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数学物理方法 复变函数 第一章 解析函数


1

? 教材: 《数学物理方法》(第二版) 姚端正 梁家宝编著

任课教师:刘辛

数学物理方法
数 学 物 理 方 程 篇

特 殊 函 数 篇

复 变 函 数 篇

3

数学物理方法 复变函数篇

4

第一章 解析函数
1.1复数及其运算
? 数的扩张(完善化)
– – – – – 自然数(+负整数) 整数(+分数) 有理数(+无理数) 实数(+虚数) 复数

复数概念:一对有序的实数(x,y) 代数表示 z = x + iy x = Real(z)(实部), y = Imagine(z)(虚 部),i2=-1(虚单位)
5

– 几何表示

– 关系
? x = r cosφ ? y =r sinφ

r ? x2 ? y2
? φ= Arctan(y/x)

? 特点
– 无序性
? 复数无大小(模比较 大小)

– 矢量性
? 复数有方向
6

? 任一复数z≠0有无穷多个辐角(相差2kπ),以argz表示 其中在2π范围内变换的一个特定值,称之为辐角的主值, 通常取 -π<argz≤π 则 Argz=argz+2kπ (k=0,±1,±2,…) z处于第一象限: argz=arctan(y/x); 第二象限: argz=arctan(y/x)+π; 第三象限: argz=arctan(y/x)-π; 第四象限: argz=arctan(y/x)。

7

复数的表示
三角表示
指数表示
z =r (cosφ + i sinφ)
r = |z|(模), φ= Arg(z)(辐角)

z =r exp(iφ)

exp(iφ) = cosφ + i sinφ

代数表示

z = x + iy

x = Re(z), y = Im (z)

8

共轭复数
实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称 为共轭复数.

z的 共轭复数记为 z , 若 z ? x ? iy , 则 z ? x ? iy .
例 解

计算共轭复数 z ? x ? yi 与 z ? x ? yi 的积.
( x ? yi )( x ? yi ) ? x ? ( yi ) ? x 2 ? y 2 .
2 2

结论: 两个共轭复数

z z 的积是实数

,

.

即:z ? x 2 ? y 2 . z
9

? z1 ? z1 (1) z1 ? z2 ? z1 ? z2 ; z1 ? z2 ? z1 ? z2 ; ? ? ? ; ? z2 ? z2

共轭复数的性质

( 2) z ? z;
( 3) z ? z ? ?Re( z )? ? ?Im( z )? ;
2 2

(4) z ? z ? 2 Re( z ), z ? z ? 2i Im( z ).
以上各式证明略.

10

例1 (1) z z

设 z , z
1

2

为两个任意复数 (2) z
1

, 证明
? z
2

:
.
2

? z
1

z ;
2

? z
1

? z

1 2



(1) z1 z2 ? ( z1 z2 )( z1 z2 ) ? ( z1 z2 )( z1 z2 )
? ( z1 z1 )( z2 z2 ) ? z1 z2 .

(2) z1 ? z2 ? ( z1 ? z2 )( z1 ? z2 ) ? ( z1 ? z2 )( z1 ? z2 )
2

? z1 z1 ? z2 z2 ? z1 z2 ? z1 z2
? z1 ? z2 ? z1 z2 ? z1 z2
2 2
11

因为 z1 z2 ? z1 z2 ? 2 Re( z1 z2 ),

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? 2 Re( z1 z2 )
2 2 2

? z1 ? z2 ? 2 z1 z2
2 2

? z1 ? z2 ? 2 z1 z2
2 2

? ( z1 ? z2 )2 ,

两边同时开方得

z1 ? z2 ? z1 ? z2 .

同理可证: z1 ? z2 ? z1 ? z2 .
12

复数的运算
交换律、结合律、分配律成立 z1 ? x1 ? iy1 , 设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数

z2 ? x2 ? iy2

加减运算

z1 ± z2 =(x1 ± x2) +i(y1 ± y2 )
z1 ? z 2 ? z1 ? z 2

z1 ? z 2 ? z1 ? z 2

- z2

复数加减法满足 平行四边形法则
z1 +(- z2)
13

乘法运算
z1 z2 ? ( x1 x2 ? y1 y2 ) ? i( x1 y2 ? x2 y1 ) ? ?1 ? 2 exp[i(?1 ? ?2 )] ? ?1 ? 2 ?cos(?1 ? ?2 ) ? i sin(?1 ? ?2 ) ?

除法运算
z1 x1 x2 ? y1 y2 x1 y2 ? x2 y1 ? ?i 2 2 2 z2 x2 ? y2 x2 ? y22

两个复数相乘 等于它们的模相乘, 幅角相加

两个复数相除等 ?1 ? ? cos(?1 ? ? 2 ) ? i sin(?1 ? ? 2 ) ? 于它们的模相除, ?2 幅角相减 ?1 ? exp[i(?1 ? ? 2 )] ?2 14

乘方运算

z ? [r (cos? ? i sin? )] ? r (cos n? ? i sin n? )
n n n

当r=1时

(cos? ? i sin? ) ? cos n? ? i sin n? ? e
n

in?

