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2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结):二次函数与幂函数



第五节 二次函数与幂函数

[备考方向要明了]

考 什 么 1.了解幂函数的概念.

怎 么 考 1.以集合为载体, 考查二次方程的解集, 二次函数的

1 2.结合函数 y=x,y=x2,y=x3,y= , 定义域、值域或二次不等式的解集,如 2012 年北京 x y=x 的图象,了解它们的变化情

况. 3.掌握二次函数的概念、图象特征. 4.掌握二次函数的对称性和单调性,会 求二次函数在给定区间上的最值. 5.掌握二次函数、二次方程、二次不等 式之间的密切关系, 提高解综合问题的 能力.
1 2

T1,浙江 T1 等. 2.以二次函数的图象为载体, 利用数形结合的思想解 决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的 最值以及与此有关的参数范围的问题,如 2012 年北 京 T4 等. 3.一元二次方程根的分布也是高考考查的重点,如 2012 年江苏 T13 等.

[归纳· 知识整合] 1.二次函数的解析式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:若二次函数的顶点坐标为(h,k),则其解析式为 f(x)=a(x-h)2+k(a≠0); (3) 两根式:若相应一元二次方程的两根为 x1 , x2 ,则其解析式为 f(x) = a(x - x1)(x - x2)(a≠0). 2.二次函数的图象和性质 a>0 图象 定义域 值域 X∈R a<0

?4ac-b ,+∞? ? 4a ?

2

?-∞,4ac-b ? 4a ? ?

2

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单调性

b -∞,- ?上递减,在 在? 2 a? ?

b -∞,- ?上递增,在 在? 2 a? ?

?- b ,+∞?上递增 ? 2a ?

?- b ,+∞?上递减 ? 2a ?

奇偶性

b=0 时为偶函数,b≠0 既不是奇函数也不是偶函数 b ①对称轴:x=- ; 2a

图象特点

2 b 4ac-b ? ②顶点:?- , 4a ? ? 2a

[探究] 1.ax2+bx+c>0(a≠0)与 ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件分别是什么?其几何 意义如何?
? ?a>0, 提示: (1)ax2+bx+c>0 恒成立的充要条件是? 其几何意义是抛物线恒在 x 轴上方; ?Δ<0, ? ? ?a<0, (2)ax2+bx+c<0 恒成立的充要条件是? 其几何意义是抛物线恒在 x 轴下方. ?Δ<0, ?

3.幂函数的定义 形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数. 4.五种幂函数的图象

5.五种幂函数的性质 函数 特征 性质 定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) 奇 x∈(0,+∞) 时,减 y=x y=x2 y=x3 y=x
1 2

y=x

-1

值域 奇偶性 单调性

R 奇 增

[0,+∞) 偶 x∈[0,+∞) 时,增 x∈(-∞,0] 时,减

R 奇 增

[0,+∞) 非奇非偶 增

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x∈(-∞,0) 时,减

[探究] 2.为何幂函数在第四象限没有图象?幂函数的图象最多出现在几个象限内? 提示:幂函数 y=xα,当 x>0 时,根据幂运算,幂函数 y=xα>0 恒成立,所以幂函数在 第四象限没有图象;幂函数的图象最多只能出现在两个象限内. 1 1 3.函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x ,y= 在区间(0,1)上图象的上、下位置与幂指数的 2 x 大小有什么关系? 提示:在区间(0,1)上幂指数越大其图象越靠下. [自测· 牛刀小试] 1.如果二次函数的图象开口向上且关于直线 x=1 对称,且过点(0,0),则此二次函数的 解析式为( ) B.f(x)=-(x-1)2+1 D.f(x)=(x-1)2-1

A.f(x)=x2-1 C.f(x)=(x-1)2+1

解析:选 D 由图象开口向上且关于直线 x=1 对称,可排除 A、B 选项;由图象过点 (0,0)可排除 C 选项. 2.已知函数 f(x)=ax2+x+5 在 x 轴上方,则 a 的取值范围是( 1 0, ? A.? ? 20? 1 ? C.? ?20,+∞? 1 -∞,- ? B.? 20? ? 1 - ,0? D.? ? 20 ? )

解析:选 C ∵函数 f(x)=ax2+x+5 在 x 轴上方,
? ?a>0, 1 ∴? 即 a> . 20 ?Δ=1-20a<0, ?

