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河南省豫北六校2012届高三第二次精英联赛考试数学(理)试题1



中原文化出版集团出版

陈福功

河南省豫北名校 届高三下学期 精英联考数学( 河南省豫北名校 2012 届高三下学期 3 月精英联考数学(理) 豫北
1. 满分 150 分,时间 120 分钟。 2.范围:高中全部内容。 3.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内. ... 4. 请将选择题的选项涂在机读卡上,将第Ⅱ卷用黑色笔试题的答案写在答题纸上对应 题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. 1.设复数 z 的共轭复数为 z ,若 z = 1 ? i ( i 为虚数单位)则 A. ? 3i B. ? 2i C. i

z + z 2 的值为 z D. ? i

2.如图给出的是计算 1 +

1 1 1 + + ??? + 的值的一个程序框图,其 3 5 2011

中判断框内应填入的条件是( ) B. i > 2011 A. i ≤ 2011 D. i > 1005 C. i ≤ 1005

?y ≥ x ? 3.设变量 x,y 满足: ? x + 3 y ≤ 4, 则z=|x-3y|的最大值为( ? x ≥ ?2 ?
A.8 C. B.3 D.



13 4

4.把函数 y=sin(x+

π
6

9 2

)图像上各点的横坐标缩短为原

来的 方

1 π 倍(纵坐标不变),再将图像向右平移 个单位,那么所得图像的一条对称轴 2 3
) B.x =- D.x =

程为 ( A.x=- C.x =

π
2

π
4

π
8

π
4

5.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2,且侧棱 AA1 ⊥ 底面 ABC,其正(主)视图是边 长为 2 的正方形,则此三棱柱侧(左)视图的面积
A A1

C1

1
B1

1

2
C B

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正(主)视图

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为(

) B.4 D. 2 3
m2 ? 4 m +3

A. 2 2 C. 3

6. 下列命题中是假命题的是 B. ?? ∈ R ,函数 f ( x ) = sin( x + ? ) 都不是偶函数 C. ?α , β ∈ R ,使 cos(α + β ) = cos α + cos β
2

A. ?m ∈ R ,使 f ( x) = ( m ? 1) ? x

是幂函数

D. ?a > 0 ,函数 f ( x) = ln x + ln x ? a 有零点 7. 已知双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的渐近线均和圆 C : x 2 + y 2 ? 6 x + 5 = 0 相切,且 a2 b2

双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为 A.

x2 y2 ? =1 7 2

B.

x2 y2 ? =1 25 16

C.

x2 y2 ? =1 5 4

D.

x2 y2 ? =1 4 5

8.下列命题中正确命题的个数是 (1)命题“若 x ? 3 x + 2 = 0 ,则 x = 1”的逆否命题为“若 x ≠ 1 则 x ? 3 x + 2 ≠ 0 ”;
2 2



(2)设回归直线方程 y =1+2x 中, x 平均增加 1 个单位时, y 平均增加 2 个单位 ; (3)若 p ∧ q 为假命题,则 p

, q 均为假命题 ;
2 2

(4)对命题 p : ?x 0 ∈ R, 使得 x 0 + x 0 + 1 < 0 ,则 ?p : ?x ∈ R, 均有 x + x + 1 ≥ 0 ; (5)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),若 P (ξ > 1) = p ,则 P ( ?1 < ξ < 0) = A.2 9.已知 ?ABC 的面积为 B.3 C.4 D.5

1 ? p. 2

3 π , AC = 3, ∠ABC = ,则 ?ABC 的周长等于( 2 3
B. 3 3 C. 2 + 3 D.



A. 3 + 3

3 3 2

10.如果函数 f ( x ) = cos(2 x + ? ) 的图象关于点 ( 函数 y = f ( x +

π
3

4π π π , 0) 成中心对称,且 ? < ? < ,则 3 2 2

) 为(

) B.偶函数且在 (0, D.奇函数且在 (0,

A.奇函数且在 (0, C.偶函数且在 (0,

π π
4

) 上单调递增 ) 上单调递减

π π
2 4

) 上单调递增 ) 上单调递减

2

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11.在三棱锥 S—ABC 中,AB⊥BC,AB=BC= 2 ,SA=SC=2,,二面角 S—AC—B 的余弦值 是?
3 ,若 S、A、B、C 都在同一球面上,则该球的表面积是( 3

) D.6 π

A. 8 6π

B. 6π

C.24 π

?log 1 ( x + 1), x ∈ [0,1) ? 2 ,则关于 x 的 12.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x ≥ 0 时, f ( x ) = ? ?1? | x ? 3 |, x ∈ [1, +∞) ? 函数 F ( x ) = f ( x ) ? a (0 < a < 1) 的所有零点之和为( )
A. 2 ? 1
a

B. 1 ? 2

a

C. 2

?a

?1

D. 1 ? 2

?a

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
小题, 把答案填在答题卡的相应位置. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 填空题: 13.某高校进行自主招生面试时的程序如下:共设 3 道题,每道题答对给 10 分、答错倒扣 5 分(每道题都必须回答,但相互不影响) .设某学生对每道题答对的概率都为 该学生在面试时得分的期望值为 分.