上式对所有n取整数,恒成立。
15

开方运算

w ?z
n

w? z
n

z ? r (cos? ? i sin? ), w ? ? (cos? ? i sin ? )

? (cos n? ? i sin n? ) ? r (cos? ? i sin ? )
n

? n ? r , n? ? ? ? 2k?
n 1 n

(k ? 0,?1,?2...)

? 2k? ? 2k? w ? z ? r [cos( ? ) ? i sin( ? )] n n n n
16

? 2k? ? 2k? w ? z ? r [cos( ? ) ? i sin( ? )] n n n n
n 1 n

从这个表达式可以看出:

1)当k=0,1,2…n-1时,得到n个相异的值;当 k取其他整数值时,将重复出现上述n个值。因 此,一个复数z的n次方根有且仅有n个相异值。
2)上述n个方根具有相同的模,而每个相邻值 的辐角差为2π/n,故在几何上,w的n个值分布 在以原点为中心,r1/n为半径的圆内接正n边形 的顶点上。
17

? 模有限的复数和复数平面上的有限远点是一一对 应的。 ? 复变函数理论中无穷大也理解为复数平面上的一 个“点”,称为无限远点,记为∞,其模大于任 何正数,辐角不定。平面上的具体点难以描绘无 限远点,为此引入复球面的概念。 ? 把一个球放在复平面, 使其南极S与复
N A‘ y S o x A

平面相切于原点,复平面上任一点A 与 球的北极N连线交与球面A’点 ,则复平面 上每一有限远点与球面上的点一一对 应(此对应称测地投影),A无限远离o 时,A‘点无限趋近于N,故可将N看做无 限远点的代表点。此球面称为复球面或 黎曼球面,复平面上只有一个无穷远点。

18

复平面上的点集
z ? z0 ? ? z0 定义 由不等式 (δ为任意的正数)所确定的复平面点集(以后平面点 集均简称点集),就是以z0为中心的δ邻域或邻域。而 称由不等式 0? z?z ??
0

δ

所确定的点集为z0的去心δ邻域或去心邻域。

19

内点,外点,边界点 开集 定义 设D为点集,z0为D中的一点。如果存在z0的 一个邻域,该邻域内的所有点都属于D,则称z0为D的 内点;若点z0的某一个邻域内的点都不属于D ,则称 点z0为D的外点。若在点z0的任意一个邻域内,既有属 于D的点,也有不属于D的点,则称点z0为D的边界点, 点集D的全部边界点称为D的边界。
注意 区域的边界可能是 由几条曲线和一些孤立的点所 组成的。
开集 定义

z0

若点集D的点皆为内 点,则称D为开集

D
20

区域

定义

点集D称为一个区域,如果它满足:

(1) 属于D的点都是D的内点,或D是一个开集;

(2) D是连通的,就是说D中任何两点z1和z2都
可以用完全属于D的一条折线连接起来。 通常称具有性质(2)的 集为连通的,所以一个区 域就是一个连通的开集。 区域D加上它的边界C(p) 称为闭区域或闭域,记 为D

D

z1

z2

z ? z0 ? r
p

21

区域概念总结 邻域 内点 外点 复平面上圆?内点的集合 z 和它的邻域都属于 D, 则 z 为 D 的内点 z 和它的邻域都不属于 D, 则 z 为 D 的外点

边界点 不是内点,也不是外点的点 边界 区域 闭区域 全体边界点的集合 内点组成的连通集合 区域和边界线的全体 区域
22

? z
z

z ? z0 ? r

y
R O x

y
R O x

y
r R

O

x

| z |? R
y
?2

| z |? R
y
?1

r ?| z |? R
y

O

?1

O

x

-R

O

R

x

x

?1 ? arg z ? ? 2

Im z ? 0

| z |? R, Im z ? 0
23

曲线
如果曲线 ? : z ? z(t ) ? x(t ) ? iy(t ) (? ? t ? ? ) 的实部x(t)和虚部y(t)均为t的连续函数,那么 曲线Г就叫连续曲线。 对于连续曲线,? : z ? z(t )当t1 ? t2时,z(t1 ) ? z(t2 ) 则曲线没有重点(纽结),则称Г为简单曲线。 当 z(? ) ? z(? ) 时,则称简单闭曲线。 光滑曲线:若连续曲线 ? : z ? z (t ) (? ? t ? ? ) 在区间上存在连续的 x?(t ) 及 y?(t ),且两者不同时 为零,则在曲线上每点均有切线且切线方向是 连续变化的。

曲线内外部区分(若尔当定理)
简单闭曲线把扩充复平面分为两部分,一 部分是不含∞的点集,称为该曲线的内部;另 一部分是含∞的点集,称为该曲线的外部。这 两个区域都以给的简单闭曲线(也称若尔当曲 线)作为边界。

? 单连通域与多连通域
设B为复平面上的一个区域,如果在其中作一 条简单的闭曲线(自身不相交的闭合曲线),而 曲线内部总属于B ,则称B为单连通区域,否则 称为多连通区域。

B
单连通域

B
多连通域
26

举例

指出下列不等式中点z在怎样的点集 中变动?这些点集是不是单连通区域? 是否有界?

