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高二年级数学试题(理科)



邢台一中 2015-2016 学年下学期第二次月考

高二年级数学试题(理科)
命题人:刘聚林 李芳 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且只有 1.在对两个变量 x, y 进行线性回归分析时有下列步骤: ①对所求出的回归直线方程作出解释;②收集数据 ( xi , yi ), i ? 1, 2,

?, n ;③求线性回归方程; ④求相关系数;⑤根据所搜集的数据绘制散点图. 若根据可靠性要求能够作出变量 x, y 具有线性相关结论,则下列操作顺序正确的是( A.①②⑤③④ B.③②④⑤① C.②④③①⑤ D.②⑤④③① )

2.某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为

f ( x) ?

1 2? ?10

e

?

( x ?80)2 200

( x ? R) ,则下列命题中不正确的是(

)

A.该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B.分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 C.分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 D.该市这次考试的数学成绩的标准差为 10 3. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?
? ? x ? 2 ? 2 cos ? ? ?y ? 2 sin ? (? 为参数) ,则曲线 C(



A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 y ? x 对称 4. 从 5 名女教师和 3 名男教师中选出一位主考、 两位监考参加 2016 年高考某考场的监考工作. 要 求主考固定在考场前方监考,一女教师在考场内流动监考,另一位教师固定在考场后方监考, 则不同的安排方案种数为( A.105 B.210 ) C.240 D.630 )

5. 抛掷红、 蓝两颗骰子, 若已知蓝骰子点数为 3 或 6 时, 则两颗骰子点数之和大于 8 的概率为( A. 1 3 1 B. 2 C. 5 36 5 D. 12

6.某城市有 3 个演习点同时进行消防演习,现将 5 个消防队分配到这 3 个演习点,若每个演习点 至少安排 1 个消防队,则不同的分配方案种数为( ).
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A.150

B.240

C.360

D.540

7.设随机变量 ? 的概率分布列如表所示:其中 a , b , c 成等差数列,
4 若随机变量 ? 的的均值为 ,则 ? 的方差为( 3

). D.
7 8

x
P(? ? x)

0

1

2

A.

1 8

B.

3 8

C.

5 9

a

b

c

8.一张银行储蓄卡的密码由 6 位数字组成,某人在自动取款机中取款时,忘记了最后一位密码, 只记得最后一位是奇数,则他不超过两次就按对密码的概率是 A.
1 5

B.

2 5

C.

1 10

D.

1 2

9.若 (2 ? 3x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 等于( A . 55 B.-l C. 2
5



D. ? 2

5

10.在《爸爸去哪 儿》第二季第四期中,村长给 6 位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已 知:①食物投掷地点有远、近两处;②由于 Grace 年纪尚小,所以要么不参与该项任务,但此 时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;③所有参与搜寻任务的小孩 须被均分成两组,一组去远处,一组去近处.则不同的搜寻方案有( A.40 种 B.70 种 C.80 种 )

D.100 种

11.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 6 个面的中心分别为 E , F , G, H , I , J ,甲从这 6 个点中任选两个点 连成直线,乙也从这 6 个点中任选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行的概率为( A. 1 75 B. 2 75 C. 3 75 4 D. 75 )

12. 已知函数 f ? x ? ? ? 根的个数是( A、 8 )

?
2x

, g ? x ? ? x ? cos x ? sin x ,当 x ?? ?3? ,3? ? 时,方程 f ? x ? ? g ? x ?

B、 6

C、 4

D、 2

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上
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13、 ( x2 ? x ? 1)(1 ? x)4 展开式中 x 项的系数为___________;
2

? 14.若直线 l 的极坐标方程是 ? cos(? ? ) ? 2 2 ,圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4sin ? .则 l 与 C 交点
4

的极坐标为___________; 15.某校教师趣味投篮比赛的规则是: 每场投 6 个球, 至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进者获奖;
2 否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是 , 教师甲在一场比赛中获奖的概率为______ 3

16.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1、2、?、9 的 9 个小正方形,使得 任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为 1、5、9 的小正 方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法有 种.

