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第3章 第7节 正弦定理和余弦定理



2009~2013 年高考真题备选题库 第 3 章 三角函数、解三角形 第 7 节 正弦定理和余弦定理
考点 正、余弦定理及其应用
)

π 1.(2013 天津,5 分)在△ABC 中,∠ABC= ,AB= 2,BC=3,则 sin ∠BAC=( 4 A. 10 10 B. D. 10 5 5 5

3 10 C. 10

解析: 本题考查三角形中余弦定理、 正弦定理的应用, 意在考查考生分析问题的能力. 由 余弦定理可得 AC2=9+2-2×3× 2× 2 3× 2 3 10 BC· sin B 所以 sin A= = = . AC 10 5 答案:C 2.(2013 湖南,5 分)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B= 3 b,则角 A 等于( π A. 3 π C. 6 ) π B. 4 π D. 12 2 AC BC =5,所以 AC= 5.再由正弦定理得 = , 2 sin B sin A

解析:本题主要考查锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程,意在考查考生的转化 能力与三角变换能力.由正弦定理可得,2asin B= 3b 可化为 2sin Asin B= 3sin B,又 sin B≠0,所以 sin A= 答案:A 3.(2013 陕西,5 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ ccos B=a sinA,则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 ) B.直角三角形 D.不确定 3 π ,又△ABC 为锐角三角形,得 A= . 2 3

解析:本题考查正弦定理和两角和的正弦公式的逆用.依据题设条件的特点,由正弦定 理,得 sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A,有 sin(B+C)=sin2A,从而 sin(B+C)=sin A=sin2A,

1

π 解得 sin A=1,∴A= ,故选 B. 2 答案:B 4.(2013 安徽,5 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a, 3sin A=5sin B,则角 C=________. 解析:本题考查正弦定理和余弦定理的应用.由 3sin A=5sin B 可得 3a=5b,又 b+c a2+b2-c2 ?5t?2+?3t?2-?7t?2 =2a,所以可令 a=5t(t>0),则 b=3t,c=7t,可得 cos C= = = 2ab 2×5t×3t 1 2π - ,故 C= . 2 3 2π 答案: 3 5.(2013 福建,4 分)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上, 2 2 AD⊥AC, sin∠BAC= , AB=3 2, AD=3, 则 BD 的长为________. 3 解析:本题考查诱导公式、余弦定理等基础知识,意在考查考生的转化和化归能力、运 算求解能力. 2 2 因为 sin∠BAC= ,且 AD⊥AC, 3 π 2 2 2 2 +∠BAD?= 所以 sin? ,所以 cos ∠ BAD = ,在△BAD 中,由余弦定理得, ?2 ? 3 3 BD= AB2+AD2-2AB· ADcos∠BAD = 2 2 ?3 2?2+32-2×3 2×3× = 3. 3

答案: 3 1 6.(2013 浙江,4 分)在△ABC 中,∠C=90° ,M 是 BC 的中点,若 sin∠BAM= ,则 3 sin∠BAC=________. 解析:本题考查正弦定理、三角函数定义、诱导公式以及利用相关定理解决与几何计算 BM AB 有关的问题.考查考生灵活利用公式的能力.△ABM 中,由正弦定理 = sin∠BAM sin∠BMA =
2 2 AB 3 c a +4b a2 2 a 6 ,所以 a= ,整理得(3a2-2c2)2=0 , 2 = ,故 sin∠BAC= = . 2 2b c 3 c 3 cos∠MAC

答案:

6 3

7.(2013 新课标全国Ⅰ,12 分)如图,在△ABC 中,∠ABC=90° ,AB = 3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90° .

2

1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 (2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA. 解:本题主要考查两角差的正弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理等知识,意在考 查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力. 1 (1)由已知得,∠PBC=60° ,所以∠PBA=30° .在△PBA 中,由余弦定理得 PA2=3+ - 4 1 7 7 2× 3× cos30° = .故 PA= . 2 4 2 (2)设∠PBA=α,由已知得 PB=sin α. 3 sin α 在△PBA 中,由正弦定理得 = , sin 150° sin ?30° -α? 化简得 3cos α=4sin α. 所以 tan α= 3 3 ,即 tan∠PBA= . 4 4