1 (1) Re z ? 2 ( 2) z ? i ? 2 ? i 1 (3) z ? 1, Re z ? 2

27

1.2 复变函数

复变函数的定义
设 E 是一个复数 z = x + iy 的集合 . 如果有一 个确定的法则存在 , 按这个法则 , 对于集合 E 中的 每一个复数 z, 就有一个或几个复数 w = u + iv 与 之对应 , 那末称复变数 w 是复变数 z 的函数 ( 简称 复变函数 ), 记作 w = f(z).
如果 z 的一个值对应着一个 w 的值, 那末 我们称函数 f ( z ) 是单值的. 如果 z 的一个值对应着两个或两个以上 w 的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是多值的.
28

映射(函数)的概念
对于复变函数, 由于它反映了两对变量u, v 和 x , y 之间的对应关系, 因而无法用同一平面内 的几何图形表示出来, 必须看成是两个复平面上 的点集之间的对应关系 .

1.映射的定义: 如果用 z 平面上的点表示自变量 z 的值,
而用另一个平面 w 平面上的点表示函数 w 的 值, 那么函数 w ? f ( z ) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集 G (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集 G * (函数值集合)的映射 (或变换).
29

这个映射通常简称为由函数 w ? f ( z ) 所构成的映射.
如果 G 中的点 z 被映射 w ? f ( z ) 映射成 G * 中的点 w, 那么 w 称为 z 的象 (映象), 而 z 称为 w 的原象.

30

2. 两个特殊的映射
(1) 函数 w ? z 构成的映射.
将 z 平面上的点 z ? a ? ib 映射成 w 平面上 的点 w ? a ? ib .
y
A

B

? z1 ? 2 ? 3i ? z 2 ? 1 ? 2i
x
C?

v

? w 2 ? 1 ? 2i
o
B?

C

o

u

A?

? w1 ? 2 ? 3i

z1 ? w1 , z2 ? w2 ,

?ABC ? ?A?B?C ?.
31

如果把 z 平面和 w 平面 重叠在一起, 不难看出w ? z 是关于实轴的一个对称映射.
且是全同图形.
y
A

?z ? w21
o

? z2 ? w1

B

? z1 ? 2 ? 3i ? z 2 ? 1 ? 2i
x
C?

v

? w 2 ? 1 ? 2i
o
B?

C

o

u

A?

? w1 ? 2 ? 3i

z1 ? w1 , z2 ? w2 ,

?ABC ? ?A?B?C ?.
32

( 2) 函数 w ? z 2 构成的映射.

显然将 z 平面上的点 z1 ? i , z2 ? 1 ? 2i , z3 ? ?1 映射成 w平面上的点 w1 ? ?1, w2 ? ?3 ? 4i , w3 ? 1.
y

? w2

v

z1 ? ? z3 o

? z2
x

? w

1

o

w3

?

u

33

根据复数的乘法公式可知,
映射 w ? z 2 将 z 的辐角增大一倍.
y

v

o

?

x

o

2?

u

将 z 平面上与实轴交角为? 的角形域映射成 w 平面上与实轴交角为2? 的角形域.
34

函数 w ? z 2 对应于两个二元实变函数 :
u ? x 2 ? y 2 , v ? 2 xy .

它把 z 平面上的两族分别以直线 y ? ? x 和坐 标轴为渐近线的等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? c1 , 2 xy ? c2 ,

分别映射成 w 平面上的两族平行直线 u ? c1 , v ? c2 .
(如下页图)

35

将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同 一个长方形.
y y

o

x

o

u

36

直线 x ? ? 的象的参数方程为:
u ? ? ? y , v ? 2?y . ( y 为参数)
2 2

消去参数 y 得 :

v 2 ? 4?2 (?2 ? u),

以原点为焦点,开口向左的抛物线.(图中红色曲线)
同理直线 y ? ? 的象为 :
v ? 4? ( ? ? u),
2 2 2

以原点为焦点,开口向右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
37

函数的极限
1.函数极限的定义: 设函数 w ? f ( z ) 定义在 z0 的去心邻域
0 ? z ? z0 ? ? 内, 如果有一确定的数 A 存在, 对于任意给定的? ? 0, 相应地必有一正数? (? ) 使得当 0 ? z ? z0 ? ? (0 ? ? ? ? )时, 有 f ( z ) ? A ? ? 那末称 A 为 f ( z ) 当 z 趋向于 z0 时的极限.
记作 lim f ( z ) ? A. (或 f ( z ) ?z ? z0 ? A) ? ?

