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河北省石家庄市第十五中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题



2014-2015 学年第二学期期中考试试卷
高一数学(时间 120 分钟,满分 150 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 (每题只有一个正确答案)

c d ? ? ,则下列不等式中成立的是( ) a b a b a b A. bc<ad B. bc>ad C. > D. < c

d c d 2.图中阴影部分可用哪项二元一次不等式组表示 ( )
1.已知 a,b,c,d 均为实数,且 ab>0, ?

A.

0≤y≤1 2x-y+2≥0 y≤1 2x-y+2≥0

Y 2 y=1

B.

0≤y≤1 C. 2x-y+2≥0 x≤0

D.

y≤1 x≥0 2x-y+2≥0

-1

O

X

3. 已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, ,则 a8 的值是 A. 1





2 4. 已知集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x x ? 0 ,则 A ? B ?

?

B.

2

C.

?

3

D . 8

?

?





A. x 1 ? x ? 3

?

?

B. x 0 ? x ? 1

?

?

C. x 0 ? x ? 3

?

?

D. x x ? 3或0 ? x ? 1

?

?

5. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且(a+b+c)(b+c-a)=bc,则 A= ( ) A.30?

B.60?

C.120? )

D.150?

1 6.已知 f ( x) ? x ? ? 2( x ? 0) ,则 f(x)有( x

A.最大值为 0 C.最大值为-4

B.最小值为 0 D.最小值为-4 ( )

7. 等比数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 S 3 ? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 ,则 a1 ?

A.

1 3
2

B. ?

1 3

C.

1 9

D. ?

1 9
)

8. 不等式(a-2)x +2(a-2)x-4<0 对一切 x∈R 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 (

A. (-∞,2 ]

B. (-2,2]

C . (-2 ,2)

D . (-∞,-2)

9. 一艘海轮从 A 处出发, 以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50° 方向直线航行, 30 分钟后到 达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20° ,在 B 处观察 灯 塔 , 其 方 向 是 北 偏 东 ( ) A.10 2 海里 C.20 2 海里 B.10 3 海里 D.20 3 海里 65° , 那 么 B 、 C 两 点 间 的 距 离 是

x+2y≥2, ? ? 10. 设变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤4, ? ?4x-y≥-1,

则目标函数 z=3x-y 的取值范围是

(

)

3 ? A.? ?-2,6?

3 ? B.? ?-2,-1?
2

C.[-1,6]

3? D.? ?-6,2? ( )

11.已知数列 ?a n ?,且 an ? A.

1 ,则数列 ?a n ?前 100 项的和等于 n ?n
C.

100 101

B.

99 100

101 102

D.

99 101
( )

1 1 k 12.设 a>0,b>0,且不等式 + + ≥0 恒成立,则实数 k 的最小值等于 a b a+b A.0 C.-4 B .4 D.-2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 (把答案填在答题纸上)

i n A : sin B : sin C =5:7:8, 则 ? B = 13. 在 ?ABC 中,?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c , 若s
____________. 14 . 若不等式 ax +bx+1>0 的解集是 ( -
2

1 1 , ),则不等式 x2+bx+a<0 的解集是 3 2

________
15. 等差数列{an}中, Sn 是它的前 n 项之和,且 S6 ? S7 , S7 ? S8 ,则下列说法中: ①此数列的公差 d ? 0 ; ② S9 一定小于 S6 ; ③ a7 是各项中最大的一项; ④ S7 一定是 Sn 中的最大值. 正确的是________.(填入你认为正确的所有序号) 16. 已知 x, y 满足约束条件 ?

? x ? y ? 1 ? 0, 当目标函数 z ? ax ? by (a ? 0,b ? 0)在该约 ?2 x ? y ? 3 ? 0,
.

束条件下取到最小值 2 5 时, ab 的最大值为

三 、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. (写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本题满分 10 分) 解关于 x 的不等式 x2-(a+a2)x+a3>0.

18. (本题满分 12 分) 3 已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2,cos B= . 5 (1)若 b=4,求 sin A 的值; (2)若△ABC 的面积 S△ABC=4,求 b,c 的值.

19. (本题满分 12 分) 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个,生产一个卫兵需 5 分钟, 生产一个骑兵需 7 分钟, 生产一个伞兵需 4 分钟, 已知总生产时间不超过 10 小时. 若 生产一个卫兵可获利润 5 元,生产一个骑兵可获利润 6 元,生产一个伞兵可获利润 3 元. (1)用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 W(元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?

20. (本题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 3Sn=an+4(n∈N*) . (1)求数列{an}的通项公式;

(2) 若等差数列{bn}的公差为 3, 且 b2a5=-1, 求数列{bn}的前 n 项和 Tn 及 Tn 的最小值.

