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河南省开封市2016届高三上学期第一次模拟考试(理数)



河南省开封市 2016 届高三上学期第一次模拟考试 数学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第(22)-(23)题 为选考题,其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1、答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上 的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标 号,非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁,不折叠,不破损。 5、做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑。 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,? xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] n

V?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积,体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4? R2

4 V ? ? R3 3

其中 R 为球的半径

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知复数 z ? 1 ? ai (a ? R) ( i 是虚数单位) , A. 2 B. ?2 C. ?2 D. ?

z 3 4 ? ? ? i ,则 a ? ( B ) z 5 5

1 2

1

2. 设 a=( ,cos θ)与 b=(-1,2cos θ)垂直,则 cos 2θ 的值等于(C)

A.-

B.0 C.- D.-1

3. 已知命题 p1 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 为增函数, p2 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 为减函数, 则在命题 q1 :p1 ? p2 ; 真命题是( C ) A. q1 , q3 B. q2 , q3 C. q1 , q4 (D) q2 , q4

q2 :p1 ? p2 ;

q3 :? ? p1 ? ? p2 和

q4 :p1 ? ? ? p2 ? 中,

4. 已 知函 数 f ( x) 是 定义 在 R 上 的 偶函 数 , 且在 区间 [0, ??) 单 调 递增 . 若 实数 a 满 足
f (log 2 a ) ? f (log 1 a ) ? 2 f (1) , 则 a 的最小值是(
2

C )

1 D.2 2 5. 如图的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三个数中最大的数,那么在空 白的判断框中,应该填入下面四个选项中的 ( A ) A. c ? x ? B. x ? c ? C. c ? b ? D. b ? c ?

A.

3 2

B.1

C.

6.下列说法错误的是( B



A. 自变量取值一定时, 因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的 关系叫做相关关系; B.在线性回归分析中,相关系数 r 的值越大,变量间的相关性越强; C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高; D.在回归分析中, R 为 0.98 的模型比 R 为 0.80 的模型拟合的效果好. 7. g(x)=f(x)-1 在[-2π,0]上零点的个数为(B) A.0 B.1 C.2 D.3
2 2

? x ? y ?1 ? 若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 ?
则 ? 的取值范围是( B )

且目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值,

2

8. 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等, 则甲或乙被录用的概率为( D ). A.

1 5

B.

3 5

C.

7 10

D.

9 10

9. 已知在各项为正的等比数列{an}中,a2 与 a8 的等比中项为 8,则 4a3+a7 取最小值时首项 a1 等 于(C) A.8 B.4 C.2 D.1 10.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的 表面积为(A)

A.

B.

C.

D.

5 x2 y 2 11. 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 满足彖件: (1)焦点为 F (2)离心率为 , 1 (?5,0), F 2 (5,0) ; 3 a b
求得双曲线 C 的方程为 f ( x, y) ? 0 . 若去掉条件(2) ,另加一个条件求得双曲线 C 的方程 仍为 f ( x, y) ? 0 ,则下列四个条件中,符合添加的条件共有 ( B )

①双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 上的任意点 P 都满足 || PF1 | ? | PF2 ||? 6 ; a 2 b2

x2 y 2 ②双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的虚轴长为 4; a b
③双曲线 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1 的一个顶点与抛物线 y2=6x 的焦点重合; 2 a b x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 4 x ? 3 y ? 0 . a 2 b2
B.2 个 C .3 个 D.4 个

④双曲线 C : A.1 个

12. 设函数 f(x)=ex(x3- 3x+3) -aex 一 x(x≥-2) ,若不等式 f ( x ) ≤0 有解.则实数 a 的最小值为 (C)

3

A.

2 —1 e

B.2 一

2 e

C.1 -

1 e

D.1+2e2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答,第(22)题~第(24)题为选考题,考试根据要求做答。 一、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 设函数 ( f x) = , 则方程 ( f x) = 的解集为 {﹣1, }.

14. 已知函数 f ( x ) =2sin(π+x)sin(x+ 则? ? .