注意: 定义中 z ? z0 的方式是任意的.
38

z ? z0

2. 极限计算的定理
定理一

设 lim f ( z ) ? A, lim g ( z ) ? B, 那么
z ? z0 z ? z0

(1) lim [ f ( z ) ? g ( z )] ? A ? B;
z ? z0 z ? z0

(2) lim [ f ( z ) g ( z )] ? AB; f ( z) A (3) lim ? z ? z0 g ( z ) B ( B ? 0).

与实变函数的极限运算法则类似.
39

定理二

设 f ( z ) ? u ( x, y ) ? iv( x, y ), A ? u0 ? iv0 , z0 ? x0 ? iy0 , 那么 lim f ( z ) ? A 的充要条件是
z ? z0 x ? x0 y ? y0

lim u ( x, y ) ? u0 ,
(1)

x ? x0 y ? y0

lim v( x, y ) ? v0 .
z ? z0



必要性.

如果 lim f ( z ) ? A,

根据极限的定义 当 0 ? ( x ? iy ) ? ( x0 ? iy0 ) ? ? 时,
( u ? iv ) ? ( u0 ? iv0 ) ? ? ,
40

或当 0 ? ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ? 时,
( u ? u0 ) ? i (v ? v0 ) ? ? , ? u ? u0 ? ? , v ? v0 ? ? ,

故 lim u( x , y ) ? u0 ,
x ? x0 y ? y0

x ? x0 y ? y0

lim v ( x , y ) ? v0 . lim v ( x , y ) ? v0 ,

lim (2) 充分性. 若 x ? x u( x , y ) ? u0 ,
0 y ? y0

x ? x0 y ? y0

那么当 0 ? ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ? 时,
有 u ? u0 ? , v ? v0 ? , 2 2
41

?

?

f ( z ) ? A ? ( u ? u0 ) ? i (v ? v0 ) ? u ? u0 ? v ? v0 故当 0 ? z ? z0 ? ? 时, f ( z ) ? A ? ? ,

所以 lim f ( z ) ? A.
z ? z0

[证毕]

说明
该定理将求复变函数 f ( z ) ? u( x , y ) ? iv ( x , y ) 的极限问题, 转化为求两个二元实变函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题.
42

例1

Re( z ) 证明函数 f ( z ) ? 当 z ? 0 时的极限 z

不存在.

证 (一)

令 z ? x ? iy , 则 f ( z ) ?

x , 2 2 x ?y

u( x , y ) ?

x , v ( x , y ) ? 0, 2 2 x ?y

当 z 沿直线 y ? kx 趋于零时, x x lim u( x , y ) ? lim ? lim 2 2 2 2 x ?0 x ?0 x ?0 x ?y x ? ( kx ) y ? kx y ? kx
43

1 x ?? , ? lim 2 2 2 x ?0 1? k x (1 ? k )

随 k 值的变化而变化,
所以 lim u( x , y ) 不存在, lim v ( x , y ) ? 0,
x ? x0 y ? y0

x ? x0 y ? y0

根据定理二可知, lim f ( z ) 不存在.
z?0

证 (二)

令 z ? r (cos? ? i sin? ),

r cos? ? cos? , 则 f (z) ? r
44

当 z 沿不同的射线 arg z ? ? 趋于零时, f ( z )趋于不同的值. 例如 z 沿正实轴 arg z ? 0 趋于零时, f ( z ) ? 1,

π 沿 arg z ? 趋于零时, f ( z ) ? 0, 2

故 lim f ( z ) 不存在.
z?0

45

z 证明函数 f ( z ) ? ( z ? 0) 当 z ? 0 时的极 z 限不存在.
例2



令 z ? x ? iy ,

f ( z ) ? u ? iv ,
2 xy v( x, y ) ? 2 , 2 x ?y

x2 ? y2 则 u( x , y ) ? 2 , 2 x ?y

当 z 沿直线 y ? kx 趋于零时, 2k 2 xy ? , lim v ( x , y ) ? lim 2 2 2 x ?0 x ?0 x ? y 1? k y ? kx y ? kx
46

随 k 值的变化而变化,
所以 lim v ( x , y ) 不存在,
x ? x0 y ? y0

根据定理二可知, lim f ( z ) 不存在. z?0

47

函数的连续性

1. 连续的定义
如果 lim f ( z ) ? f ( z0 ), 那末我们就说 f ( z )
z ? z0

在点 z0 处连续. 如果 f ( z ) 在区域 B 内处处连续, 我们说 f ( z ) 在 B 内连续.
函数 f ( z ) 在曲线 C 上 z0 处连续的意义是 lim f ( z ) ? f ( z0 ), z ? C .
z ? z0
48

定理三
函数 f ( z ) ? u( x , y ) ? iv ( x , y ) 在z0 ? x0 ? iy0 连续的充要条件是: u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 处连续.
f ( z ) ? ln( x 2 ? y 2 ) ? i ( x 2 ? y 2 ),
2 2

例如,

u( x , y ) ? ln( x ? y ) 在复平面内除原点外处 处连续, v ( x , y ) ? x 2 ? y 2 在复平面内处处连续,
故 f ( x , y ) 在复平面内除原点外处处连续.
49

定理四
(1) 在 z0 连续的两个函数 f ( z ) 和 g( z ) 的和、差、 积、商 (分母在 z0 不为零) 在 z0处仍连续.