3.(教材习题改编)已知函数 y=x2-2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围为( A.[0,1] C.(1,2] ) B.[1,2] D.(1,2)

解析:选 B 如图,由图象可知 m 的取值范围[1,2].

4.(教材习题改编)如图中曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象.已知

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1 n 取± 2,± 四个值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 n 值依次为( 2 1 1 A.-2,- , ,2 2 2 1 1 C.- ,-2,2, 2 2 1 1 B.2, ,- ,-2 2 2 1 1 D.2, ,-2,- 2 2

)

解析:选 B 由幂函数图象及其单调性之间的关系可知,曲线 C1,C2,C3,C4 所对应 1 1 的 n 依次为 2, ,- ,-2. 2 2 5.(教材习题改编)下列函数是幂函数的序号是________. 3 - ①y=2x;②y=2x 1;③y=(x+2)2;④y= x2; ⑤y= 1 . x

2 1 1 3 解析:y= x2=x ,y= =x- 故④⑤为幂函数. 3 2 x 答案:④⑤

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二次函数的解析式

[例 1] 已知二次函数 f(x)同时满足以下条件: (1)f(1+x)=f(1-x); (2)f(x)的最大值为 15; (3)f(x)=0 的两根的立方和等于 17. 求 f(x)的解析式. [自主解答] 依条件,设 f(x)=a(x-1)2+15(a<0), 即 f(x)=ax2-2ax+a+15. 令 f(x)=0,即 ax2-2ax+a+15=0, 15 则 x1+x2=2,x1x2=1+ . a
3 3 而 x3 1+x2=(x1+x2) -3x1x2(x1+x2)

15? 90 =23-3×2×? ?1+ a ?=2- a . 90 即 2- =17,则 a=-6. a 故 f(x)=-6x2+12x+9.

在本例条件下,若 g(x)与 f(x)的图象关于坐标原点对称,求 g(x)的解析式. 解:设 p(x,y)是函数 g(x)图象上的任意一点,它关于原点对称的点 p′(-x,-y)必在 f(x)的图象上. 则-y=-6(-x)2+12(-x)+9, 即 y=6x2+12x-9. 故 g(x)=6x2+12x-9. ————— —————————————— 二次函数解析式的求法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:

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1.已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3),它在 x 轴上截得的线段长为 2,并且对任意 x ∈R,都有 f(2-x)=f(2+x),求 f(x)的解析式. 解:∵f(2-x)=f(2+x)对 x∈R 恒成立,∴f(x)的对称轴为 x=2. 又∵f(x)图象被 x 轴截得的线段长为 2,∴f(x)=0 的两根为 1 和 3. 设 f(x)的解析式为 f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0). 又∵f(x)的图象过点(4,3), ∴3a=3,a=1.∴所求 f(x)的解析式为 f(x)=(x-1)· (x-3),即 f(x)=x2-4x+3. 二次函数的图象和性质

[例 2] (2013· 盐城模拟)已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间. [自主解答] (1)当 a=-2 时, f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1. 又∵x∈[-4,6], ∴函数 f(x)在[-4,2]上为减函数,在[2,6]上为增函数. ∴f(x)max=f(-4)=(-4-2)2-1=35, f(x)min=f(2)=-1. (2)∵函数 f(x)=x2+2ax+3 的对称轴为 x=-a, 且 f(x)在[-4,6]上是单调函数, ∴-a≥6 或-a≤-4,即 a≤-6 或 a≥4. (3)当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6],
?x2+2x+3,x∈?0,6], ? 且 f(x)=? 2 ? ?x -2x+3,x∈[-6,0],

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0]. ————— —————————————— 解决二次函数图象与性质时的注意点 (1)分析二次函数的图象,主要有两个要点:一个是看二次项系数的符号,它确定二次 函数图象的开口方向;二是看对称轴和最值,它确定二次函数的具体位置.对于函数图象判 断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断, 如函数图象与正半轴的交点, 函数图象的
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最高点与最低点等. ?2?抛物线的开口,对称轴位置定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定一 不定,要注意分类讨论. 2.已知函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-m· x 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围. 解:(1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a. 当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数,
?f?3?=5, ?9a-6a+2+b=5, ?a=1, ? ? ? 故? ?? ?? ? ? ? ?f?2?=2, ?4a-4a+2+b=2, ?b=0.

当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数,
? ? ? ?f?3?=2, ?9a-6a+2+b=2, ?a=-1, 故? ?? ?? ?f?2?=5, ?4a-4a+2+b=5, ? ? ? ?b=3.