2 ,则 3

14.已知 F 是抛物线 C:y 2 = 4 x 的焦点,过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于 A,B 两点.设

FA < FB ,若 FA = λ FB ,则 λ 的值为



15.若 m 、 n 为两条不重合的直线, α 、 β 为两个不重合的平面,给出下列命题 ①若 m 、 n 都平行于平面 α ,则 m 、 n 一定不是相交直线;②若 m 、 n 为都垂直于平 面 α ,则 m 、 n 一定是平行直线;③已知 α 、 β 互相垂直, m 、 n 互相垂直,若

m ⊥ α , 则n ⊥ β ;④ m 、 n 在平面 α 内的射影互相垂直,则 m 、 n 互相垂直。其中
的假命题的序号是 .

16.已知集合 A = {a1 , a2 , a3 , L , an } ,记和 a i + a j (1 ≤ i < j ≤ n) 中所有不同值的个数为

M ( A) .如当 A = {1,2,3,4} 时,由 1 + 2 = 3 ,1 + 3 = 4 ,1 + 4 = 2 + 3 = 5 , 2 + 4 = 6 , 3 + 4 = 7 ,得 M ( A) = 5 .对于集合 B = {b1 , b2 , b3 ,L, bn } ,若实数 b1 , b2 , b3 , L , bn 成
等差数列,则 M (B ) = .

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题( ) 17. (本题满分 12 分)
a an an 已知各项都是正数的等比数列 {xn } ,满足 xn n = xn ++11 = xn ++22 (n ∈ N * ).

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(I)证明数列 {

1 } 是等差数列; an

(II)若

12 1 1 = 1, = 15 ,当 m > 1 时, 不等式 an+1 + an+2 +L+ a2n > (log(m+1) x ? logm x +1) 对 a1 a8 35

n ≥ 2 的正整数恒成立,求 x 的取值范围.

18. (本题满分 12 分) 某中学将 100 名

高一新生分成水平 相同的甲、乙两个 “ 平 行 班 ”, 每 班 50 人.陈老师采用 A、B 两种不同的教学方 式分别在甲、乙两个 班级进行教改实 验.为了解教学效果, 期末考试后,陈老师 对甲、乙两个班级的 学生成绩进行统计 分析,画出频率分布 直方图 (如右图) 记 . 成绩不低于 90 分者 为“成绩优秀”.
(I)从乙班随机抽取 2 名学生的成绩,记“成绩优秀”的个数为 ξ ,求 ξ 的分布列和数学 期望; (II)根据频率分布直方图填写下面 2 × 2 列联表,并判断是否有 95%的把握认为“成绩 优秀”与教学方式有关。

19.(本小题满分 12 分) 已知四边形 ABCD 满足 AD ∥ BC , BA = AD = DC =

1 BC = a , E 是 BC 的中点, 2

将 ?BAE 沿着 AE 翻折成 ?B1 AE ,使面 B1 AE ⊥ 面 AECD , F 为 B1 D 的中点.

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(Ⅰ)求四棱 B1 ? AECD 的体积; (Ⅱ)证明: B1 E ∥面 ACF ; (Ⅲ)求面 ADB1 与面 ECB1 所成二面角的余弦值.

20. (本题满分 12 分) 如图,曲线 C1 是以原点 O 为中心、 F1 , F2 为焦点的椭 圆的一部分,曲线 C2 是以 O 为顶点、 F2 为焦点的抛物线 的一部分,A 是曲线 C1 和 C2 的交点且 ∠AF2 F1 为钝角,若

AF1 =

7 5 , AF2 = . 2 2

(Ⅰ)求曲线 C1 和 C2 的方程; (Ⅱ)过 F2 作一条与 x 轴不垂直的直线,分别与曲线 C1、C2 依次交于 B、C、D、E 四点,

若 G 为 CD 中点、H 为 BE 中点,问

BE ? GF2 CD ? HF2
是否为定值?若是求出定值;若不是说明理

由.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = (1+x ) ln ( x + 1) ? x , g ( x ) =
2 2

