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知识点复习专题34——圆锥曲线二(教师版)



高二文科暑期数学知识点复习

1

专题三十四 圆锥曲线二
【概念梳理】 1、直线与圆锥曲线的位置关系,常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立,由所得方程组的解 的个数来决定,一般地,消元后所得一元二次方程的判别式记为△,当______时,有两个公共点, _______时,有一个公共点,_______时,没有公共点.但当直线方程与

曲线方程联立的方程组只有 一组解(即直线与曲线只有一个交点)时,直线与曲线未必相切,在判定此类情形时,应注意数形 结合. (对于双曲线,重点注意与渐近线平行的直线,对于抛物线,重点注意与对称轴平行的直线) 2、直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦.设弦 AB 端点的坐标为 A(x1,y1), B(x2,y2),直线 AB 的斜率为 k,则:|AB|= 或____________利用这个 公式求弦长时,要注意结合韦达定理.当弦过圆锥曲线的焦点时,可用焦半径进行运算. 3、中点弦问题:点差法 设 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆
x2 y2 ? ? 1 上不同的两点,AB 的中点(x0,y0),AB 的斜率为 k a2 b2

则: ; ________________________________; ________________________________。 对于双曲线、抛物线,可得类似的结论. 【基础检测】 1.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜 率的取值范围是______________. x2 y2 2.已知双曲线 - =1 的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此 12 4 直线斜率的取值范围是_____________. 3. P 为椭圆 的周长是

x2 y2 F1 、 F 2 为左右焦点, ? ? 1 上一点, 若过 F1 作直线交椭圆于 A , 则 ?ABF2 B 两点, 25 9
.

4.设抛物线 x 2 ? 12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,又知点 P 恰为 AB 的中点,则 AF ? BF ? .

5.已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k (k ? 0) 的直线 2 a b 2


与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点.若 AF ? 2 FB ,则 k ?

x2 y2 6.已知双曲线 - =1,直线 l 过其左焦点 F1,交双曲线左支于 A、B 两点,且|AB|=4,F2 为双曲 m 7 线的右焦点,△ABF2 的周长为 20,则 m 的值为_______________. 7.过点(2,4)作直线与抛物线 y2=8x 只有一个公共点,这样的直线有____________条.

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2
2

8.已知双曲线 C:x2-

y =1,过点 P(1,1)作直线 l,使 l 与 C 有且只有一个公共点,则满足 4 上述条件的直线 l 共有_____________条. x2 y2 + =1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围 5 m

9.已知对 k∈ R,直线 y- kx- 1=0 与椭圆 是 _____________. 【典型例题】 【例 1】填空题:

y2 (1).过双曲线 M:x2- 2=1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别 b 相交于点 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是_________ (2).抛物线 y2=4x 的焦点是 F,准线是 l,点 M(4,4)是抛物线上一点,则经过点 F、M 且与 l 相切 的圆共有_______ x2 y2 (3).若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线 a b 离心率的取值范围是_______ x2 2 (4).已知 F1,F2 是双曲线 -y =1 的左、右两个焦点,P、Q 为右支上的两点,直线 PQ 过 F2, 2 且倾斜角为 α,则|PF1|+|QF1|-|PQ|的值为____________. (5)已知椭圆

x2 ?1 1? ? y 2 ? 1,则过点 P ? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程是_____________; 2 ?2 2?

1 x2 ? y 2 ? 1上有两点 P, Q, O 为原点,且有直线 OP 、 OQ 斜率满足 kOP ? kOQ ? ? , (6)椭圆 2 2 则线段 PQ 中点 M 的轨迹方程是______________.
【例 2】 1、已知椭圆 4 x2 ? y 2 ? 1 及直线 y ? x ? m . (1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点?

(2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

2、已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q,且 OP⊥OQ,

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3

|PQ|=

10 ,求椭圆方程 2

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【例 3】

x2 y 2 ? ? 1 上有不同两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称 1、试确定 m 的取值范围,使得椭圆 4 3

2、已知抛物线 y2=-x 与直线 y=k(x+1)相交于 A、B 两点. (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB 的面积等于 10 时,求 k 的值

【反馈练习】 1.过点(0,2)的直线被椭圆 x2+2y2=2 所截弦的中点的轨迹方程是_______________. 2.已知双曲线 x2-

y2 =1 与点 P(1,2) ,过 P 点作直线 l 与双曲线交于 A、B 两点,若 P 为 AB 2 中点,则直线 AB 的方程是________________.

