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零点的存在性定理


f ( x) ? 0

y ? f(x )



学习目标: 1.了解函数零点定义及函数零点与方程的根的联系;

2.理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法; 3.激情投入,高效学习,养成扎实严谨的科学态度。 学习重点: 重点:体会函数的零点与方程的根之间关系,
掌握零点存在的判定条件.

难点:探究发现函数零点的存在性.



预习展示1:

问题1 求下列方程的根.

?1 ?3 x

? 2 ?

0

?2 ?x

2

? 5x ? 6 ? 0

思考:

?3 ? ln

x ? 2x ? 6 ? 0

预习展示2:
问题2 求出表中一元二次方程的实数根,画出相应的二次 函数图像的简图,并写出函数的图象与x轴的交点坐标 方程 函数 函 数 的 图 象
方程的实数根 函数的图象 与x轴的交点

x2-2x-3=0 y= x2-2x-3 .
-1

x2-2x+1=0 y= x2-2x+1 .y
2

x2-2x+3=0 y= x2-2x+3
y

y
2 1

.

. . . 1 .
2

.

0

.
-1 -2

.
x
-1

1

2

3

x
-1

1

0

-3 -4

3 2 1

.

5 4

.
1

.
2

.

. x1=x2=1

0

3

x

x1=-1,x2=3 (-1,0)、(3,0)

无实数根

(1,0)

无交点

预习展示3:
若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数 的图象与x轴交点的关系,上述结论是否仍然成立? 判别式△ = b2-4ac 函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象
x1 0 x2 x

△>0
y

△=0
y

△<0
y

0

x1

x

0

x

有两个相等的 方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 (a>0)的根 函数的图象 与 x 轴的交点

没有实数根

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

探究一:函数的零点概念 函数的零点定义: 对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。

等价关系

方程f(x)=0有实数根

函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

练习:求函数f(x)=x3-1的零点
零点的求法

代数法

图像法

合作探究: 探究内容:1.求函数零点的方法、步骤; 2:函数在某一区间上零点的存在性结论. 内容及目标: 2:探究函数在某一区间上零点的存在性结论.(结合探究三(1)(2))
3.如何应用零点的存在性结论解题。(结合探究三(3)及有关练习)

1.求函数零点的方法、步骤是怎样的?(结合探究二及及有关练习)

2012-11-8

7

探究二:求函数零点的方法、步骤

1.求函数f(x)=lg(x-1)的零点

巩固练习:求下列函数的零点 ? x2 ? 5x ? 6 (1) f (x) (2) f (x) ? 2x ?1

2和3
0

6组A

小结:求函数零点的方法、步骤:
(1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0; (3)写出零点。

探究三:函数在某一区间上零点的存在性结论
x ? 2x ? 3
2

探究 1: (1)观察二次函数 f ( x ) ?

的图象:

1 ○ 在区间(-2,1)上有零点____; f ( ? 2 ) ? ______,
f (1) ?

_____, f ( ? 2 ) · f (1) _____0(<或>) .

2 ○ 在区间(2,4)上有零点______;
f (2)

· f ( 4 ) ____0(<或>) .

探究2:
观察上面的函数的图象,并回答以下问题:

①在区间(a,b)上______(有/无)零点;f(a).f(b)_____0(<或>).
② 在区间(b,c)上______(有/无)零点;f(b).f(c) _____ 0(<或>). ③ 在区间(c,d)上______(有/无)零点;f(c).f(d) _____ 0(<或>).

结 论

如果函数 y

? f ( x ) 在区间? a , b ? 上的图象是连续不断的一条曲线,
f (b ) ? 0 , 那么, 函数 y ? f ( x ) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

并且有 f ( a ) ?

即存在 c ? ? a , b ? ,使得 f ( c ) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x ) ? 0 的根。

y

y

0 a y 0a

b

x

0 a y

b

x

b

x

0a

b

x

思考:若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零 点,一定能得出f(a)· f(b)<0的结论吗?
y

bbb

bb
bb

b
b b bb

0

a

x

拓展提升:如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是 连续的,并且在闭区间的两个端点上的函数值 互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那么,这个 函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。

例题 2 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。
解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(表3-1) 和图象(图3.1—3)
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

由表3-1和图3.1—3可知 f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)· f(3)<0, 说明这个函数在区间(2,3)内 有零点。 由于函数f(x)在定义域 (0,+∞)内是增函数,所以 它仅有一个零点。

y
14 12 10

8 6
4 2

. ..
1

.

.

.

.
2 3 4 5 6 7 8 9 10

. 0 .
-2 -4 -6

x

反思小结:

1.函数零点的定义

2.等价关系
3.函数的零点或相应方程的 根的存在性以及个数的判断

再 见


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