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变化率与导数、导数的计算复习课件



第10课时

变化率与导数、导数的计算

2014高考导航
考纲展示 1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 1.导数的运算是导数的基本内容,在高 3.能根据导数的定义求函数 y= c, y=x, 考中每年必考,一般不单独命题,而在 考查导数应用的同时进行考查. 1 2 3 y= x , y= x , y= ,

y= x的导数. x 2.导数的几何意义是高考重点考查的内 4.能利用给出的基本初等函数的导数公 式和导数的四则运算法则求简单函数的 导数. 能求简单复合函数(仅限于形如 f(ax + b)的复合函数)的导数 . 容,常与解析几何知识交汇命题. 3.题型多以选择题和填空题的形式出 现,有时也出现在解答题中关键的一步. 备考指南

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本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.导数 (1)函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率

f(x2)-f(x1) x2-x1 函数 y= f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为_________________ ,
若Δ x= x2-x1,Δ y= f(x2)- f(x1),则平均变化率可表示为 Δy Δx ________ .

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(2)函数 f(x)在 x= x0 处的导数 ①定义

Δy lim Δ x→ 0Δ x 称函数 f(x)在 x= x0 处的瞬时变化率 __________
f(x0+Δ x)-f(x0) lim Δ x→ 0 = _________________________ 为函数 f(x)在 x= x0 处的导 Δx

数,记作 f′(x0)或 y′| , x= x0
f(x0+Δ x)-f(x0) lim Δ x→ 0 Δx 即 f′(x0)=__________________________.

②几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y= f(x) (x0,y0) 处的切线的 ______ 斜率 .相应地,切线方程为 在点 _________ y-y0=f′(x0)· (x-x0) _______________________ .
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思考探究 1.f′(x)与f′(x0)有何区别与联系?

提示:f′(x)是一个函数,f′(x0)是一个常数,是函数f′(x)在
点x0处的函数值.

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(3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)为f(x)的导函数,导函数有时也记作y′.

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2.导数的运算 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xα(α∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x 导函数 f′(x)=0 αxα-1 f′(x)=_________ f′(x)=cos x -sin x f′(x)=__________ axln a f′(x)=________ f′(x)=ex 1 xln a f′(x)=_________ 1 f′(x)=_________ x
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(2)导数运算法则

f′(x)±g′(x) ①[f(x)± g(x)]′=_______________ ; f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ②[f(x)· g(x)]′=________________________ ;
f′(x)g(x)-f(x)g′(x) f(x) 2 [ g ( x ) ] ③[ ]′= ____________________________ (g(x)≠ 0).

g(x)

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思考探究 2.f′(x0)与[f(x0)]′相同吗?

提示:不相同.[f(x0)]′为一个常数的导数 ,恒等于0;而
f′(x0)是导函数当x=x0时的函数值,不一定是0.

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3.复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的

yu′·ux′ ,即y对x的导数等于y对u的导数与u 关系为yx′=___________
对x的导数的乘积.

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课前热身
1.若f(x)=xex,则f′(1)=( A.0 C.2e 答案:C B.e D.e2 )

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3 2.有一机器人的运动方程为 s= t + (t 是时间,s 是位移),则 t
2

该机器人在时刻 t= 2 时的瞬时速度为 ( 19 A. 4 15 C. 4 17 B. 4 13 D. 4

)

答案:D

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3.函数y=xcos x-sin x的导数为(

)

A.xsin x
C.xcos x

B.-xsin x
D.-xcos x

解析:选B.y′=x′cos x+x(cos x)′-(sin x)′=cos x-xsin x-cos x=-xsin x. 4.(2012· 高考广东卷)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程

为________.
解析:∵y′=3x2-1,∴y′|x=1=3×12-1=2. ∴该切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0. 答案:2x-y+1=0
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x2 1 5.已知曲线 y= -3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横 4 2 坐标为________.

1 3 1 解析:令 y′= x- = ,解得 x= 3 或-2(舍去),故切点的 2 x 2 横坐标为 3.

答案:3

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 导数的运算

例1 求下列函数的导数:
(1)y= (3x2- 4x)(2x+ 1);(2)y=x2sin x; ln x (3)y= 3xex- 2x+ e; (4)y= 2 ; x +1 (5)y= ln(2x-5).

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【解】 (1)∵ y=(3x2- 4x)(2x+ 1) = 6x3+ 3x2-8x2-4x= 6x3- 5x2-4x, ∴ y′=18x2-10x-4. (2)y′= (x2)′sin x+ x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. (3)y′= (3xex)′- (2x)′+ e′= (3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ = 3xexln 3+3xex- 2xln 2=(ln 3+1)· (3e)x- 2xln 2. ( ln x) ′( x2+1)- ln x( x2+ 1) ′ (4)y′= ( x2+1)2 1 ( x2+1)- 2xln x x x2+1- 2x2ln x = = 2 2 2 2 . ( x +1) x(x + 1) 1 2 (5)y′= (2x-5)′= . 2x- 5 2x- 5
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【规律小结】

