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徐州市2014-2015学年高二上学期期末抽测数学文科试题



徐州 2014~2015 学年度第一学期期末抽测高二年级数学(文)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.直线 3 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角 ? ? 2.命题“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0 ”的否定为 ▲ ▲ . . .

3.正三棱锥的底面

边长为 2,高为 1,则此三棱锥的体积为 ▲

4.在平面直角坐标系 xOy 中,焦点为 ( ?2,0) 的抛物线的标准方程为 ▲ .

5.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为 4 9





6.若直线 l1 : x ? y ? 2 ? 0 与直线 l 2 : ax ? y ? 7 ? 0 平行,则 a ?



. ▲ 条.

7. 圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 与圆 C 2 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 6 ? 0 的公切线有且只有 8.已知 ? , ? , ? 是不同的平面, m , n 是不同的直线,给出下列 4 个命题: ①若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? // ? ; ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? ? ? ; ③若 m ? ? , ? ? ? , 则 m // ? ;④若 m ? ? , n ? ? , 则 m // n. 则其中真命题的个数为 ▲ 9.函数 f ( x ) ? 个. ▲ .

sin x , 则 f ' (0) 的值为 2 ? cos x

10.已知点 M (5,?1), 则它关于直线 l : x ? y ? 6 ? 0 的对称点的坐标为 ▲



x2 y2 30 11.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,点 A 为右顶点,点 B 为上顶点,坐标原点 O 到直线 AB 的距离为 c 5 a b
(其中 c 为半焦距) ,则椭圆的离心率 e 为 ▲ . ▲ . ▲ .

3 2 12.若直线 y ? kx 是曲线 y ? x ? x ? x 的切线,则 k 的值为

13.已知关于 x 的不等式 x ? 2 ? x ? m 至少有一个负数解,则实数 m 的最小值为
2

14 .在周长为 6 的△ ABO 中, ?ABO ? 60?, 点 P 在边 AB 上, PH ? OA 于 H (点 H 在边 OA 上) ,且

PH ?

3 7 , OP ? , 则边 OA 的长为 2 2





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演 ....... 算步骤. 15.(本小题满分 14 分) (文)设 p : 实数 x 满足 x ? 2 或 x > 3 ; q : 实数 x 满足 a < x < 3a ,其中 a > 0 .

(1)若 a = 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若非 P 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. (理)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 点在棱 DD1 上. (1) 当 E 是 DD1 的中点时,求异面直线 AE 与 BD1 所成角的余弦; (2) 当 二 面 角 E ? AC ? B1 的 平 面 角 ? 满 足

D1

c o?s ?

6 时,求 DE 的长. 6

A1
E

C1

B1
D

C
B

A

(第 17 题图)

16.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, E , F 分别是 A1 B, A1C 的中点,点 D 在 B1 C 1 上

A1 D ? B1C . 求证:
(1) EF // 平面 ABC ; (2)平面 A1CD ? 平面 BB1C1C .

A1
D

C1

B1
E F

A
B

C

17. (本小题满分 14 分) △ ABC 的三个顶点分别为 A(1,0) , B(1,4), C ( 3,2) ,直线 l 经过点 D(0,4). (1) 证明:△ ABC 是等腰三角形; (2) 求△ ABC 外接圆 M 的方程;

(3) 若直线 l 与圆 M 相交于 P , Q 两点,且 PQ ? 2 3 , 求直线 l 的方程.

18. (本小题满分 16 分) 如图,在半径为 3 m 的

1 圆形( O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 OABC , 其中点 B 在圆弧上,点 A, C 在两半 4

径上,现将此矩形铝皮 OABC 卷成一个以 AB 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗) ,设矩形的边长

AB ? xm ,圆柱的体积为 Vm 3 .
(1) 写出体积 V 关于 x 的函数关系式,并指出定义域; (2) 当 x 为何值时,才能使做出的圆柱形罐子体积 V 最大?最大体积是 多少?

