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2003年高一年级数学竞赛试卷



2003 年高一年级数学竞赛试卷
考试时间: 分钟( 考试时间:150 分钟(5 月 24 日 8:30~11:00) : : )

选择题( 个小题, 一. 选择题(本题有 8 个小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1.如果 α 是第四象限角,那么 α ? 3π 是(B) (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角<

br />2.设 M 是线段 AB 的中点,O 是 AB 外的任意一点,则 OM =(A)

(A )

1 ( OA + OB ) 2

(B) OA + OB (D)以上都不对

(C) 2(OA + OB)

3.在数列 1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,… 中未知数 x 的值是( D ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)21 4 4.若 log a < 1 ,则 a 的取值范围是(B) 5 4 4 (A) 0 < a < (B) 0 < a < 或 a > 1 5 5 4 4 (C ) a > 且a ≠1 (D) < a < 1 5 5 1 π 5. y = cos( ? 2 x) 的最小正周期是(B) 2 2

(A)

π

2

(B) π

(C)2 π

(D)4 π

2 6.函数 y = x ? 2 x 的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为(A)

(A){-1,0,3} (C){y|-1≤y≤3}
x

(B){0,1,2,3} (D){y|0≤y≤3}

?1? 7.已知集合 A={ y | y = ? ? , x > 0 },B={ y | y = log 2 x },则 A∩B=(A) ?2?

(A){ y | 0 < y < 1 }(B){ y | y > 1 }(C){ y | y > 0 }(D)Φ
8.定义在区间 (? ∞,+∞ ) 的奇函数 f ( x ) 为增函数,偶函数 g ( x ) 在区间 [0,+∞ )
高一数学竞赛试卷第 1 页(共6页)

的图象与 f ( x ) 的图象重合,设 a >b>0,给出下列不等式:

f (b ) ? f (? a ) > g (a ) ? g (? b ) f (a ) ? f (? b ) > g (b ) ? g (? a )
其中成立的是( C ) (A) 与 (B) 与 解:取适合条件的特殊函数 (C)

f (b ) ? f (? a ) < g (a ) ? g (? b ) f (a ) ? f (? b ) < g (b ) ? g (? a )
与 (D) 与

f ( x ) = x, g ( x ) = x , 并令a = 2, b = 1, 则给出的 4 个不等式分别是 3>1,
3<1, 得 C. 3> ? 1 , 3< ? 1 ,由 不成立,排除 B、D,又 不成立,排除 A,

二.填空题(本题有 8 个小题,每小题 5 分,满分 40 分) .填空题( 个小题,
9. 已知 ab ≠ 0 ,那么 a 4 + a 2 b 2 与 b 4 + a 2 b 2 的等比中项等于
.

( ± ab(a 2 + b 2 ) )
10.计算:已知(x,y)在 f 下的象是(x-y,x+y) ,那么在 f 下(1,2003) 的原象是 .(1002,1001)

? 3? ? 11.已知 f (sin x) = sin 3 x ,则 f ? ? 2 ? 的值是 ? ? 12.设函数 f (? ) = 2 sin θ cos θ +

.( 0 )

5 2 , θ ∈ [0, π ] ,则 f ( π ) = sin θ + cos θ 2 12

.( 6 )

13.如果 f ( x + y ) = f ( x) ? f ( y ) ,并且 f (1) = 2 ,则 f ( 2) f ( 4) f ( 6) f (2004) + + +L+ = f (1) f (3) f (5) f (2003) .(2004)

14.数列{ a n }中, a1 = ?60 , a n+1 = a n + 3 ,则前 30 项的绝对值的和是

.

(765)
15.已知 sin α = 4 π α ,α是锐角,则 2 cos 2 ( ? ) ? 1 的值是 5 8 2
高一数学竞赛试卷第 2 页(共6页)

.

解:由已知得, cos α = = cos

3 π α π ,原式= cos 2( ? ) = cos( ? α ) 5 8 2 4

π
4

cos α + sin

π
4

sin α =

2 3 2 4 7 2 ? + ? = 2 5 2 5 10
?1

16.设函数 f ( x ) =

1 ? 2x ,若函数 g(x)的图象与 y = f 1+ x .(-2) 对称,那么 g ( 2) 的值等于 1 ? 2x 1+ x

( x + 1) 的图象关于直线 y=x

解:Q f ( x) =

∴ f ?1 ( x) =

1? x 1 ? ( x + 1) x ? f ?1 ( x + 1) = =? 2+ x 2 + ( x + 1) x+3

又Q f ( x,y ) = 0 图象关于直线 y=x 成轴对称的图象的方程为 F(y,x)=0

∴x = ?