21. (本题满分 12 分) (1)函数 y=a1 x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1=0(m,n>0)


上, 1 1 求 + 的最小值; m n (2)若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,求 ab 的取值范围.

22. (本题满分 12 分) 已知单调递增的等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? an ? log 1 an , Sn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,求 Sn .
2

2014-2015 学年第二学期期中考试试卷高一数学答案
一、选择题 1-5 BCDCC 6-10 CCBAA 11-12 AC 二、填空题 13. 60? 三、解答题 17.(1)sinA= (2) b= 17 14.(-3,2) 15. ①④ 16.

5 2

2 5
c=5

18. 解:原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0. 则方程 x2-(a+a2)x+a3=0 的两根为 x1=a,x2=a2, 由 a2-a=a(a-1)可知, (1)当 a<0 或 a>1 时,a2>a. ∴原不等式的解为 x>a2 或 x<a. (2)当 0<a<1 时,a2<a, ∴原不等的解为 x>a 或 x<a2. (3)当 a=0 时,原不等式为 x2>0,∴x≠0. (4)当 a=1 时,原不等式为(x-1)2>0,∴x≠1. 综上可知: 当 a<0 或 a>1 时,原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}; 当 0<a<1 时,原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}; 当 a=0 时,原不等式的解集为{x|x≠0}; 当 a=1 时,原不等式的解集为{x|x≠1}. 19. 解:(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100-x-y, 所以利润 W=5x+6y+3(100-x-y) =2x+3y+300. (2)约束条件为 5x+7y+4? 100-x-y? ≤600, ? ? ?100-x-y≥0, ? ?x≥0,y≥0,x∈Z,y∈Z, x+3y≤200, ? ? 整理得?x+y≤100, ? ?x≥0,y≥0,x∈Z,y∈Z, 目标函数为 W=2x+3y+300,如图所示,作出可行域.

初始直线 l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点 A 时,W 有最大值.
? ? ?x+3y=200, ?x=50, 由? 得? 最优解为 A(50,50), ?x+y=100, ?y=50, ? ?

所以 Wmax=550(元). 答:每天生产卫兵 50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最大,为 550 元. 20.解: (1)由 3Sn=an+4,得 3Sn-1=an-1+4,两式相减,得 an 1 3(Sn-Sn-1)=(an+4)-(an-1+4)=an-an-1,整理,得 =- 2 (n≥2) . an-1 1 又 3a1=a1+4,得 a1=2,所以数列{an}是以 2 为首项,以- 2 为公比的等比数列, 1 故有 an=2× - 2

(

)

n-1



1 (2)由已知,得 b2=-a =-8,又等差数列{bn}的公差 d=3,
5

故 bn=b2+(n-2)d=3n-14,因此当 n≤4 时,bn<0,当 n≥5 时,bn>0, 所以 n=4 时,{bn}的前 n 项和 Tn 最小, 4(b1+b4) 最小值为 T4= =-26. 2 21. 解:(1)∵y=a1 x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,


1 1 ∴A(1,1).又点 A 在直线 mx+ny-1=0(m>0,n>0)上,∴m+n=1(m>0,n>0).∴ + m n

? 1 +1?=2+ n +m≥2+2=4,当且仅当 m=n=1时,等号成立,∴ 1 +1的最小值 =(m+n)· ?m n? m n 2 m n
为 4.

(2)∵ab=a+b+3,又 a,b∈(0,+∞), ∴ab≥2 ab+3.设 ab=t>0, ∴t2-2t-3≥0.∴t≥3 或 t≤-1(舍去). ∴ab 的取值范围是[9,+∞).

22. 解: (1)设等比数列 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q, 依题意,有 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,解得 a3 ? 8 分 ∴ a2 ? a4 ? 20 分 又 {an } 单调递增,∴ ? 分 (2)由(1)知 an ? 2n ,所以 bn ? 2n ? log 1 2n ? ?n ? 2n ,
2
3 ? ?a1q ? a1q ? 20, 2 ? ?a3 ? a1q ? 8,

-------------------------------2

∴?

解之得 ?

1 ? ? q ? 2 ?q ? 或? 2 ? a1 ? 2 ?a ? 32 ? 1

------------4

?q ? 2 ? a1 ? 2

∴ an ? 2n

-------------------------------6

------------------------------7

分 ∴ ?sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ... ? n ? 2n ∴ ① ②

?2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ... ? (n ?1) ? 2n ? n2n?1

-------------------------------10 分 ∴ ① ② 得

sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ... ? 2n ? n ? 2n ?1 ?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2



?1 ? n? 2n?1 ? 2 --------12 分

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