C

B

O
(第 18 题图)

A

19. (本小题满分 16 分) 如图,已知椭圆 C :

x2 y2 4 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右准线 l 的方程为 x ? , 焦距为 2 3 . 2 3 a b

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 过定点 B(1,0) 作直线 l 与椭圆 C 交于点 P , Q (异面椭圆 C 的左、右顶点 A1 , A2 )两点,设直线 PA1 与直 线 QA2 相交于点 M . ① 若 M (4,2), 试求点 P , Q 的坐标; ② 求证:点 M 始终在一条直线上.

y P

M

A1

O

B

A2
Q

x

第 19 题图

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? ( x ? 1)e x ? kx2 (k ? R), g( x ) ? a ln x(a ? R) (1) 当 a ? 1 时,求 y ? xg( x ) 的单调区间; (2) 若对 ?x ? [1, e ] ,都有 g( x ) ? ? x 2 ? (a ? 2) x 成立,求 a 的取值范围; (3) 当 k ? ( ,1] 时,求 f ( x ) 在 [0, k ] 上的最大值.

3 4

2014—2015 学年度第一学期期末抽测

高二数学(文)试题参考答案
一、填空题: 1. 60 ? 2. ? x ? R , x 2 ? 1 ? 0 3.

3 3 3 3

4. y 2 ? ?8 x

5. y ? ? x

3 2

6. ?1

7.3

8.1

9.1 10. (7,1)

11.

12. 1 或

3 4

13. ?

9 4

14.

5? 7 3

二、解答题: 二、解答题: 15.⑴当 a ? 1 时,不等式 a ? x ? 3a 为 1 ? x ? 3 , 即 q 为真时,实数 x 的范围是 1 ? x ? 3 ,????????????????????2 分

? x ≤ 2, 或x ? 3, 若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以 ? ?1 ? x ? 3,

??????????????5 分

即 1 ? x ≤ 2 ,所以实数 x 的范围是 1 ? x ≤ 2 .????????????????7 分 ⑵ ? p : 2 ? x ≤ 3 ,???????????????????????????9 分

?a ≤ 2, 又 q : a ? x ? 3a ,由 ? p 是 q 的充分不必要条件,有 2,3? ? ??12 分 ? ? a,3a ? ,即 ? ?3a ? 3,
得 1 ? a ≤ 2 .所以实数 a 的取值范围为 (1, 2] .????????????????14 分 16.⑴因为 E , F 分别是 A1 B, A1C 的中点,所以 EF ? BC ,???????????2 分 因为 EF ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 所以 EF ? 平面 ABC .???????7 分 ⑵因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,所以 BB1 ? 平面 A1 B1C1 , 因为 A1 D ? 平面 A1 B1C1 ,所以 BB1 ? A1 D .?????????????????10 分 又因为 A1 D ? B1C , BB1 ? B1C ? B1 , BB1 , B1C ? 平面 BB1C1C ,所以 A1 D ? 平面 BB1C1C . 因为 A1 D ? 平面 A1CD ,所以平面 A1CD ? 平面 BB1C1C .???????????14 分 17.⑴因为 A(1,0) , B(1, 4) , C (3, 2) ,所以 k AC ? 1 , kBC ? ?1 ,

?

所以 CA ? CB ,又 CA ? CB ? 2 2 ,所以 △ ABC 是等腰直角三角形, ………………3 分 ⑵由⑴可知, ? M 的圆心是 AB 的中点,所以 M (1, 2) ,半径为 2 , 所以 ? M 的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 .………………………………………………6 分 ⑶因为圆的半径为 2 ,当直线截圆的弦长为 2 3 时, 圆心到直线的距离为 22 ?

? 3?

2

? 1 .……………………………………………………8 分

①当直线 l 与 x 轴垂直时, l 方程为 x ? 0 ,与圆心 M (1, 2) 的距离为 1 ,满足条件; 10 分 ②当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ? 4 , 因为圆心到直线 y ? kx ? 4 的距离为

k?2
2

3 ? 1 ,解得 k ? ? , 4 k ?1

此时直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 16 ? 0 . 综上可知,直线 l 的方程为 x ? 0 或 3x ? 4 y ? 16 ? 0 .…………………………………14 分 18.⑴连结 OB ,因为 AB ? x ,所以 OA ? 9 ? x2 ,设圆柱底面半径为 r ,则 9 ? x2 ? 2?r ,即 4?2 r2 ? 9 ? x2 ,所 以 V ? ?r 2 x ? ? ? ⑵由 V ? ?

