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等差数列及其前n项和



§ 2.2-2.3

等差数列及其前 n 项和

1.等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d,当 d=0 时,an 是关于 n 的常函数;当 d≠0 时,an 是关于 n 的一次函数;点(n,an)分布在以 d 为斜率的直线上,是这条直线上的一列孤 立的点. am-an 2.已知在公差为 d 的等差数列{an}中的第 m 项 am 和

第 n 项 an(m≠n),则 =d. m-n 3.对于任意的正整数 m、n、p、q,若 m+n=p+q.则在等差数列{an}中,am+an 与 ap+aq 之间的关系为 am+an=ap+aq. 4.前 n 项和 Sn 与 an 之间的关系 ? ?n=1?, ?S1 对任意数列{an},Sn 是前 n 项和,Sn 与 an 的关系可以表示为 an=? ?Sn-Sn-1?n≥2?. ? 5.等差数列前 n 项和公式 n?a1+an? n?n-1? Sn= =na1+ d. 2 2 6.等差数列前 n 项和的最值 (1)在等差数列{an}中 ? ?an≥0 当 a1>0,d<0 时,Sn 有最大值,使 Sn 取到最值的 n 可由不等式组? 确定; ?an+1≤0 ?
? ?an≤0 当 a1<0,d>0 时,Sn 有最小值,使 Sn 取到最值的 n 可由不等式组? 确定. ?an+1≥0 ? d? d (2)因为 Sn= n2+? ?a1-2?n,若 d≠0,则从二次函数的角度看:当 d>0 时,Sn 有最小值; 2 当 d<0 时,Sn 有最大值;且 n 取最接近对称轴的自然数时,Sn 取到最值. 一个有用的结论: 若 Sn=an2+bn,则数列{an}是等差数列.反之亦然.

一、选择题 1 1.在等差数列{an}中,若 a2+a4+a6+a8+a10=80,则 a7- a8 的值为( ) 2 A.4 B.6 C.8 D.10 2.已知数列{an}为等差数列且 a1+a7+a13=4π,则 tan(a2+a12)的值为( ) A. 3 B.± 3 3 C.- D.- 3 3 3.已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0),且 a3+a6+a10+a13=32,若 am=8, 则 m 为( ) A.12 B.8 C.6 D.4 4.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7 等于( ) A.14 B.21 C.28 D.35

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5.设公差为-2 的等差数列{an},如果 a1+a4+a7+…+a97=50, 那么 a3+a6+a9+…+a99 等于( ) A.-182 B.-78 C.-148 D.-82 6.若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则 ap+q 为( ) A.p+q B.0 p+q C.-(p+q) D. 2 7.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 an 等于( ) 2 A.nB.n C.2n+1 D.2n-1 8.数列{an}为等差数列,它的前 n 项和为 Sn,若 Sn=(n+1)2+λ,则 λ 的值是( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 为( ) A.9 B.8 C.7 D.6 S3 1 S6 10.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 等于( ) S6 3 S12 3 1 1 1 A. B. C. D. 10 3 8 9 a5 5 S9 11.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 等于( ) a3 9 S5 A.1 B.-1 1 C.2 D. 2 12. 设{an}是等差数列, Sn 是其前 n 项和, 且 S5<S6, S6=S7>S8, 则下列结论错误的是( ) A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 二、填空题 13.若{an}是等差数列,a15=8,a60=20,则 a75=________. 14.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20=________. ?1? 15.已知?a ?是等差数列,且 a4=6,a6=4,则 a10=______. ? n? 1 16.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则 4 |m-n|=________. 17.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2-n,(n∈N*),则通项 an=________. 18.在等差数列{an}中,a1=25,S9=S17,则前 n 项和 Sn 的最大值是________. 19.在等差数列{an}中,已知前三项和为 15,最后三项和为 78,所有项和为 155,则项 数 n=________. 20.等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列在 n=k 时,前 n 项和 Sn 取到最小值,则 k 的值是________. 三、解答题 21.等差数列{an}的公差 d≠0,试比较 a4a9 与 a6a7 的大小.

22.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.
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23.设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值.

24.已知等差数列{an}中,记 Sn 是它的前 n 项和,若 S2=16,S4=24,求数列{|an|}的
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前 n 项和 Tn.

am-an 1.在等差数列{an}中,当 m≠n 时,d= 为公差公式,利用这个公式很容易求出 m-n 公差,还可变形为 am=an+(m-n)d. 2.等差数列{an}中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍 然是等差数列. 3.等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 an+am=ap+aq(n,m,p,q∈N*),特别地, 若 m+n=2p,则 an+am=2ap. 4.公式 an=Sn-Sn-1 并非对所有的 n∈N*都成立,而只对 n≥2 的正整数才成立.由 Sn 求通项公式 an=f(n)时,要分 n=1 和 n≥2 两种情况分别计算,然后验证两种情况可否用统 一解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示. 5.求等差数列前 n 项和的最值 (1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前 n 项和的最值,但要注意 n∈N*,结 合二次函数图象的对称性来确定 n 的值,更加直观. ? ? ?an≥0, ?an≤0, (2)通项法:当 a1>0,d<0,? 时,Sn 取得最大值;当 a1<0,d>0,? 时, ?an+1≤0 ?an+1≥0 ? ? Sn 取得最小值. 6.求等差数列{an}前 n 项的绝对值之和,关键是找到数列{an}的正负项的分界点.

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