(2)∵b<1,∴a=1,b=0,即 f(x)=x2-2x+2. g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2, ∵g(x)在[2,4]上单调, ∴ 2+m m+2 ≤2 或 ≥4.∴m≤2 或 m≥6. 2 2 幂函数的图象和性质

1 2 [例 3] 已知幂函数 f(x)的图象经过点? , ?,P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图象 ?8 4 ? 上的任意不同两点,给出以下结论: ①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2); ③ f?x1? f?x2? f?x1? f?x2? > ;④ < . x1 x2 x1 x2 ) B.①③ D.②③
1
α

其中正确结论的序号是( A.①② C.②④

1?α 2 1 ?1?α ?1? 2 [自主解答] 法一:依题意,设 f(x)=x ,则有? ?8? = 4 ,即?8? =?8? ,所以 α=2,
1

于是 f(x)=x 2 . 由于函数 f(x)=x 在定义域[0,+∞)内单调递增,所以当 x1<x2 时,必有 f(x1)<f(x2),从
1 2

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f?x1? f?x2? 而有 x1f(x1)<x2f(x2),故②正确;又因为 , 分别表示直线 OP、OQ 的斜率,结合函数 x1 x2 f?x1? f?x2? 图象,容易得出直线 OP 的斜率大于直线 OQ 的斜率,故 > ,所以③正确. x1 x2 1?α 2 ?1?α ?1? 2 1 法二: 设 f(x)=xα, 则有? 所以 α= , 所以 f(x)=x 2 .设 g(x)=xf(x) ?8? = 4 即?8? =?8? , 2
3 3
1 1

=x 2 ,因为 g(x)=x 2 在定义域内是增函数,当 x1<x2 时,必有 x1f(x1)<x2f(x2),
? ? f?x? 所以②正确;设 h(x)= 即 h(x)=x 2 ,因为 h(x)=x 2 在定义域内是减函数,所以当 x 1 1

f?x1? f?x2? x1<x2 时, > ,所以③正确. x1 x2 [答案] D ————— —————————————— 幂函数 y=xα 图象的特征 (1)α 的正负;α>0 时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α<0 时,图象不过 原点,在第一象限的图象下降,反之也成立. (2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1 时,曲线下凸; 0<α<1 时,曲线上凸;α<0 时,曲线下凸. (3)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内. (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.

3.幂函数 y=xm

2-2m-3

(m∈Z)的图象如图所示,则 m 的值为(

)

A.-1<m<3 C.1

B.0 D.2

解析:选 C 从图象上看,由于图象不过原点,且在第一象限下降,故 m2-2m-3<0, 即-1<m<3;又从图象看,函数是偶函数,故 m2-2m-3 为负偶数,将 m=0,1,2 分别代入, 可知当 m=1 时,m2-2m-3=-4,满足要求. 4.当 0<x<1 时,f(x)=x1.1,g(x)=x0.9,h(x)=x
-2

的大小关系是________.

解析:如图所示为函数 f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图象,由此可知 h(x)>g(x)>f(x). 答案:h(x)>g(x)>f(x)
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? 1 类最值——二次函数在给定区间上的最值 二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值, 且只能在区间的端点或顶点处取得. 对于 “轴变区间定”和“轴定区间变”两种情形, 要借助二次函数的图象特征, 抓住顶点的横坐 标是否属于该区间,结合函数的单调性进行分类讨论求解. ? 2 种思想——数形结合与分类讨论思想 (1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时 候常常要结合图形寻找思路. (2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨论二次函数的对称 轴与给定区间的位置关系,讨论二次不等式根的大小等. ? 5 种方法——二次函数对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x)定义域内所有 x,都有 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x)图象的对称 x1+x2 轴方程为 x= . 2 (2)对于二次函数 y=f(x)定义域内所有 x,都有 f(a+x)=f(a-x)成立,那么函数 y=f(x) 图象的对称轴方程为 x=a(a 为常数). (3)对于二次函数 y=f(x)定义域内所有 x, 都有 f(x+2a)=f(-x), 那么函数 y=f(x)图象的 对称轴方程为 x=a(a 为常数). 注意:(2)(3)中,f(a+x)=f(a-x)与 f(x+2a)=f(-x)是等价的. b (4)利用配方法求二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴方程为 x=- . 2a (5)利用方程根法求对称轴方程.若二次函数 y=f(x)对应方程 f(x)=0 的两根为 x1,x2, x1+x2 那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x= . 2