9 ? x2 9 x ? x3 ? x ? ,其中 0 ? x ? 3 .?????6 分 4? 2 4?

9 ? 3x 2 ? 0 及 0 ? x ? 3 ,得 x ? 3 ,?????????????????8 分 4?

列表如下:

x

? 0, 3 ?
+
?

3
0

?
3 3 ??

3,3

?
????????????????12 分

V?
V

?
?

极大值

所以当 x ? 3 时, V 有极大值,也是最大值为

3 3 . ?? 3 3 3 m .?????16 分 ??

答:当 x 为 3 m 时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大体积是

? a2 4 3 , ? ? 3 ?c x2 ?a ? 2, ? 19.⑴由 ? 2c ? 2 3, 得 ? 所以椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 .???????2 分 4 ?b ? 1. ? 2 2 2 ?a ? b ? c ? ?
⑵①因为 A1 ? ?2,0 ? , A2 ? 2,0? , M ? 4,2? ,所以 MA1 的方程为 y ? ( x ? 2) ,代入 x2 ? 4 y 2 ? 4 ,

1 3

4 1 x2 ? 4 + 4[ ( x ? 2)]2 ? 0 ,即 ( x + 2)[( x ? 2) + ( x + 2)] ? 0 , 9 3 10 12 10 12 因为 xA1 ? ?2 ,所以 xP ? ,则 yP ? ,所以点 P 的坐标为 ( , ) .?????6 分 13 13 13 13 6 4 同理可得点 Q 的坐标为 ( , ? ) .??????????????????????8 分 5 5

②设点 M ? x0 , y0 ? ,由题意, x0 ? ?2 .因为 A1 ? ?2,0 ? , A2 ? 2,0? , 所以直线 MA1 的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) ,代入 x0 ? 2

x2 ? 4 y 2 ? 4 ,得 x 2 ? 4 + 4[

y0 ( x ? 2)]2 ? 0 , x0 ? 2

即 ( x + 2)[( x ? 2) +

2 4 y0 ( x + 2)] ? 0 ,因为 xA1 ? ?2 , ( x0 ? 2)2

所 以

2 8 y0 ( x0 ? 2) 2 4( x0 + 2) 2 xP ? ? ?2 2 2 4 y0 ( x0 + 2)2 + 4 y0 1+ ( x0 ? 2) 2

2?

, 则

yP ?

4( x0 ? 2) y0 ( x0 ? 2) 2 ? 4 y0 2

, 故 点

P

的 坐 标 为

(

4 x0 (+ 2 2 ) ? 2 2 ( x0 + 2 2 + ) y0 4

x ? 4 ( y0 2 ) 0 .???????????????????? 10 分 , ) 2 2 ? x0 ? ( 2 y) 4 0

同理可得点 Q 的坐标为 (

?4( x0 - 2)2 ?4( x0 ? 2) y0 ?2, ) .?????????12 分 2 2 ( x0 - 2) + 4 y0 ( x0 ? 2) 2 ? 4 y0 2
yQ yP . ? xP ? 1 xQ ? 1

因为 P , Q , B 三点共线,所以 kPB ? kQB ,
4( x0 ? 2) y0 ( x0 ? 2) 2 ? 4 y0 2

?4( x0 ? 2) y0 2 2 ( x0 ? 2) y0 ?( x0 ? 2) y0 ( x 0 ? 2) ? 4 y0 所以 ,即 , ? ? 2 2 2 2 ( x ? 2) ? 12 y ? 3( x0 ? 2)2 ? 4 y0 2 ?4( x0 ? 2) 0 0 4 ? x0 + 2 ? ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 ( x0 ? 2) 2 ? 4 y0 2 ? x0 + 2 ? + 4 y02