1 1 ? . ln ( x + 1) x

(Ⅰ)判定 f ( x ) 在 ( 0,1] 上的单调性; (Ⅱ)求 g ( x ) 在 ( 0,1] 上的最小值; (Ⅲ)若 ?n ∈ N , ( n + a ) ln(1 + ) ≤ 1 ,求实数 a 的取值范围.
*

1 n

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【选做题】请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 选做题】 、 、 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 做答时请写清题号。 做答时请写清题号。

22.(本小题满分 10)选修 4-1:几何证明与选讲 如图, 已知 PA 与圆 O 相切于点 A, 经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B、 C, ∠APC 的平分线分别交 AB、AC 于点 D、E. (Ⅰ)证明: ∠ADE = ∠AED (Ⅱ)若 AC=AP,求

PC 的值 PA

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ρ =

π 2 cos(θ + ) ,以极点为原点,极轴为 x 轴 4

4 ? ?x = 1+ 5 t , ? 的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,求直 ? y = ?1 ? 3 t , ? 5 ?
线 l 被圆 C 所截得的弦长.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 设函数 f ( x ) =| x ? 1 |, g ( x ) =| x ? 2 | . (Ⅰ)解不等式 f ( x ) + g ( x) < 2 ; (Ⅱ)对于实数 x, y ,若 f ( x ) ≤ 1, g ( y ) ≤ 1 ,求证 | x ? 2 y + 1 |≤ 5 .

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理科数学试卷参考答案
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. 1.D 2.A 3.A 4.A 5.D 6.B 7. C 8.C 9.A 10. D 11.D 12.B 填空题: 小题, 把答案填在答题卡的相应位置. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 15 14. ?

15. ①、③、④ 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题( ) 17.

1 3 16. 2n ? 3

(II)由(Ⅰ)设 ?

?1? 1 1 1 , ? 的公差为 d ,知 = + (8 ? 1)d , d = 2 , an = 2n ? 1 a8 a1 ? an ?



f (n) = an +1 + an + 2 + L + a2 n ,则 f (n +1) = an+2 + an+3 +L+ a2n + a2n+1 + a2n+2 ,
1 1 1 1 + ? = >0. 4n + 1 4n + 3 2n + 1 (4n + 1)(4n + 3)(2n + 1)
…(8 分)

f (n + 1) ? f (n) =

∴函数 f ( n ) 单调递增, 当 n ≥ 2 时, f ( n) min = f (2) = a3 + a4 =

1 1 + . 5 7

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∴ 12 > 12 (log m +1 x ? log m x + 1) ,即 log m+1 x ? log m x + 1 < 1 , 35 35

…………(10 分)

log m +1 x < log m x ,

lg x lg x < , lg x[lg( m + 1) ? lg m ] > 0 . lg(m + 1) lg m
………(12 分)

而 m > 1 ,∴ x 的取值范围是 (1, +∞ ) . 18.本题两问各 6 分

19.(Ⅰ)取 AE 的中点 M , 连接 B1M ,因为 BA = AD = DC = 三角形,则 B1M =

1 BC = a , ?ABE 为等边 2

3 a ,又因为面 B1 AE ⊥ 面 AECD ,所以 B1M ⊥ 面 AECD ,……2 分 2

所以 V =

1 3 π a3 × a × a × a × sin = …………4 分 3 2 3 4

(Ⅱ)连接 ED 交 AC 于 O ,连接 OF ,因为 AECD 为菱形, OE = OD ,又 F 为 B1 D 的 中点, 所以 FO ∥ B1 E ,所以 B1 E ∥面 ACF ……………7 分 (Ⅲ)连接 MD ,分别以 ME , MD, MB1 为 x, y , z 轴

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则 E ( , 0, 0), C ( a,

a 2

3 a 3 3 a, 0), A(? , 0, 0), D(0, a, 0), B1 (0, 0, a) 2 2 2 2

uuu r a 3a uuur uuur a a 3a uuur a 3a 3a EC = ( , , 0), EB1 = (? , 0, ), AD = ( , , 0), AB1 = ( , 0, ) ……9 分 2 2 2 2 2 2 2 2