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数学思想——分类讨论在求二次函数最值中的应用 二次函数在闭区间上的最值问题,一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值, 当函数解析式中含有参数时,要根据参数的最值情况进行分类讨论. [典例] (2013· 青岛模拟)已知 f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求 f(x)的最小值. [解] (1)当 a=0 时,f(x)=-2x 在[0,1]上递减, ∴f(x)min=f(1)=-2. 1 (2)当 a>0 时,f(x)=ax2-2x 的图象的开口方向向上,且对称轴为 x= . a 1 ①当 ≤1,即 a≥1 时,f(x)=ax2-2x 的图象对称轴在[0,1]内, a 1? ?1 ? ∴f(x)在? ?0,a?上递减,在?a,1?上递增. 1? 1 2 1 ∴f(x)min=f? ?a?=a-a=-a. 1 ②当 >1,即 0<a<1 时,f(x)=ax2-2x 的图象对称轴在[0,1]的右侧, a ∴f(x)在[0,1]上递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2. 1 (3)当 a<0 时,f(x)=ax2-2x 的图象的开口方向向下,且对称轴 x= <0,在 y 轴的左侧, a ∴f(x)=ax2-2x 在[0,1]上递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2. a-2,a<1, ? ? 综上所述 f(x)min=? 1 ? ?-a,a≥1. [题后悟道] 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(不妨设 a>0)在区间[m,n]上的最大或最小值如下: (1)当- b ∈[m,n],即对称轴在所给区间内时,f(x)的最小值在对称轴处取得,其值是 2a

b 4ac-b2 - ?= f? ,f(x)的最大值在离对称轴较远的端点处取得,它是 f(m),f(n)中的较大者. ? 2a? 4a b (2)当- ?[m,n],即给定的区间在对称轴的一侧时,f(x)在[m,n]上是单调函数.若- 2a b b <m,f(x)在[m,n]上是增函数,f(x)的最小值是 f(m),最大值是 f(n);若 n<- ,f(x)在[m, 2a 2a n]上是减函数,f(x)的最小值是 f(n),最大值是 f(m). [变式训练]
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1.设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值 g(a). 解:∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线 x=1,而 x=1 不一定在区间[-2, a]内,应进行讨论.而-2<a<1 时,函数在[-2,a]上单调递减,则当 x=a 时,ymin=a2- 2a;当 a≥1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当 x=1 时,ymin=-1.
?a2-2a,-2<a<1, ? 综上,g(a)=? ? ?-1,a≥1.

2.(2013· 玉林模拟)是否存在实数 a,使函数 f(x)=x2-2ax+a 的定义域为[-1,1]时,值 域为[-2,2]?若存在,求 a 的值;若不存在,说明理由. 解:f(x)=x2-2ax+a=(x-a)2+a-a2. 当 a<-1 时,f(x)在[-1,1]上为增函数,
?f?-1?=1+3a=-2, ? ∴? 解得 a=-1(舍去); ?f?1?=1-a, ? ?f?a?=a-a2=-2, ? 当-1≤a≤0 时,? 解得 a=-1. ? ?f?1?=1-a=2,
2 ? ?f?a?=a-a =-2, ? 当 0<a≤1 时, a 不存在. ?f?-1?=1+3a=2, ?

当 a>1 时,f(x)在[-1,1]上为减函数,
? ?f?-1?=1+3a=2, ∴? a 不存在. ?f?1?=1-a, ?

综上可知 a=-1.

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.已知点? A.奇函数 C.定义域内的减函数 解析:选 A 设 f(x)=xα,由已知得?


3 ?在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x)是( ? 3 , 3? B.偶函数

)

D.定义域内的增函数 3? α = 3, ?3?