1 4 7

2 5 8

3 6 9

三.解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分)
? 2 t ?x ? m ? ? 2 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 2 ? y? t ? ? 2

极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ? cos
2

2

且曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上. ? ? 3? 2 sin 2 ? ? 12 ,

(1)若直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,求 | FA | ? | FB | 的值; (2)求曲线 C 的内接矩形周长的最大值. 18. (本小题满分 12 分) 有 2 名老师,3 名男生,3 名女生站成一排照相留念,在下列情况中,各有多少种不同站法? ( 1)3 名男生必须站在一起; 19. (本小题满分 12 分) 已知一个袋子中有 2 个白球和 4 个红球,这些球除颜色外完全相同. (1)每次从袋中取出一个球,取出后不放回,直到取到一个红球为止,求取球次数 ? 的分布列 和数学期望 E (? ) ; (2)每次从袋中取出一个球,取出后放回接着再取一个球,这样取 3 次,求取出红球次数? 的 数学期望 E (? ) . 20.(本小题满分 12 分) 甲、乙两家快递公司,其快递员的日工资方案如下:甲公司底薪 70 元,每单抽成 2 元;乙公 司无底薪, 40 单以内(含 40 单)的部分每单抽成 4 元,超出 40 单的部分每单抽成 6 元.假设同一
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(2)2 名老师不能相邻;

(3)若 4 名 女生身高都不等,从左到右女生必须由高到矮的顺序站。 (最终结果用数字表示)

公司快递员一天的送快递单数相同,现从两家公司各随机抽取一名快递员,并分别记录其 100 天 的送快递单数,得到如下频数表:

若将频率视为概率,回答以下问题: (1)记乙公司快递员日工资为 X (单位:元), 求 X 的分布列和数学期望; (2)小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘快递员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学 的统计学知识为他作出选择,并说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 某工厂新研发的一种产品的成本价是 4 元/件,为了对该产品进行合理定价,将该产品按事先 拟定的价格进行试销,得到如下 6 组数据: 单价 x (元) 销量 y (件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68

(1)若 90 ? x ? y ? 100 ,就说产品“定价合理”,现从这 6 组数据中任意抽取 2 组数据,2 组数据中“定价合理”的个数记为 X ,求 X 的数学期望; (2)求 y 关于 x 的线性回归方程,并用回归方程预测在今后的销售中,为使工厂获得最大利 润,该产品的单价应定为多少元?(利润 L =销售收入-成本)

?x ? a ?? ? ?b ? 中系数计算公式: b 附:线性回归方程 y

?( x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y )
i

?( x
i ?1

? x ,其中 ? ? y ?b ,a

? x)

2

x 、 y 表示样本均值.
22.(本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (1)曲线 y ? f ( x) 在点 M (1, f (1)) 处的切线为 l ,求证除 M 点外,曲线 y ? f ( x) 上的所有点 都在直线 l 的上方; (2)若 f ( x) ? ax2 ? (a ? 0) 在 (0, ??) 上恒成立,求 a 的最小值.
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2 a

邢台一中 2015-2016 学年下学期第二次月考

高二年级数学试题(理科)答案
一、 选择题 DCABB 二、 填空题
13. 3 ; 14. (4,

ACBAA

DB

?

) ,或 (2 2, ) ; 4 2

?

15.

32 . ; 81

16. 108

三、解答题
17.解(1) 已知曲线 C 的普通方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,则其左焦点为 (?2 2,0) ,则 m ? ?2 2 , 12 4 ? 2 t ? x ? ?2 2 ? x2 y 2 ? 2 ? ? 1 联立, 将直线 l 的参数方程 ? 与曲线 C 的方程 12 4 ?y ? 2 t ? ? 2 2 得 t ? 2t ? 2 ? 0 ,则 | FA | ? | FB |?| t1t2 |? 2 . (5 分) x2 y 2 ? ? 1 ,可设曲线 C 上的动点 P(2 3cos? ,2sin? ) (2) 由曲线 C 的方程为 12 4
则以 P 为顶点的内接矩形周长为 4 ? (2 3 cos ? ? 2sin ? ) ? 16sin(? ? 因此该内接矩形周长的最大值为 16 .

?
3

)(0 ? ? ?
(10 分)

?
2

),

6 3 18. 解(1)把3名男生看成一个整体与其他人排列有 A6 种,再来考虑3名男生间的顺序有 A3 种, 3 6 故3名男生必须站在一起的排法有 A3 A6 ? 4320 种;

------------4分

6 2 (2) 6名学生先站成一排有 A6 种站法,再插入两名老师有 A7 种插法,故2名老师不相邻的站法有 6 2 A6 A7 ? 30240 种;------------------8分 3 5 (3) 先从8个位置中选出3个位置给3个女生有 C8 种,再在剩下的5个位置上排其余5人有 A5 种,

故4名女生从左到右女生由高到矮的顺序的站法有 C8 A5 ? 6720 种。-------------12分
3 5

高二年级数学(理)试题

第 5 页(共 4 页)

19. (1) ? 的可能取值为1.2.3

P(? ? 1) ?