?a 3 ay′ = 0 ? x′ + r r 3 3 ?2 2 设面 ECB1 的法向量 v = ( x′, y′, z ′) , ? ,令 x′ = 1 ,则 u = (1, ? , ) 3 3 a 3 ? ? x′ + az ′ = 0 ? 2 2 ? ?a ? x+ r ?2 设 面 ADB1 的 法 向 量 为 u = ( x, y , z ) , ? ?a x + ?2 ?
r 3 3 v = (1, ? , ? ) ……11 分 3 3
3 ay = 0 2 , 令 x =1 , 则 3 az = 0 2

r r 则 cos < u , v >=

1 1 1+ ? 3 3 3 3 = ,所以二面角的余弦值为 ……12 分 5 1 1 1 1 5 1+ + × 1+ + 3 3 3 3
x2 y2 7 5 + 2 = 1 ,则 2a = AF1 + AF2 = + = 6 , 2 2 2 a b

20.(Ⅰ)解法一:设椭圆方程为 得a = 3.

设 A( x, y ), F1 ( ?c,0), F2 (c,0) ,则 ( x + c ) + y = ( ) , ( x ? c ) + y = ( ) ,
2 2 2 2 2 2

7 2

5 2

两 式 相 减 得 xc =

3 5 3 , 由 抛 物 线 定 义 可 知 AF2 = x + c = , 则 c = 1, x = 或 2 2 2

x = 1, c =

3 (舍去) 2 x2 y2 3 3 + = 1 ( x ≤ ) ,抛物线 C2 方程为 y 2 = 4 x ( x ≤ ) . 9 8 2 2

所以椭圆 C1 方程为

解法二:过 F1 作垂直于 x 轴的直线 x = ?c ,即抛 物线的准线,作 AH 垂直于该准线, 作 AM ⊥ x 轴于 M ,则由抛物线的定义得

AF2 = AH ,

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所以 AM =

AF1 ? F1 M
2

2

=
2

AF1 ? AH
2
2

2

=

2 2 ?7? ?5? AF1 ? AF2 = ? ? ? ? ? = 6 ?2? ?2? 2

1 ?5? F2 M = ? ? ? 6 = , 2 ?2?
得 F1 F2 =

5 1 3 ? = 2 ,所以 c=1,︱OM︱= 2 2 2 7 5 b 2 = a 2 ? c 2 = 8 ( 2a = AF1 + AF2 = + = 6 ,得 a = 3 ), 2 2

因而椭圆 C1 方程为

3 3 x2 y2 + = 1 ( x ≤ ) ,抛物线 C2 方程为 y 2 = 4 x ( x ≤ ) . 9 8 2 2

(Ⅱ)设 B ( x1 , y1 ), E ( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), D ( x4 , y4 ), 把直线

x2 y 2 + = 1得(8 + 9k 2 ) y 2 + 16ky ? 64k 2 = 0, 则 9 8 16k 64k 2 y1 + y2 = ? , y1 y2 = ? .同理将y = k ( x ? 1)代入y 2 = 4 x得: 2 2 8 + 9k 8 + 9k y = k ( x ? 1)代入

ky 2 ? 4 y ? 4k = 0,∴ y3 + y4 = BE ? GF2 y1 ? y2

4 , y3 ? y4 = ?4; k

1 y3 + y4 ∴ = ?2 CD ? HF2 y3 ? y4 1 y + y 1 2 2 = =
2 2 ( y1 ? y2) (y3 + y4) ? 2 2 (y1 + y2) (y3 ? y4) 2 2 (y3 + y4) (y1 + y2) ? 4 y1 y2 ? 2 2 (y1 + y2) (y3 + y4) ? 4 y3 y4

=

(16k ) 2 4 × 64k 2 4 + ( )2 (8 + 9k 2 )2 8 + 9k 2 k ? = 3为定值. 4 2 (16k ) 2 ( ) + 16 k (8 + 9k 2 )2
2

21 解: (Ⅰ) f '( x) = ln 设 h( x) = ln

( x + 1) + 2 ln ( x + 1) ? 2 x
2 ln ( x + 1) ? 2 x x +1


2

( x + 1) + 2 ln ( x + 1) ? 2 x ,则 h / ( x ) =

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∵ 0 < x ≤ 1 ,设 k ( x ) = ln( x + 1) ? x, 则 k ( x) =
/

1 ?1 < 0 x +1

∴ k ( x ) = ln( x + 1) ? x, 在 ( 0,1] 上单调递减,则 k ( x ) < k (0) = 0 即 k ( x ) = ln( x + 1) ? x < 0, ∴ ln( x + 1) < x, ………………………2 分