一般来说,分式函数求导,要先观察函数的

结构特征,可化为整式函数或较为简单的分式函数;对数函 数的求导,可先化为和、差的形式;三角函数的求导,先利 用三角函数公式转化为和或差的形式.复合函数的求导过程 就是对复合函数由外层逐层向里求导.每次求导都针对最外 层,直到求到最里层为止.所谓最里层是指此函数已经可以 直接引用基本初等函数导数公式进行求导.
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跟踪训练
1.求下列函数的导数: cos x (1)y= x e ;(2)y= ;(3)y= exln x; sin x
n x

(4)y= x2sin 2x.
解:(1)y′= nxn 1ex+xnex=xn 1ex(n+x).
- -

-sin2x-cos2x 1 (2)y′= =- 2 . 2 sin x sin x 1 x?1 (3)y′= e ln x+ e · = e ?x+ln x ? ?. x
x x

(4)y′= 2xsin 2x+2x2cos 2x.
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考点 2

导数的几何意义

例2 设函数 f(x)=ax-b,曲线 y=f(x)在点 (2,f(2))处的
x 切线方程为 7x- 4y- 12= 0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x= 0 和直 线 y= x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.

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【解】

7 (1)方程 7x- 4y- 12= 0 可化为 y= x-3. 4

1 当 x= 2 时, y= . 2 b 又 f′(x)=a+ 2, x

? 于是? b 7 ?a+4=4,
3 故 f(x)=x- . x

b 1 2a- = , 2 2

? ?a=1, 解得? ? ?b=3.

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3 (2)证明:设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′= 1+ 2知曲线在 x 点 P(x0, y0)处的切线方程为 3? 3? ? 3? ? ? y- y0=?1+x2 ?(x-x0),即 y-?x0-x ?=?1+x2 ?(x-x0). 0 0 0 6 令 x=0 得 y=- ,从而得切线与直线 x= 0 的交点坐标为 x0 ?0,- 6 ?. ? x0 ? 令 y= x 得 y=x= 2x0, 从而得切线与直线 y= x 的交点坐标为 (2x0,2x0). 所以点 P(x0, y0)处的切线与直线 x= 0, y= x 所围成的三角形 1? 6 ? 面积为 ?- x ?|2x0|=6. 2 0 故曲线 y= f(x)上任一点处的切线与直线 x=0, y= x 所围成 的三角形的面积为定值,此定值为 6.
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【规律小结】

求曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程,其

方法如下:
(1) 求出函数 y = f(x) 在点 x = x0 处的导数 , 即曲线 y = f(x) 在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率. (2)写出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0).

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跟踪训练

2.(2012· 高考辽宁卷)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点
P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切 线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________. 1 2 解析:因为 y= x ,所以 y′=x,易知 P(4,8),Q(-2,2), 2
所以在 P、 Q 两点处切线的斜率的值为 4 或- 2. 所以这两条切线的方程为 l1: 4x- y-8=0, l2: 2x+ y+ 2= 0, 将这两个方程联立方程组求得 y=- 4.

答案:-4
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方法感悟
1.在对导数的概念进行理解时,特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不 一样的. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导 时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则

对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等
价性,避免不必要的运算失误. 3. 求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区 别,前者只有一条,而后者包括了前者.

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名师讲坛精彩呈现
易错警示
导数的几何意义不明致误 (2013· 杭州模拟 )若存在过点(1,0)的直线与曲线 y= x3
2



15 和 y=ax + x- 9 都相切,则 a 等于 ( 4 25 A.- 1 或- 64 7 25 C.- 或- 4 64

)

21 B.- 1 或 4 7 D.- 或 7 4

【常见错误】

解答本题时不对(1,0)的位置进行判断,误认
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为(1,0)为切点.

【解析】

设过 (1,0)的直线与 y= x3 相切于点(x0, x3 0),

2 所以切线方程为 y- x3 = 3 x 0 0(x- x0), 3 即 y=3x2 x - 2 x 0 0.

3 又 (1,0)在切线上,则 x0= 0 或 x0= . 2 15 25 当 x0= 0 时,由 y= 0 与 y= ax + x- 9 相切可得 a=- , 4 64
2

3 27 27 2 15 当 x0= 时,由 y= x- 与 y= ax + x- 9 相切可得 a= 2 4 4 4 - 1,所以选 A.

【答案】

A
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【防范措施】

解决导数的几何意义问题,首先应确定已知

点是否为曲线的切点,这是求解的关键.还要熟练掌握基本 初等函数的求导公式和导数的运算法则.

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跟踪训练
1 3 8 3.已知曲线 y= x 上一点 P(2, ),求过点 P 的切线方程. 3 3 解:(1)当 P 为切点时,∵ y′= x2, ∴切线斜率 k=y′|x= 2= 4,∴切线方程为 12x- 3y-16= 0.

(2)当 P 不是切点时,设切点为 Q(x0, y0), 1 3 则切线方程为 y- x0= x2 ① 0(x- x0). 3 8 因为切线过点 P(2, ),把点 P 的坐标代入①式,求得 x0= 3 1 - 1 或 x0= 2(即点 P,舍去 ),所以切点为 Q(-1,- ),切线 3 方程为 3x-3y+ 2= 0.综上所述, 过点 P 的切线方程为 12x- 3y-16= 0 或 3x- 3y+ 2=0.
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知能演练轻松闯关

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