4 2 A1 A1 2 ? 4 4 A2 A1 2? 4 1 ? ; P(? ? 2) ? 2 2 4 ? ? ; P(? ? 3) ? 2 3 4 ? ? 6 3 A6 6 ? 5 15 A6 6 ? 5 ? 4 15

故 ? 的分布列为:

?

1
2 3

2
4 15

3
1 15

p

2 4 1 21 7 ? E (? ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? 3 15 15 15 5
(2)取出后放回,取 3 次球,可看做 3 次独立重复试验,所以? ? B (3, ) ,所以 E (? ) ? 3 ? 20.解(1)设乙公司快递员送快递单数为 a ,则 当 a ? 38 时, X ? 38 ? 4 ? 152 ; 当 a ? 39 时, X ? 39 ? 4 ? 156 ; 当 a ? 40 时, X ? 40 ? 4 ? 160 ; 当 a ? 41 时, X ? 40 ? 4 ? 1? 6 ? 166 ; 当 a ? 42 时, X ? 40 ? 4 ? 2 ? 6 ? 172 . 所以 X 的所有可能取值为 152,156,160,166,172.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 故 X 的分布列为:

2 3

2 ? 2. 3

X

152

156

160

166

172

P

1 10

1 5

1 5

2 5

1 10

所以E ( X ) ? 152 ?

1 1 1 2 1 · · · · · · ·8 分 ? 156 ? ? 160 ? ? 166 ? ? 172 ? ? 162 . · 10 5 5 5 10

(2)依题意, 甲公司快递员日平均快递单数为

38 ? 0.2 ? 39 ? 0.4 ? 40 ? 0.2 ? 41? 0.1 ? 42 ? 0.1 ? 39.5 . · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分
所以甲公司送餐员日平均工资为 70 ? 2 ? 39.5 ? 149 元.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分
高二年级数学(理)试题 第 6 页(共 4 页)

由(1)得乙公司送餐员日平均工资为 162 元. 因为 149 ? 162 ,故推荐小明去乙公司应聘. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

C32 1 21.解: (Ⅰ) X 取值为 0,1,2.使 90 ? x ? y ? 100 的有 3 组,所以 P( X ? 0) ? 2 ? , C6 5 P( X ? 1) ?
1 1 C3 C3 3 C32 1 , ? P ( X ? 2) ? ? . X 的分布列为 2 2 C6 5 C6 5

X

0

1

2

1 3 5 5 1 3 1 数学期望为 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 . 5 5 5
P
( Ⅱ ) 因 为 x ? 8.5 , y ? 80 ,
n n

1 5
????6 分

? ( xi ? x )2 ? 0.7 , ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? ?14 . 所 以
i ?1 i ?1

? ? ?14 ? ?20 , a ? x ? 250 . y 关于 x 的线性回归方程是 y ? ?20 x ? 250 . ? ? y ?b b 0.7
利润 L ? x(?20x ? 250) ? 4(?20x ? 250) ? ?20x2 ? 330x ? 1000 . 当x?? 润. 22. 解(Ⅰ) 因为 问题转化为要证明: 只需证明: ,设切线的斜率为 , 则 ,切点为 .故切线方程为 ,当且仅当 x ? 1 时等号成立 在 恒成立, ,即: .--2 分

330 ? 8.25 时, L 取最大值 361.25 .故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利 2 ? (?20)
????12 分









上单调递减;
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高二年级数学(理)试题

当 当 时







上单调递增;

在 所以 (Ⅲ)要使: 等价于: 等价于: 在

恒成立

.当且仅当 x ? 1 时等号成立--------------5 分 在区间在 恒成立, 在 恒成立-----7 分 恒成立,

因为

=

=

①当 ②当 所以

时, 时,令 时 时 ,则 , ,

, 或 在 在

不满足题意 ------9 分 (舍) . 上单调递减; 上单调递增;

当 当 所以

时 时,满足题意 ,得到 的最小值为 ---------------12 分

高二年级数学(理)试题

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