(2) 如果函数 h ? g ( z )在 z 0 连续, 函数 w ? f (h)在 h0 ? g ( z 0 ) 连续, 那么复合函数 w ? f [ g ( z )] 在 z 0 处 连续.

50

例3

证明 : 如果 f ( z ) 在 z0 连续, 那么 f ( z ) 在 z0
设 f ( z ) ? u( x , y ) ? iv ( x , y ),

也连续.

则 f ( z ) ? u( x , y ) ? iv ( x , y ),

由 f ( z ) 在 z0 连续, 知 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 ( x0 , y0 )处都连续, 于是 u( x , y ) 和 ? v ( x , y ) 也在 ( x0 , y0 )处连续,
故 f ( z ) 在 z0 连续.
51

1.3导数(微分) 1.导数的定义
设函数 w ? f ( z ) 定义于区域 D, z0 为D 中的一 点, 点 z0 ? ?z 不出 D 的范围,
f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) 如果极限 lim 存在, ?z ? 0 ?z 那 就 么 称 f ( z ) 在z0可 .这 极 值 为 导 个 限 称

f ( z ) 在 z0

的 数, 导
记作 dw f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) f ?( z0 ) ? ? lim . dz z ? z0 ?z ?0 ?z
52

在定义中应注意:
z0 ? ?z ? z0 (即?z ? 0)的方式是任意的.

即z0 ? ?z在区域D内以任意方式趋于z0时, f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) 比值 都趋于同一个数. ?z

如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处可导, 我们 就称 f ( z ) 在区域内 D 可导.

53

例1

求f ( z ) ? z 2的导数.



f ( z ? ?z ) ? f ( z ) f ?( z ) ? lim ?z ? 0 ?z
( z ? ?z ) ? z ? lim ?z ? 0 ?z
2 2

? lim ( 2 z ? ?z ) ? 2z .
?z ? 0

( z 2 )? ? 2 z

54

例2

问f ( z ) ? x ? 2 yi是否可导?   



?f f ( z ? ?z ) ? f ( z ) lim ? lim ?z ? 0 ? z ?z ? 0 ?z ( x ? ?x ) ? 2( y ? ?y )i ? x ? 2 yi ? lim ?z ? 0 ?z y
?x ? 2?yi ? lim ?z ? 0 ? x ? ? yi
z
o
?

?y ? 0
x

设z ? ?z沿着平行于 x 轴的直线趋向于 z,
55

?x ? 2?yi ?x lim ? lim ? 1, ?z ? 0 ?x ? ?yi ?x ? 0 ? x

设z ? ?z沿着平行于 y 轴的直线趋向于 z,
?x ? 2?yi 2?yi lim ? lim ? 2, ?z ? 0 ?x ? ?yi ?y ? 0 ?yi
所以f ( z ) ? x ? 2 yi的导数 不存在.   
o

?x ? 0
y

z

?

?y ? 0
x

56

函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函 数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证 根据在 z0 可导的定义, ?? ? 0, ?? ? 0, 使得当 0 ?| ?z |? ? 时,
f ( z0 ? ? z ) ? f ( z0 ) 有 ? f ?( z0 ) ? ? , ?z

2.可导与连续

则 lim ? ( ?z ) ? 0,
f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) 令 ? ( ?z ) ? ? f ?( z0 ) ?z 因为 f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) ? f ?( z0 )?z ? ? ( ?z )?z , 所以 lim f ( z0 ? ?z ) ? f ( z 0 ),
?z ?0 ?z ? 0

即f ( z )在 z0 连续.

[证毕]

57

3.求导法则
由于复变函数中导数的定义与一元实变函数 中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因 而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推 广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: (1) (c )? ? 0, 其中c为复常数.

? ? nz n?1 , 其中n为正整数. ( 2) ( z )
n
58

( 3) ( 4)

? f ( z ) ? g( z )? ? f ( z ) g( z )?
?

?

? f ?( z ) ? g?( z ).

?

? f ?( z ) g( z ) ? f ( z ) g?( z ).

f ?( z ) g ( z ) ? f ( z ) g ?( z ) ? f ( z )? ( 5) ? . ( g ( z ) ? 0) 2 ? ? g (z) ? g( z ) ?