3 ,与直线 x+y-1=0 相交于 M、N 两 2 点,若以 MN 为直径的圆经过坐标原点,则椭圆方程是______________.
3.中心在坐标原点、焦点在 x 轴上的椭圆,它的离心率为 4 5
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斜率为 1 的直线 l 与椭圆

x2 2 +y =1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为________ 4

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4

6.若椭圆

x y ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为________ 36 9

2

2

x2 7.过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆 +y2=1 交于 P1、P2 两点,线段 P1P2 的中点为 P,设直线 m 的斜 2 率为 k1(k1≠0),直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 的值为___________ 8.如图,以椭圆的右焦点 F2 为圆心作一个圆过椭圆的中心 O 并交椭圆于 M、N 两点,若过椭圆左 焦点 F1 的直线 MF1 是圆的切线,则椭圆的右准线 l 与圆 F2 的位置关系是____________. 9.抛物线 y2=2px(p>0 为常数)的焦点为 F,准线为 l,过 F 作一条直 线与抛物线相交于 A、B 两点,O 为原点,给出下列四个结论: ①|AB|的最小值为 2p; ③OA⊥OB; p2 ②△AOB 的面积为定值 ; 2 ④以线段 AB 为直径的圆与 l 相切.

其中正确结论的序号是______(注:把你认为正确的结论的序号都填上). 10. 已知双曲线方程 2x2-y2=2. (1) 求以 A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程; (2) 过点 B(1,1)能否作直线 l,使 l 与所给双曲线交于 Q1、Q2 两点,且点 B 是弦 Q1Q2 的中点?这样 的直线 l 如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.

11.设椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,上顶点为 A,过点 A 作垂直于 AF 的直线交 a2 b2 8 PQ 5
y A P F O Q x

椭圆 C 于另外一点 P,交 x 轴正半轴于点 Q, 且 AP ? (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l:

x ? 3 y ? 5 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程.

参考答案

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5

【概念梳理】1、 ? ? 0 , ? ? 0 , ? ? 0 ; 2、

?1 ? k ? ? x
2

2

? x1 ? ?
2

x ?1 ? k ? ? ??
2

2

? x1 ? ? 4 x2 x1 ? 或 ?
2

1 ? 2 ? y2 ? y1 ? ? 4 y2 y1 ? . ? ?1 ? 2 ? ? ? k ?? ?

? x12 y12 ? ? 1 (1) ? x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 ? a 2 b2 3、点代入: ? ;式作差: (1)—(2) : ? ? 0 ;得中点 2 2 a2 b2 ? x2 ? y2 ? 1 (2) ? b2 ? a2
与斜率: k

y0 b2 ?? 2 x0 a
3 3 ≤k≤ . 3.20 3 3

【基础检测】 1.-1≤k≤1. 2.- 4.5 5.

23 ; 2

【解析】几何法:作椭圆 x?/a?+y?/b?=1 的右准线,过点 A、B 分别引右准线的垂线,垂足分别 是 D、 C, 过点 A 作 BC 的垂线, 垂足是 H。 设 FB=t, 则 FA=2t, 由椭圆第二定理, 得: AD=2t/e, BC=t/e, 则 BH=t/e,在直角三角形 ABH 中,AB=3t,BH=2t/√3,所以 AH=(√23t)/ √3, 则 tan(∠ABH)=AH/BH=√23/√2,即直线 AB 的斜率 k=√23/2。 代数法:变式: AF ? 3FB

??? ?

??? ?

6. m=9; 7 .2 条 ;8. 4 条 ; 9. [1,5)∪(5,+∞)

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6

【例 1】(1)e= 10.

(2) 2 个 (3)(1, 2+1] (4) 4 2 (5) 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 , (6) x 2 ? 2 y 2 ? 1

【例 2】1、 解: (1)把直线方程
即 .

代入椭圆方程






解得



(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为



,由(1)得





根据弦长公式得

.解得



因此,所求直线的方程为

2、解

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设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2)

?y ? x ? 1 由? 2 得(m+n)x2+2nx+n-1=0,Δ =4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0, 2 ?mx ? ny ? 1
由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴ ∴m+n=2 m·n= ①,又 2

2(n ? 1) 2n +1=0, ? m?n m?n

3 4
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4(m ? n ? mn) 10 2 ?( ) ,将 m+n=2,代入得 m?n 2 x2 3 2 1 3 3 1 ②,由①、②式得 m= ,n= 或 m= ,n= ,故椭圆方程为 + y =1 或 2 2 2 2 2 2

3 2 1 2 x + y =1 2 2
【例 3】 1 、解

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设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上以 A( x1, y1 ), A?( x2 , y2 ) 为端点的弦关于直线 y ? 4 x ? m 对称,且以 4 3

x2 y 2 ? 1 内的点 从而有 M ( x0 , y0 ) 为中点是椭圆 ? 4 3

x1 ? x2 ? 2x0 , y1 ? y2 ? 2 y0

? 3x12 ? 4 y12 ? 12 由? 2 2 ?3x2 ? 4 y2 ? 12

(1) (2)

(1)-(2)得

4 (y12 ? y22 )? ? 3 x (12 ? x22 )

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7



k AA? ?