解得 α=-1,因此 f(x)=x 1,易知该函数为奇函数. 2.(2013· 临沂模拟)已知函数 y=ax2+bx+c,如果 a>b>c,且 a+b+c=0,则它的图象 是( )

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解析:选 D ∵a>b>c,a+b+c=0,∴a>0,c<0,∴y=ax2+bx+c 的开口向上,且与 y 轴的交点(0,c)在负半轴上. 3.已知函数 f(x)=x2+bx+c 且 f(1+x)=f(-x),则下列不等式中成立的是( A.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(-2)<f(2) C.f(0)<f(2)<f(-2) D.f(2)<f(0)<f(-2) 解析:选 C ∵f(1+x)=f(-x), ∴(x+1)2+b(x+1)+c=x2-bx+c. ∴x2+(2+b)x+1+b+c=x2-bx+c. ∴2+b=-b,即 b=-1. 1 ∴f(x)=x2-x+c,其图象的对称轴为 x= . 2 ∴f(0)<f(2)<f(-2). 4.若二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)等于( b A.- 2a C.c b B.- a 4ac-b2 D. 4a ) )

b b 解析:选 C ∵f(x1)=f(x2)且 f(x)的图象关于 x=- 对称,∴x1+x2=- . 2a a b b2 b - ?=a· 2-b· +c=c. ∴f(x1+x2)=f? ? a? a a 5.已知函数 f(x)=x2+x+c,若 f(0)>0,f(p)<0,则必有( A.f(p+1)>0 C.f(p+1)=0 B.f(p+1)<0 D.f(p+1)的符号不能确定 )

1 解析:选 A 函数 f(x)=x2+x+c 的对称轴为 x=- ,又因为 f(0)>0,f(p)<0,故-1 2 <p<0,p+1>0,所以 f(p+1)>0. 6. (2013· 温州模拟)方程 x2+ax-2=0 在区间[1,5]上有解, 则实数 a 的取值范围为( 23 ? A.? ?- 5 ,+∞? 23 ? C.? ?- 5 ,1? 解析:选 C 令 f(x)=x2+ax-2, 由题意,知 f(x)图象与 x 轴在[1,5]上有交点, B.(1,+∞) 23? D.? ?-∞,- 5 ? )

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? ?f?1?≤0, 则? ?f?5?≥0. ?

23 解得- ≤a≤1. 5

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.(2012· 江苏高考)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的 不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________. a2 解析:因为 f(x)的值域为[0,+∞),所以 Δ=0,即 a2=4b,所以 x2+ax+ -c<0 的 4 a2 解集为(m,m+6),易得 m,m+6 是方程 x2+ax+ -c=0 的两根,由一元二次方程根与 4 2m+6=-a, ? ? 系数的关系得? 解得 c=9. a2 m ? m + 6 ? = -c, ? 4 ? 答案:9 8.若二次函数 f(x)=ax2+2x+c 的值域是[0,+∞),则 a+c 的最小值为________. 4ac-4 解析:由已知 a>0, =0, 4a ∴ac=1,c>0. ∴a+c≥2 ac=2.当且仅当 a=c=1 时,取等号, ∴a+c 的最小值为 2. 答案:2 9. 已知函数 y= mx2+?m-3?x+1的值域是[0, +∞), 则实数 m 的取值范围是________. 解析:当 m=0 时,y= -3x+1,显然成立. 当 m≠0 时,要使 y∈[0,+∞),
? ?m>0, 只要? 2 ?Δ=?m-3? -4×m×1≥0, ?

解得 0<m≤1 或 m≥9. 综上 m 的取值范围是[0,1]∪[9,+∞). 答案:[0,1]∪[9,+∞) 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且 f(x)>-2x 的解集为{x|1<x<3},方程 f(x)+ 6a=0 有两相等实根,求 f(x)的解析式. 解:设 f(x)+2x=a(x-1)(x-3)(a<0), 则 f(x)=ax2-4ax+3a-2x, f(x)+6a=ax2-(4a+2)x+9a,Δ=(4a+2)2-36a2=0, 16a2+16a+4-36a2=0,20a2-16a-4=0,
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5a2-4a-1=0,(5a+1)(a-1)=0, 1 解得 a=- ,或 a=1(舍去). 5 1 6 3 因此 f(x)的解析式为 f(x)=- x2- x- . 5 5 5 11.已知 f(x)=-4x2+4ax-4a-a2 在区间[0,1]内有最大值-5,求 a 的值及函数表达式 f(x). a?2 解:∵f(x)=-4? ?x-2? -4a, a ? ∴抛物线顶点坐标为? ?2,-4a?. a ①当 ≥1,即 a≥2 时,f(x)取最大值-4-a2. 2 令-4-a2=-5,得 a2=1,a=± 1<2(舍去); a a ②当 0< <1,即 0<a<2 时,x= 时, 2 2 f(x)取最大值为-4a. 5 令-4a=-5,得 a= ∈(0,2); 4 a ③当 ≤0,即 a≤0 时,f(x)在[0,1]内递减, 2 ∴x=0 时,f(x)取最大值为-4a-a2, 令-4a-a2=-5,得 a2+4a-5=0,解得 a=-5,或 a=1,其中-5∈(-∞,0]. 5 综上所述,a= 或 a=-5 时,f(x)在[0,1]内有最大值-5. 4 105 ∴f(x)=-4x2+5x- 或 f(x)=-4x2-20x-5. 16 12.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R). (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,
? ?f?x?,x>0, F(x)=? 求 F(2)+F(-2)的值; ?-f?x?,x<0, ?