? f [ g( z )]?? ? f ?( w ) g?( z ). 其中 w ? g( z ) ( 6)
1 (7 ) f ?( z ) ? , 其中 w ? f ( z )与z ? ? ( w )是 ? ?( w ) 两个互为反函数的单值函数, 且? ?( w ) ? 0
59

4.微分的概念
复变函数微分的概念在形式上与一元实变函 数的微分概念完全一致. 定义 设函数 w ? f ( z )在 z0 可导, 则 ?w ? f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) ? f ?( z0 ) ? ?z ? ? ( ?z )?z ,
式中 lim ? ( ?z ) ? 0, ? ( ?z )?z 是 ?z 的高阶无穷
?z ? 0

小, f ?( z0 ) ? ?z 是函数 w ? f ( z ) 的改变量 ?w 的 线性部分. f ?( z0 ) ? ?z 称为函数 w ? f ( z )在点 z0 的微分,

记作

dw ? f ?( z0 ) ? ?z .
60

如果函数在 z0 的微分存在, 则称函数 f ( z ) 在 z0 可微.

特别地,

当 f ( z ) ? z 时,

dw ? dz ? f ?( z0 ) ? ?z ? ?z ,
dw dw ? f ?( z0 ) ? ?z ? f ?( z0 ) ? dz , 即 f ?( z0 ) ? dz z ? z 0
函数 w ? f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
如果函数 f ( z )在 区域 D内处处可微, 则称 f ( z )在 区域 D内可微.
61

5 解析函数
? 解析函数的概念
设函数f(z)在点z0及z0某邻域内处处可导,则称函数f(z)在 点z0处解析;又若f(z)在区域B内的每一点解析,则称f(z)在区 域B内是解析函数 说明 1.解析与可导的关系 函数在某点解析,则必在该点可导;反之不然 在区域B内的解析函数必在B内可导 2 例:函数 f ( z ) ? z

只在z=0点可导,因而在复平面上处处不解析 2. 称函数的不解析点为奇点 f(z)在点z0 无定义或无确定值;
f(z)在点z0 不连续;

f(z)在点z0 不可导;
62 f(z)在点z0 可导,但找不到某个邻域在其内处处可导

由解析函数的定义和函数的求导法则可得:
(1)如果函数f(z)在区域σ中解析,则它在这个区域中是连 续的。 (2)如果f1(z)和f2(z)是区域σ中的解析函数,则其和、 差、积、商(商的情形要求分母在σ内不为零)也是该区域中 的解析函数。 (3)如果函数ξ=f(z)在区域σ内解析,而函数w=g(ξ)在 区域G内解析,若对于σ内的每一点z,函数f(z)的值ξ均属 于G,则函数w=g[f(z)]是区域σ上复变量z的一个解析函数。 (4)如果w=f(z)是区域σ上的一个解析函数,且在点z0∈ σ的邻域中|f’(z)|≠0,则在点w0=f(z)∈G的邻域中函数f (z)的值定义一个反函数z=ψ(w),它是复变量w的解析函 数。有f’(z0)=1/ ψ’(w0)。

柯西—黎曼方程 可导:对任何方向的,极限都存在并唯一。
0 实数

x

x ? ?x

实数: ?x沿实轴逼近零。
y 复数 z
z ? ?z

复函数?z沿任一曲线逼近零。
z ? ?z'

x

因此,复函数的可导性是比实函 数的可导性条件强得多。

64

Q:当u,v有偏导时,在什么补充条件下, W=f(z)也有导数? 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D 上有定义,在D内一点z=x+iy可导,有
f ( z ? ?z ) ? f ( z ) lim ? f ?( z ) ?z ?0 ?z 设?z ? ?x ? i?y, f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? ?u ? i?v 其中?u ? u ( x ? ?x, y ? ?y ) ? u ( x, y ), ?v ? v( x ? ?x, y ? ?y ) ? v( x, y )
?u ? i ?v lim ? f ?( z ) ?x ? 0 ?x ? i?y ?y ? 0

?z沿实轴, ?y?0
f ?( z ) ? ?u ?v ?i ?x ?x
f ?( z ) ? ?u ?v ?i ?x ?x

?z沿虚轴, ?x?0
f ?( z ) ? ?u ?v ?i i?y i?y

f ?( z ) ?

?v ?u ?i ?y ?y

可导,要求二者相等
?u ?v ? ?x ?y ?u ?v ?? ?y ?x

柯西—黎曼方程
66

解析函数的充分条件
设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y),若u(x,y)和v(x,y)在B内满足
(1) u ( x, y )和v( x, y )在B内的偏导数存在且连续; (2) 在B内每一点满足Cauchy ? Riemann 条件

那么f(z)在B内解析(证明见教材P15-16)。

注意:解析函数的实部和虚部满足C-R条件 且都是调和函数(调和函数概念及证明见教 材P17)
67

? 解析函数的实部和虚部通过C-R条件联系着,因此,只要知 道解析函数的实部(或虚部),就能求出相应的虚部(或实 部)。具体可以用以下两种方法求: (1)已知u求v,可以从全微分出发:

?v ?v ?u ?u dv ? dx ? dy ? ? dx ? dy ?x ?y ?y ?x ?u ?u ? v ? ? dx ? dy ? C ?y ?x

?