从而 h

/

( x) =

2 ln ( x + 1) ? 2 x <0, x +1

∴ h( x) 在 ( 0,1] 上单调递减 ∴f
/

( x ) 在 ( 0,1] 上单调递减,∴ f / ( x ) <

f / ( 0) = 0
…………………4 分
2 2

∴ f ( x) 在 ( 0,1] 上的单调递减.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (1) ≤ f ( x ) < f ( 0 ) = 0 ,即 f ( x) = (1+x ) ln ( x + 1) ? x < 0 ∴g
/

( x ) =[

( x + 1) ln 2 ( x + 1) ? 2 x < 0 1 1 ? ]/ = 2 ln ( x + 1) x x ( x + 1) ln 2 ( x + 1)

∴ g ( x ) 在 ( 0,1] 上的单调递减,则有 g (1) ≤ g ( x ) < g ( 0 ) ∴ g ( x) 在 ( 0,1] 上的最小值为 g (1) =
*

1 ?1 ln 2

……………………7 分

(Ⅲ)∵ ?n ∈ N , ( n + a ) ln(1 + ) ≤ 1 , ∴a ≤

1 n

1 1 ln(1 + ) n
*

?n 1 1 ln(1 + ) n

对 ?n ∈ N 恒成立,只需求右边 φ ( n) =

? n 的最小值

1 1 1 1 ? 中, 取 x = ∈ (0,1] ,得 φ (n) = ?n, 1 ln ( x + 1) x n ln(1 + ) n 1 又由(Ⅱ)可知, g ( x ) 在 ( 0,1] 上的最小值为 ? 1 ,……………10 分 ln 2 1 1 故 φ ( n) = ? n 的最小值为 ?1 , 1 ln 2 ln(1 + ) n
∵对 g ( x ) =

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∴ a 的取值范围是 (?∞,

1 ? 1]. ln 2

……………………12 分

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 (1)∵ PA 是切线,AB 是弦, ∴ ∴BAP=∴C,…2 分 又 ∵ ∴APD=∴CPE, ∴ ∴BAP+∴APD=∴C+∴CPE, ∵ ∴ADE=∴BAP+∴APD, ∴AED=∴C+∴CPE, ∴ ∴ADE=∴AED. (2)由(1)知∴BAP=∴C, 又∵ ∴APC=∴BPA, ∴ ∴APC∴∴BPA, ∴ …….4 分 ……5 分

PC CA = , 7分 PA AB

∵ AC=AP, ∴ ∴APC=∴C=∴BAP,由三角形内角和定理可知,∴APC+∴C+∴CAP=180A,∵ BC 是 圆 O 的直径, ∴ ∴BAC=90A∴ ∴APC+∴C+∴BAP=180A-90A=90A,∴ ∴C=∴APC=∴BAP= 在 Rt∴ABC 中,

1 ×90A=30A. 3

CA PC CA = 3,∴ = = 3. AB PA AB

10 分

23.曲线 C 的极坐标方程 ρ =

2 cos(θ + ), 可化为ρ = cos θ ? sin θ , 4 1 2 1 2 1 化为直角坐标方程为: x 2 + y 2 ? x + y = 0, 即 ( x ? ) + ( y + ) = . …………………3 分 2 2 2

π

4 ? ? x = 1 + 5 t, ? 直线 l : ? (t 为参数)可化为 3 x + 4 y + 1 = 0 ,…………………6 分 ? y = ?1 ? 3 t , ? 5 ?

1 1 3× ? 4 × + 1 1 2 2 圆心到直线的距离 d = = ,………………………………8 分 5 10
弦长 L = 2 R ? d =
2 2

7 .……………………………………………10 分 5 24.解: (Ⅰ)令 y =| x ? 1 | + | x ? 2 | ,则 .

? 3 ? 2 x, x ≤ 1 ? y = ?1, 1 < x < 2 ?2 x ? 3, x ≥ 2 ? 作 出 函 数 y =| x ? 1 | + | x ? 2 | 的 图 象 , 它 与 直 线 y = 2 的 交 点 为

4

2

1

1

2

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1 5 ( , 2) 和 ( , 2) . 2 2
所以 f ( x ) + g ( x) < 2 的解集为 ( , ) .------------5 分 (Ⅱ)因为

1 5 2 2

| x ? 2 y + 1 |=| ( x ? 1) ? 2( y ? 1) | ≤| x ? 1 | +2 | ( y ? 2) + 1 | ≤| x ? 1 | +2(| y ? 2 | +1) = f ( x) + 2 g ( y ) + 2 ≤5 所以 | x ? 2 y + 1 |≤ 5 ---------------------10 分
说明:另外解法正确的,请参照题目评分细则合理给分。

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