=12,从而可求 椭圆的方程; (2)由(1)知 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,设 P(x,y) ,则 (2﹣x,﹣y)=x +y ﹣4= 的最大值和最小值;
2 2 2

=(﹣2﹣x,﹣y)?

,根据 x∈[﹣4,4],可得 x ∈[0,16],从而可求

(3)直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣8) ,与椭圆方程联立



消元得一元二次方程,从而可求 CD 的中点的坐标,利用|BC|=|BD|,可得 BT⊥CD,从而可 建立方程,故可解. 2 2 2 【解析】 : 解: (1)由题设,2a=8,2a+2c=12,∴a=4,c=2,∴b =a ﹣c =12,∴椭圆的方 程为 ; =(﹣2﹣x,﹣y)?

(2)由(1)知 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,设 P(x,y) ,则 (2﹣x,﹣y)=x +y ﹣4= ∵x∈[﹣4,4],∴x ∈[0,16],∴ 当且仅当点 P 为短轴端点时,
2 2 2

有最小值 8;点 P 为长轴端点时,

有最

大值 12. (3)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 与椭圆无交点,所以直线 l 的斜率存在,不妨设为 k, 则直线 l 的方程为 y=k(x﹣8)
2 2 2 2

由方程组

,消元得(4k +3)x ﹣64k x+16(16k ﹣3)=0

∵过点 A 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C,D, 2 4 2 2 ∴△=64 k ﹣64(4k +3) (16k ﹣3)>0 ∴ 设交点 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,CD 的中点为 T(x0,y0) ∴x1+x2= , ,

∴T(



∵|BC|=|BD|,∴BT⊥CD





,方程无解

∴不存在过点 A 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C,D,使得|BC|=|BD|. 【点评】 : 本题考查椭圆的标准方程,考查向量知识的运用,考查直线与椭圆的位置关系, 考查探究性问题,通常假设存在,从而问题得解.



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