? 6

? ? ? )的图象关于原点对称,其中 ? ? (0, ? ) ,则函数. 3

15. 在△ABC 中, 点 O 在线段 BC 的延长线上, 且 | BO |? 3| CO |, 当AO ? 时,则 x-y= .-2

??? ?

??? ?

????

??? ? ??? ? xAB ? yAC

16. 已知函数

的定义域为 R,当

时,

,且对任意的实数 ,



等式 ,则 的值为

恒成立.若数列{ .4021

}满足

,且

=

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 ccosA,bcosB,acosC 成等差数 列 (Ⅰ)求∠B; (Ⅱ)若 , ,求△ABC 的面积.

解: (Ⅰ)∵ccosA,BcosB,acosC 成等差数列, ∴2bcosB=ccosA+acosC 由正弦定理知:a=2RsinA,c=2RsinC,b=2RsinB 代入上式得:2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC,即 2sinBcosB=sin(A+C) . 又 A+C=π﹣B,所以有 2sinBcosB=sin(π﹣B) ,即 2sinBcosB=sinB. 而 sinB≠0,所以 cosB=

1 ,及 0<B<π,得 B= 2



4

(Ⅱ)由余弦定理得:cosB=

= ,



= , ,b= ,

又 a+c= ∴

﹣2ac﹣3=ac,即 ac= , = .

∴S△ABC= acsinB= × ×

18.(本小题满分 12 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90° ,CD∥AB,AD=CD= AB=2,点 E 为 AC 中 点.将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D﹣ABC,如图 2 所示. (Ⅰ)证明:平面 ABD ? 平面 BCD ; (Ⅱ)求二面角 D ? AB ? C 的余弦值.

解: (Ⅰ)? 平面 ADC⊥平面 ABC,且 AC ? BC ,

? BC ? 平面ACD, 即 AD ? BC , 又 ? AD ? CD,? AD ? 平面BCD,

? 平面 ABD ? 平面 BCD
(Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系 设平面 ABD 和平面

ABC 的法向量分别是 m ? ? x1, y1, z1 ? , n ? ? x2 , y2 , z2 ? ,

C ? 0, 0, 0 ?,A

?

? 2 2? 2, 0, 0 ,D ? , 0, ?,B 0,2, 0 2 ? ? 2

?

?

?

? ???? ? 2 2 ? ??? , 0, ? , AB ? ? 2,2,0 . AD ? ? ? 2 ? ? 2 ???? ??? ? 由 m ? AD ? 0, m ? AB ? 0 解得 m ? ?1,1,1?,

?

?

n ? ? 0,0,1? ,

5

cos m.n ?

3 m?n 3 . ? . 二面角 A ? BD ? C 的余弦值为 3 m?n 3

19.(本小题满分 12 分) 某生物产品,每一生产周期成本为 10 万元,此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均 具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 产量(吨) 概率 30 0.5 50 0.5 1 0.6

市场价格(万元/吨) 0.6 概率 0.4

(Ⅰ)设 X 表示 1 生产周期此产品的利润,求 X 的分布列; (Ⅱ) 若连续 3 生产周期, 求这 3 生产周期中至少有 2 生产周期的利润不少于 20 元的概率. 解: (Ⅰ)设 A 表示事件“产品产量为 30 吨”,B 表示事件“作物市场价格为 0.6 万元/吨”, 则 P(A)=0.5,P(B)=0.4, ∵利润=产量× 市场价格﹣成本, ∴X 的所有值为: 500× 10﹣1000=4000,500× 6﹣1000=2000, 300× 10﹣1000=2000,300× 6﹣1000=800, 则 P(X=4000)=P( )P( )=(1﹣0.5)× (1﹣0.4)=0.3, P(X=2000)=P( )P(B)+P(A)P( )=(1﹣0.5)× 0.4+0.5(1﹣0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.5× 0.4=0.2, 则 X 的分布列为: X 40 20 8 P 0.3 0.5 0.2 (Ⅱ)设 Ci 表示事件“第 i 生产周期利润不少于 20 万元”(i=1,2,3) , 则 C1,C2,C3 相互独立, 由(Ⅰ)知,P(Ci)=P(X=40)+P(X=20)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3) , 3 生产周期的利润均不少于 20 的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512, 3 生产周期的利润有 2 生产周期不少于 20 的概率为 P ( =3× 0.82× 0.2=0.384, (本小题满分 12 分)
2 2 2 20.如图,已知圆 G : ( x ? 2) ? y ? r 是椭圆