g ( x) 3x ? g ( x) = ? g ( x) + 3 x +1 3× 2 ∴ g ( 2) = ? = ?2 2 +1

三.解答题(满分 70 分) 解答题(
1 17. 15 分)已知 tan = ,求 ( 2 2

α

) 6 的值. π cos(α ? ) 6
2 tan

sin(α +

π

Q tan

α
2

=

1 , 2

1 2 = 2 =4 ∴ tan α = 2 α 3 ?1? 1 ? tan 2 1? ? ? 2 ?2? 2×

α



6 = 6 6 π π π cos(α ? ) cos α cos + sin α sin 6 6 6

sin(α +

π

)

sin α cos

π

+ cos α sin

π

高一数学竞赛试卷第 3 页(共6页)

=

tan α cos cos

π
6

+ sin

π π
6 6

π
6

+ tan α sin

4 3 1 × + 24 ? 7 3 = 3 2 2 = 11 3 4 1 + × 2 3 2 18. (15 分)已知向量 a = (1, 2 ) 、 b = (? 2 ,1) . 若正数 k 和 t 使

x = a + (t 2 + 1)b 与 y = ? k a + b 垂直,求 k 的最小值.
解:由 a = (1, 2 ) 、 b = (? 2 ,1) 得

1 t

a ? a =| a | 2 = 3 , b ? b =| b | 2 = 3 , a ? b = b ? a = 0
Q x⊥ y ,∴ x ? y = 0

1 而 x ? y = [a + (t 2 + 1)b] ? [? k a + b] t 1 1 = ? k a ? a + (t 2 + 1)b ? a + a ? b + (t 2 + 1) b ? b t t = ? 3k + 3 t 2 +1 t

∴k =

t2 +1 ≥ 2 (t 是正数,当 t=1 时取等号) t

∴ k 的最小值是 2.

高一数学竞赛试卷第 4 页(共6页)

19. (20 分)已知如图, 正?ABC 的边长为 a,直线 l 分别交 AB、AC 于 M、 N. 如果 S?AMN=S 四边形 BCNM,求线段 MN 的长的最小值. 解:Q S ?ABC =
3 2 a 4

A

设|AM|=x,|AN|=y,则
S? AMN 1 3 = | AM || AN | sin 60° = xy 2 4
M B N l

1 由 S?AMN=S 四边形 BCNM =S?ABC,得 xy = a 2 2 由余弦定理

C

| MN | 2 = x 2 + y 2 ? 2 xy cos 60° = x 2 + y 2 ? xy ≥ xy = ∴| MN |≥ 2 2 a (当且仅当 x=y= a 时取等号) 2 2 2 a. 2

1 2 a 2

所以,线段 MN 的长的最小值是

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2 0 . 2 0 分 ) 数 列 { an } 中 , S n 表 示 前 n 项 和 , 对 一 切 正 整 数 有 (
S1 + S 2 + S 3 + L + S n = n + 2 n . 数列{ bn }中, 对一切正整数有 bn = 5 ? 2n .

设 Tn = a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn ,用 n 表示 Tn . 解:Tn=S1b1+(S2-S1)b2+(S3-S2)b3+ K +(Sn-Sn-1)bn
=S1(b1-b2)+S2(b2-b3)+ K +Sn-1(bn-1-bn)+Snbn

因为 bn=5-2n,所以 b1-b2=b2-b3=b3-b4= K =bn-1-bn=2, 由此得:Tn=2( S1 + S 2 + S 3 + L + S n ?1 ) + S n bn
= 2( S1 + S 2 + S 3 + L + S n ) + (bn ? 2) S n =2(n+2n)+[(5-2n)-2]Sn

根据 n ≥ 2 时 S1 + S 2 + S 3 + L + S n = n + 2 n
S1 + S 2 + S 3 + L + S n ?1 = n ? 1 + 2 n ?1 ∴ S n = 1 + 2 n?1 n = 1时, S1 = 1 + 2 = 3
1

(n = 1) ?3 ∴ Sn = ? n ?1 (n ≥ 2) ?1 + 2
?2(n + 2 n ) + 3(3 ? 2n) (n = 1) ? ∴ Tn= ? ?2(n + 2 n ) + (3 ? 2n)(1 + 2 n ?1 ) (n ≥ 2) ?

整理得

?9 Tn= ? n ?1 ?(7 ? 2n) ? 2 + 3

(n = 1) (n ≥ 2)

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