(2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围. b 解:(1)由已知 c=1,∵f(-1)=a-b+c=0,且- =-1, 2a ∴a=1,b=2.
??x+1?2,x>0, ? ∴f(x)=(x+1)2.∴F(x)=? 2 ?-?x+1? ,x<0. ?

∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8. (2)由题意知 f(x)=x2+bx,原命题等价于
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1 1 -1≤x2+bx≤1 在 x∈(0,1]上恒成立,即 b≤ -x 且 b≥- -x 在 x∈(0,1]上恒成立, x x 1 根据单调性可得 -x 的最小值为 0, x 1 - -x 的最大值为-2,所以-2≤b≤0. x 故 b 的取值范围为[-2,0]

1.已知函数 f(x)=ax2-(3-a)x+1,g(x)=x,若对于任一实数 x,f(x)与 g(x)至少有一个 为正数,则实数 a 的取值范围是( A.[0,3) C.[1,9) ) B.[3,9) D.[0,9)

解析:选 D 据题意只需转化为当 x≤0 时,ax2-(3-a)x+1>0 恒成立即可.结合 f(x) 3-a =ax2-(3-a)x+1 的图象,当 a=0 时验证知符合条件. 当 a≠0 时必有 a>0, 当 x= ≥0 2a 时,函数在(-∞,0)上单调递减,故要使原不等式恒成立,只需 f(0)>0 即可,解得 0<a≤3; 3-a 3-a? 当 x= <0 时,只需 f? 2a ? 2a ?>0 即可,解得 3<a<9,综上所述可得 a 的取值范围是 0≤a <9. 2.已知函数 f(x)=(m2-m-1)x 增函数? 解:∵函数 f(x)=(m2-m-1)x
-5m-3 -5m-3

,m 为何值时,f(x)是幂函数,且在(0,+∞)上是

是幂函数,

∴m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1. 当 m=2 时,-5m-3=-13,函数 y=x
-13

在(0,+∞)上是减函数;

当 m=-1 时,-5m-3=2,函数 y=x2 在(0,+∞)上是增函数. ∴m=-1. 3.已知 f(x)=x2+3x-5,x∈[t,t+1],若 f(x)的最小值为 h(t),写出 h(t)的表达式. 解:如图所示, 3 函数图象的对称轴为 x=- , 2 3 5 (1)当 t+1≤- ,即 t≤- 时, 2 2 h(t)=f(t+1)=(t+1)2+3(t+1)-5, 5 t≤- ?. 即 h(t)=t2+5t-1? 2? ? 3 (2)当 t≤- <t+1, 2
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5 3 即- <t≤- 时, 2 2 3? 29 h(t)=f? ?-2?=- 4 . 3 (3)当 t>- 时,h(t)=f(t)=t2+3t-5. 2 综上可得,

? ? 29 5 3? h(t)=?- 4 ? ?-2<t≤-2?, 3? ? ?t +3t-5??t>-2 ?.
2

5? t2+5t-1? ?t≤-2?,

4.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤2 时,y=x,当 x>2 时,y=f(x)的图象是顶 点为 P(3,4),且过点 A(2,2)的抛物线的一部分. (1)求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数 f(x)的草图;

(3)写出函数 f(x)的值域. 解:(1)设顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的方程为 y=a(x-3)2+4,将(2,2)代入可 得 a=-2, 所以 y=-2(x-3)2+4, 即 x>2 时,f(x)=-2x2+12x-14. 又 f(x)为偶函数,当 x<-2,即-x>2 时, f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14, 即 f(x)=-2x2-12x-14. 故函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式为 f(x)=-2x2-12x-14. (2)函数 f(x)的图象如图:

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(3)由图象可知,函数 f(x)的值域为(-∞,4].

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