C2C3) +P (C 1

C3) +P (C1C2



x2 ? y 2 ? 1的内接△ ABC 的内切圆, 其中 A 16

为椭圆的左顶点. (Ⅰ)求圆 G 的半径 r ; (Ⅱ)过点 M (0,1) 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E,F 两点,证明:直线 EF 与圆 G 相切. . G
6

解: (Ⅰ)设 B(2 ? r, y0) ,过圆心 G 作 GD ? AB 于 D , BC 交长轴于 H 由

GD HB y r ? 得 ? 0 , 2 AD AH 6?r 36 ? r



y0 ?

r 6?r 6?r
2

(1)

……………2 分

而 B(2 ? r, y0) 在椭圆上, y0 ? 1 ?

(2 ? r )2 12 ? 4r ? r 2 (r ? 2)(r ? 6) ? ?? 16 16 16

(2)

2 由(1)、 (2)式得 15r ? 8r ? 12 ? 0 ,解得 r ?

2 6 或 r ? ? (舍去) ……………4 分 3 5

(Ⅱ) 设过 M(0,1) 与圆 ( x ? 2) ? y ?
2 2

4 相切的 9
(3)

直线方程为: y ? 1 ? kx



2 2k ? 1 2 ,即 32k ? 36k ? 5 ? 0 ? 2 3 1? k
?9 ? 41 ?9 ? 41 , k2 ? 16 16

(4)

解得 k1 ?

……………6 分

将(3)代入

32k x2 ? y 2 ? 1得 (16k 2 ? 1) x2 ? 32kx ? 0 ,则异于零的解为 x ? ? 16k 2 ? 1 16

设 F ( x1 , k1 x1 ? 1) , E ( x2 , k2 x2 ? 1) ,则 x1 ? ?

32k1 32k2 , x2 ? ? 2 16k1 ? 1 16k2 2 ? 1
……………9 分

则直线 FE 的斜率为: kEF ?

k2 x2 ? k1 x1 k ?k 3 ? 1 2 ? x2 ? x1 1 ? 16k1k2 4

于是直线 FE 的方程为: y ?

32k12 32k1 3 ?1 ? ( x ? ) 2 16k1 ? 1 4 16k12 ? 1

7

即y?

3 7 x? 4 3

3 7 ? 2 2 3 ? 则圆心 (2, 0) 到直线 FE 的距离 d ? 3 9 1? 16
故结论成立. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f (x)=xlnx+ax(a∈R) (Ⅰ)若函数 f (x)在区间[ e
2

……………12 分

,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围;

(Ⅱ)若对任意 x∈(1,+∞),f (x)>k(x-1)+ax-x 恒成立,求正整数 k 的值. 解:(Ⅰ)由 f(x)=xlnx+ax,得:f′(x)=lnx+a+1 ∵函数 f(x)在区间[e2,+∞)上为增函数, ∴当 x∈[e2,+∞)时 f′(x)≥0, ……………2 分 即 lnx+a+1≥0 在区间[e2,+∞)上恒成立, ∴a≥-1-lnx. 又当 x∈[e2,+∞)时, lnx∈[2,+∞),∴-1-lnx∈(-∞,-3]. ∴a≥-3; ……………5 分

(Ⅱ)若对任意 x∈(1,+∞),f(x)>k(x-1)+ax-x 恒成立, 即 x?lnx+ax>k(x-1)+ax-x 恒成立, 也就是 k(x-1)<x?lnx+ax-ax+x 恒成立, ∵x∈(1,+∞),∴x-1>0. 则问题转化为 k<

x ln x ? x 对任意 x∈(1,+∞)恒成立, ……………6 分 x ?1

设函数 h(x)=

x ln x ? x x ? ln x ? 2 ,则 h′(x)= , x ?1 ( x ? 1)2

再设 m(x)=x-lnx-2,则 m′(x)=1-

1 . x

∵x∈(1,+∞),∴m′(x)>0, 则 m(x)=x-lnx-2 在(1,+∞)上为增函数, ∵m(1)=1-ln1-2=-1,m(2)=2-ln2-2=-ln2, m(3)=3-ln3-2=1-ln3<0,m(4)=4-ln4-2=2-ln4>0. ∴? x0∈(3,4),使 m(x0)=x0-lnx0-2=0. ∴当 x∈(1,x0)时,m(x)<0,h′(x)<0, ……………8 分
8