8.(2013 江西,12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos C +(cos A- 3sin A)cos B=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围. 解:本题主要考查三角变换与解三角形知识,意在考查考生综合运用知识的能力. (1)由已知得-cos(A+B)+cos A cos B- 3 sin Acos B=0, 即有 sin Asin B- 3 sin Acos B=0, 因为 sin A≠0,所以 sin B- 3 cos B=0,又 cos B≠0,所以 tan B= π 所以 B= . 3 (2)由余弦定理,有 b2=a2+c2-2accos B. 1 1 1 a- ?2+ . 因为 a+c=1,cos B= ,所以 b2=3? ? 2? 4 2 1 1 又 0<a<1,于是有 ≤b2<1,即有 ≤b<1. 4 2 9.(2012 天津,5 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b= 5c,C=2B,则 cos C=( 7 A. 25 7 C.± 25 ) 7 B.- 25 24 D. 25 3,又 0<B<π,

sin C 解析: 由 C=2B 得 sin C=sin 2B=2sin Bcos B, 由正弦定理及 8b=5c 得 cos B= = 2 sin B

3

c 4 4 7 = ,所以 cos C=cos 2B=2cos2 B-1=2×( )2-1= . 2b 5 5 25 答案:A 10.(2011 辽宁,5 分)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB b +bcos2A= 2a,则 =( a A.2 3 C. 3 ) B.2 2 D. 2

解析:由正弦定理,得 sin2AsinB+sinBcos2A= 2sinA,即 sinB· (sin2A+cos2A)= 2sinA, b sinB 所以 sinB= 2sinA.∴ = = 2. a sinA 答案:D 11. (2010 湖南, 5 分)在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c.若∠C=120° , c= 2a,则( A.a>b C.a=b ) B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

解析:法一:由余弦定理得 2a2=a2+b2-2abcos120° ,b2+ab-a2=0, b b 即( )2+ -1=0, a a b -1+ 5 = <1, a 2 故 b<a. 法二:由余弦定理得 2a2=a2+b2-2abcos120° , a2 b2+ab-a2=0,b= , a+b 由 a<a+b 得,b<a. 答案:A 12.(2011 新课标全国,5 分)在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为 ____. AB AC BC AC 3 解析:在△ABC 中,根据 = = ,得 AB= · sinC= sinC=2sinC,同理 sinC sinB sinA sinB 3 2 2 BC=2sinA,因此 AB+2BC=2sinC+4sinA=2sinC+4sin( π-C)=4sinC+2 3cosC=2 7 3 sin(C+φ)(tanφ= 答案:2 7 3 ),因此 AB+2BC 的最大值为 2 7. 2

4

π 13.(2011 北京,5 分)在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,tanA=2,则 sinA=____; 4 a=____. sinA 解析:因为△ABC 中,tanA=2,所以 A 是锐角,且 =2,sin2A+cos2A=1,联立解 cosA 2 5 a b 得 sinA= ,再由正弦定理得 = ,代入数据解得 a=2 10. 5 sinA sinB 2 5 答案: 5 2 10

b a 14.(2010 江苏,5 分)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 + = a b tanC tanC 6cosC,则 + 的值是________. tanA tanB 1 解析:取 a=b=1,则 cosC= , 3 4 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC= , 3 2 3 ∴c= , 3 在如图所示的等腰三角形 ABC 中, 可得 tanA=tanB= 2, 2 2 又 sinC= ,tanC=2 2, 3 ∴ tanC tanC + =4. tanA tanB

a2+b2 a2+b2-c2 b a 3 另解:由 + =6cosC 得, =6· ,即 a2+b2= c2, a b ab 2ab 2 ∴ tanC tanC cosA cosB sin2C 2c2 + =tanC( + )= = 2 2 2=4. tanA tanB sinA sinB cosCsinAsinB a +b -c

答案:4 15.(2012 新课标全国,12 分)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, acos C+ 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 解:(1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为 B=π-A-C,所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.

5

π 1 由于 sin C≠0,所以 sin(A- )= . 6 2 π 又 0<A<π,故 A= . 3 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3,故 bc=4. 2 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2. 16.(2012 浙江,14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cos A 2 = ,sin B= 5cos C. 3 (1)求 tan C 的值; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积. 2 5 解:(1)因为 0<A<π,cos A= ,得 sin A= 1-cos2A= . 3 3 又 5cos C=sin B=sin (A+C) =sin Acos C+cos Asin C = 5 2 cos C+ sin C. 3 3

所以 tan C= 5. (2)由 tan C= 5,得 sin C= 于是 sin B= 5cos C= 5 . 6 5 1 ,cos C= . 6 6

a c 由 a= 2及正弦定理 = ,得 c= 3. sin A sin C 1 5 设△ABC 的面积为 S,则 S= acsin B= . 2 2 17.(2010 辽宁,12 分) (本小题满分 12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求 A 的大小; (2)求 sinB+sinC 的最大值. 解:(1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a2=b2+c2+bc. b2+c2-a2 由余弦定理得 cosA= , 2bc 1 故 cosA=- ,A=120° . 2

6

(2)由(1)得:sinB+sinC=sinB+sin(60° -B) = 3 1 cosB+ sinB 2 2

=sin(60° +B). 故当 B=30° 时,sinB+sinC 取得最大值 1.

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