68

(2)已知u求v,还可以由关系 ,对y积分来 求: ?v ?u v? dy ?ψ ( x) ? dy ?ψ ( x) ?y ?x

?v ?u ? ?y ?x

?

?

?v ? ?u ?u ? ? dy ?ψ ' ( x) ? ? ?x ?x ?x ?y

?

当然也可以由关系 两边对x积分,类似 上述过程求v。 像解析函数的实部和虚部这样的两个由C-R条件 联系着的调和函数u和v,称为共轭调和函数。

?v ?u ?? ?x ?y

69

例:试证 f ( z ) ? e x (cos y ? i sin y) 在复平面上 解析,且 f ?( z) ? f ( z) 证:
u ? e x cos y ?u ? e x cos y ?x ?v ? e x sin y ?x v ? e x sin y ?u ? ?e x sin y ?y ?v ? e x cos y ?y

这四个偏导在复平面处处连续,且:

?u ?v ?u ?v ? , ?? ?x ?y ?y ?x

注:最后的求导利 用P16结果
70

所以f(z)在复平面内解析,同时 f ?( z ) ? f ( z )

注意 e z 没有幂的意义 , 只是一个符号.

1.4 初等解析函数
1 指数函数
定义 设z ? x ? iy .

代表e x (cos y ? i sin y )

这里的ex是实 指数函数
实的正 余弦函数

称e ? e (cos y ? i sin y )为z的指数函数. (a ) | e z |? e x ? 0, arg( e z ) ? y ? 性质: ? z
z x

Arg( e ) ? y ? 2k? , k ? Z
z

?? e ?0 ? ?

(b) e z 在z平面上处处解析, 而且(e z )? ? e z ; (c ) e z1 e z2 ? e z1 ? z2 ; (d ) e z是以2?i为周期的周期函数.
71

2 三角函数

三角正弦与余弦函数
因为 e iy ? cos y ? i sin y , e ? iy ? cos y ? i sin y ,

将两式相加与相减, 得
e iy ? e ? iy cos y ? , 2 e iy ? e ? iy sin y ? . 2i

现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变
数取复值的情况.
72

三角函数 e iz ? e ? iz 定义 sin z ? , 称为正弦函数. 2i iz ? iz e ?e cos z ? , 称为余弦函数. 2 性质 (1) sin z 是奇函数, cos z 是偶函数. sin( ? z ) ? ? sin z , cos(? z ) ? cos z .
( 2) 正弦函数和余弦函数都以 2π 为周期. sin( z ? 2?) ? sin z , cos( z ? 2?) ? cos z . ( 3) e iz ? cos z ? i sin z .
73

(4) sinz的零点(i.e. sinz=0的根)为z=n? cosz的零点(i.e. cosz=0的根)为z=(n+1/2)?
e ?e sin z ? 0 ? ? 0 ? e iz ? e ? iz 2i ? e i 2 z ? 1 ? z ? n? n ? Z
iz ? iz

n=0,??1, ?2,·,?n,· · · · ·

(5)

sinz,cosz在复数域内均是无界函数

e? y ? e y 当 y ? ?时 , sin yi ? ? ? , cos yi ? ? . 2i

(注意:这是与实变函数完全不同的)
74

定义

sin z tan z ? 称为正切函数. cos z

性质 (1) tan z 是奇函数 : tan( ? z ) ? ? tan( z ).

( 2) tan z 是以?为周期的周期函数: tan( z ? ? ) ? tan z .
其它复变三角函数的定义
cos z 余切函数 cot z ? , sin z 1 正割函数 secz ? , cos z 1 余割函数 csc z ? . sin z
75

3 双曲函数
e z ? e?z 定义 shz ? , 称为双曲正弦函数. 2 e z ? e?z chz ? , 称为双曲余弦函数. 2 性质 (1) sh z 是奇函数 : sh( ? z ) ? ? sh z; ch z 是偶函数 : ch( ? z ) ? ch z; ( 2) sh z , ch z都是以2?i为周期的周期函数; ( 3) sh z , ch z在z平面上处处解析, 且 ? ? ch z , (ch z )? ? sh z; (sh z ) (4) ch 2 z ? sh 2 z ? 1; (5) sin( iz ) ? ? i sh z , cos(iz ) ? ch z .
76

4 对数函数
满足方程 e w ? z ( z ? 0) 的函数 w ? f ( z ) 称为对数函数, 记为 w ? Ln z .

因此

w ? Ln z ? ln z ? i Arg z
? ln z ? i arg z ? 2k? i
( k ? 0,?1, ? 2,?).

其中ln z ? ln z ? i arg z ( ? ? ? arg z ? ? )称为对数函 数 Ln z的主值(支), 所以
Ln z ? ln z ? 2k?i ( k ? 0,?1,?2,?).
77

对于每一个固定的k , 可确定一个单值函数, 称为 Ln z 的一个分支.