∴h(x)=

x ln x ? x 在(1,x0)上递减, x ?1
x ln x ? x 在(x0,+∞)上递增, x ?1

x∈(x0,+∞)时,m(x)>0,h′(x)>0, ∴h(x)=

∴h(x)的最小值为 h(x0)=

x0 ln x0 ? x0 . x0 ? 1
x ln x ? x x ?1

∵m(x0)=x0-lnx0-2=0,∴lnx0+1=x0-1,代入函数 h(x)= 得 h(x0)=x0,

∵x0∈(3,4),且 k<h(x)对任意 x∈(1,+∞)恒成立, ∴k<h(x)min=x0,∴k≤3, ∴k 的值为 1,2,3. ……………12 分 请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果 多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂 黑。 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:平面几何选讲 如图, 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E, 且 CB=CE. (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形.

证明: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠D=∠CBE, ∵CB=CE, ∴∠E=∠CBE, ∴∠D=∠E; ……………5 分 (Ⅱ)设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC, ∴O 在直线 MN 上, ∵AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M, ∴OM⊥AD, ∴AD∥BC, ∴∠A=∠CBE, ∵∠CBE=∠E,
9

∴∠A=∠E, 由(Ⅰ)知,∠D=∠E, ∴△ADE 为等边三角形. ……………10 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4﹣4:极坐标与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位, 以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴. 已 知曲线 C1 的极坐标方程为 >0) ,射线 , ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρsinθ=a(a 与曲线 C1 分别交异于极点 O

的四点 A,B,C,D. (Ⅰ)若曲线 C1 关于曲线 C2 对称,求 a 的值,并把曲线 C1 和 C2 化成直角坐标方程; (Ⅱ)求|OA|?|OC|+|OB|?|OD|的值. 解:解: (Ⅰ)C1:即 ρ2=2 ρ( sinθ+ cosθ)=2ρsinθ+2ρcosθ,

化为直角坐标方程为 (x﹣1)2+(y﹣1)2=2. 把 C2 的方程化为直角坐标方程为 y=a,因为曲线 C1 关于曲线 C2 对称,故直线 y=a 经过圆 心(1,1) , 解得 a=1,故 C2 的直角坐标方程为 y=1. ……………5 分 (Ⅱ) 由题意可得, ; ∴|OA|?|OC|+|OB|?|OD|=8sin(φ+ =8cosφ=8× =4 )sinφ+8cos( ; =2 cos( +φ) , φ;

+φ)cosφ

. ……………10 分

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设函数 f(x)=|x﹣a|,a<0. (Ⅰ)证明 f(x)+f(﹣ )≥2; (Ⅱ)若不等式 f(x)+f(2x)< 的解集非空,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)证明:函数 f(x)=|x﹣a|,a<0, 则 f(x)+f(﹣ )=|x﹣a|+|﹣ ﹣a| =|x﹣a|+| +a|≥|(x﹣a)+( +a)| =|x+ |=|x|+ ≥2 =2. ……………5 分

(Ⅱ)解:f(x)+f(2x)=|x﹣a|+|2x﹣a|,a<0. 当 x≤a 时,f(x)=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x,则 f(x)≥﹣a; 当 a<x< 时,f(x)=x﹣a+a﹣2x=﹣x,则﹣ <f(x)<﹣a;

10

当x

时,f(x)=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a,则 f(x)≥﹣ .

则 f(x)的值域为[﹣ ,+∞) , 不等式 f(x)+f(2x)< 的解集非空,即为 >﹣ ,解得,a>﹣1,由于 a<0, 则 a 的取值范围是(﹣1,0) . ……………10 分

11



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