由题意, y0 ? 0 ,所以

x0 ? 2 x0 ? 2 . ? ( x0 ? 2) 2 ? 12 y0 2 3( x0 ? 2) 2 ? 4 y0 2

即 3( x0 ? 2)( x0 ? 2)2 ? 4( x0 ? 2) y02 ? ( x0 ? 2)( x0 ? 2)2 ? 12( x0 ? 2) y0 2 . 所以 ( x0 ? 4)(

x0 2 x2 x2 ? y0 2 ? 1) ? 0 ,则 x0 ? 4 ? 0 或 0 ? y0 2 ? 1 .若 0 ? y0 2 ? 1 ,则点 M 在椭圆上, P , Q , M 为同 4 4 4

一点,不合题意.故 x0 ? 4 ,即点 M 始终在定直线 x ? 4 上.?16 分 20.⑴ a ? 1 时, y ? x ln x , y? ? ln x ? 1 ,令 y ? ? 0 ,得 ln x ? ?1 ,解得 x ?

1 . e

所以函数 y ? x ln x 的单调增区间为 ( , ??) .???????????????????2 分 ⑵由题意 a ln x ≥ ? x2 ? (a ? 2) x 对 1 ≤ x ≤ e 恒成立, 因为 1 ≤ x ≤ e 时,x ? ln x ? 0 , 所以 a ≤ 恒成立.记 h( x) ?

1 e

x2 ? 2 x 对1 ≤ x ≤ e x ? ln x

( x ? 1) ? x ? 2(1 ? ln x)? x2 ? 2x ,因为 h?( x) ? ≥ 0 对 1 ≤ x ≤ e 恒成立,当且仅当 x ? 1 时 h? ? x ? ? 0 , x ? ln x ( x ? ln x)2

所以 h( x) 在 ?1,e? 上是增函数, 所以 ?h( x)?min ? h(1) ? ?1 ,因此 a ≤ ?1 .????????????????????6 分 ⑶ 因为 f ?( x) ? e x ? ( x ?1)e x ? 2 kx ? x(e x ? 2 k) ,由 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ln 2k 或 x ? 0 (舍) .

可证 ln x ≤ x ? 1 对任意 x ? 0 恒成立,所以 ln 2k ≤ 2k ? 1 , 因为 k ≤ 1 ,所以 2k ? 1 ≤ k ,由于等号不能同时成立,所以 ln 2k ? k ,于是 0 ? ln 2k ? k . 当 0 ? x ? ln 2k 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,ln 2k ) 上是单调减函数; 当 ln(2k ) ? x ? k 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (ln 2k , k ) 上是单调增函数. 所以 ? f ( x)?max ? max ? f (0), f (k )? ? max ?1,(k ? 1)ek ? k 3 ,????????????8 分 记 p( x) ? ( x ?1)e x ? x3 ? 1, 0 ≤ x ≤ 1 ,以下证明当 0 ≤ x ≤ 1 时, p( x) ≥ 0 .

?

?

p?( x) ? xe x ? 3x2 ? x(e x ? 3x) ,记 r ( x) ? e x ? 3x , r ?( x) ? e x ? 3 ? 0 对 0 ? x ? 1 恒成立,
所以 r ( x) 在 ?0,1? 上单调减函数, r (0) ? 1 ? 0 , r (1) ? ?2 ? 0 ,所以 ?x0 ? (0,1) ,使 e x0 ? 3x0 ? 0 , 当 0 ? x ? x0 时, p?( x) ? 0 , p( x) 在 (0, x0 ) 上是单调增函数;当 x0 ? x ? 1 时, p?( x) ? 0 , p( x) 在 ( x0 ,1) 上是单调
减函数.又 p(0) ? p(1) ? 0 ,所以 p( x) ≥ 0 对 0 ? x ≤ 1 恒成立, 即 ( x ? 1)e x ? x3 ≥ ?1 对 0 ? x ≤ 1 恒成立,所以 ? f ( x)?max ? (k ? 1)ek ? k 3 .??????16 分



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