性质 (1) Ln z是一个无穷多值的函数 ;

( 2) 设z1 ? 0, z2 ? 0, 则 z1 Ln z1 z2 ? Ln z1 ? Ln z2 , Ln ? Ln z1 ? Ln z2 ; z2

( 3) 在平面上除去原点和负实轴外, ln z处 处解析, 且
1 (ln z )? ? . z
78

? 多值函数的概念 初等复变多值函数的多值性是由于辐角的 多值性引起的,所以我们先研究辐角函数:

w ? Argz ,
w=Argz函数有无穷个不同的值:
w ? Argz ? arg z ? 2k? (k ? Z ), z ? 0

其中argz表示Argz的主值:

? ? ? arg z ? ?

为了研究方便起见,我们把幅角函数在某些区域内分解为一些单 值连续函数,每一个单值连续函数称为幅角函数在这区域内的一个 单值连续分支。 考虑复平面除去负实轴(包括0)而得的区域D。显然,在D内 Argz的主值argz :

? ? ? arg z ? ?

是一个单值连续函数 。 对一个固定的整数k,

arg z ? 2k?

也是一个单值连续函数 。 因此,w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值连续函数, 它们都是w=Argz在D内的单值连续分支。

? 我们研究下图的情形:
沿负实轴的割线

上沿
下沿
arg z |上沿 ? ?? arg z |下沿 ? ??

z0 ? 0

z0 ? 0时,z绕z0一圈时, arg z不变。

z0 ? 0
z0 ? 0时,z绕z0一圈时, arg z增加或减少2?

z0 ? ?

z0 ? ?时,z" 绕z0 "一圈时, arg z增加或减少2?

? 因此,对于幅角函数w=Argz,0和无穷远点是 特殊的两点。在复平面上,取连接0和无穷远 点的一条无界简单连续曲线L作为割线,得到 一个区域D,其边界就是曲线L。则可以将argz 分解成一些连续分支。

? 结论
对于幅角函数w=Argz可以分解成无穷个单值连续分支

arg z ? 2k? (arg z1 ? ?1 ),

Argz在C内上任一点(非原点)的各值之间的联系:通 过作一条简单连续曲线围绕0或无穷远点,让z从某点按 一定方向沿曲线连续变动若干周后,回到该点时,Argz 相应地可从幅角函数的一值连续变动到它在预先指定的 其它任一值,即从Argz的一个单值连续分支在该点的值 ,连续变动到预先指定的其它单值连续分支在该点的值 。

? 三种对数函数的联系与区别

函数
ln x

单值与多值

定义域

注解

单值 多值 单值

所有正实数
所有非零复数
所有非零复数

Lnz ln z

一个单值 分支为ln z z ? x ? 0时, 为ln x

? 对数函数的每个单值连续分支都是解析的,我们 也将它的连续分支称为解析分支。对数函数是一 个无穷多值解析函数。 ? 我们称原点和无穷远点是对数函数的无穷阶支点 (对数支点);它们存在以下特点:
1、当z绕它们连续变化一周时,Lnz连续变化到其它值; 2、不论如何沿同一方向变化,永远不会回到同一个值。

例: Ln(2 ? 3i)的值。 计算
解:因为| 2 ? 3i |? 13, 2 ? 3i) ? ? arctan 3 ,所以有 arg( 2

Ln(2 - 3i) ? ln 13 ? i(arctan 3 ? 2k? ) 2

? 1 ln 13 ? i (arctan 3 ? 2k? ) 2 2 (k ? 0,?1,?2,?)。

89

5 幂函数
定义 设?是任意复数, 对于z ? 0, 用下列等式定义 z 的幂函数 :
w ? z? ? e? Ln z ( z ? 0).

当 ? 是正实数时, 补充规定 z ? 0 时, z? ? 0.

性质 (1) 一般说来, z? 是一个无穷多值函数. 当 Ln z 取主值 ln z时, z ? e
? ? ln z

称为幂函数z 的主值;

?

( 2) ( z? )? ? ?z? ?1 .
90

3)当α取整数n时,

z ?z

?

n

幂函数是一个单值函数。 4)当α取1/n(n为整数)时,

w? z ?e ?e arg z ? 2 k? 1 i n ?| z |n e (k ? 0,1,2,?, n ? 1).
幂函数是一个n值函数。
91

1 n

1 Lnz n

1[ ln | z|? i (arg z ? 2 k? )] n

计算1

2

及i i的所有值。

解: 由定义:
1
2

?e

2 Ln1

?e

2 (ln 1? i 2 k? )

? ei 2

2k?

? cos (2 2k? ) ? i s in(2 2k? ) k ? 0,?1,?2...
i ?e
i iLni

?e

i (ln 1? i arg i ? i 2 k? )

?e

i (i

?
2

? i 2 k? )

?e

?(

?
2

? 2 k? )

k ? 0,?1,?2...

本章小结
复数

复变函数

解析函数



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