3x 3x y1 ? y2 3( x1 ? x2 ) 1 1 ?? ? ? 0 ,由 k AA? ? ? ? ? 0 ? ? ? y0 ? 3x0 x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) 4 y0 4 4 y0 4

由 M ( x0 , y0 ) 在直线 y ? 4 x ? m 上 ? x0 ? ?m, y0 ? ?3m ? M (?m, ?3m)

从而有

(?m)2 (?3m)2 4 2 13 2 13 ? ? 1 ? m2 ? ? m ? (? , ) 4 3 13 13 13

? y2 ? ?x 2、 (1)证明:如下图,由方程组 ? 消去 x 后,整理得 ky2+y-k=0. y ? k ( x ? 1) ?
y A M N B O x

设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,由韦达定理 y1·y2=-1.∵A、B 在抛物线 y2=-x 上, ∴y12=-x1,y22=-x2,y12·y22=x1x2.∵kOA·kOB=

y1 y y y 1 · 2 = 1 2= =-1, x 2 x1 x 2 y1 y 2 x1

∴OA⊥OB. (2)解:设直线与 x 轴交于 N,又显然 k≠0,∴令 y=0,则 x=-1,即 N(-1,0). ∵S△OAB=S△OAN+S△OBN =

1 1 1 1 |ON||y1|+ |ON||y2|= |ON|· |y1-y2|, ∴S△OAB= · 1· ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 2 2 2 2
1 1 ? 4 ,.解得 k=± 2 6 k

=

1 2

1 1 ( ) 2 ? 4 .∵S△OAB= 10 ,∴ 10 = k 2

【反馈练习】 1. x2+2(y-1)2=2,|x|< 【解析】

6 1 =,0<y< ; 2 2

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8

(提示:

x ?4k 2k ? 1 x 2 代入 x ? , x 2+( 2 y-1) =2 ) ? 2 ? ? ?2k , k ? ? 2 y 2k ? 1 2 2y ? x ? 2? ? ?1 ? ?2 y ?
2 2 8 2 x + y =1 5 5

?4

x ?2 y

2. x-y+1=0 ;3.

1 4 10 1 5 18 或 50 6.- ; 7.- ; 8.相交 9. ①④ 2 2 5 10. 解:(1)即设 A( 2,1) 的中点弦两端点为 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,则有关系 x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ? 2 .又据对称 4
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性知 x1 ? x2 ,所以

y1 ? y2 是中点弦 P1P2 所在直线的斜率,由 P1 、 P2 在双曲线上,则有关系 x1 ? x2

2 2 2 2 2x1 ? y1 ? 2,2x2 ? y2 ? 2 .两式相减是: 2( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0

, 2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 ) ? 0



y1 ? y2 ? 4 ,所求中点弦所在直线为 y ? 1 ? 4( x ? 2) ,即 4 x ? y ? 7 ? 0 . x1 ? x2

(2)可假定直线 l 存在,而求出 l 的方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 方法同(1),联立方程 ? ?
?2 x 2 ? y 2 ? 2 ,消去 y,得 2 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ?

然而方程的判别式 ? ? (?4) 2 ? 4 ? 2 ? 3 ? ?8 ? 0 ,无实根,因此直线 l 与双曲线无交点,这一矛盾说明了 满足条件的直线 l 不存在.

11. 解:⑴设 Q(x0,0) ,由 F(-c,0)A(0,b)知 FA ? (c, b), AQ ? ( x0 ,?b)

b2 8b 2 5 8 , y1 ? b ,因为点 ? FA ? AQ,? cx0 ? b ? 0, x0 ? ;设 P( x1 , y1 ),由AP ? PQ ,得 x1 ? 13c 13 5 c
2

8b 2 2 5 ) ( b) 2 13c ? 13 ? 1 ,整理得 2b2=3ac,即 2(a2-c2)=3ac, 2e2 ? 3e ? 2 ? 0 , P 在椭圆上,所以 a2 b2 (
1 故椭圆的离心率 e= . 2 ⑵由⑴知 2b 2 ? 3ac,得

b2 3 ? a; c 2



3 1 c 1 1 , Q ( a ,0 ) ? ,得c ? a ,于是 F(-2a,0) 2 a 2 2

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1 | a ?5| 1 1 △AQF 的外接圆圆心为( a,0) ,半径 r= |FQ|=a,所以 2 ? a ,解得 a=2,∴c=1,b= 3 , 2 2 2
x2 y2 ? ? 1. 所求椭圆方程为 4 3



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