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§2.1.2指数函数及其性质(2个课时)


太原二十中问题导学案
使用时间: 科 目 课 型 课 第 题 课时 年 月 日 2.1.2 指数函数及其性质(2 个课时) 主备人 审核人

学 习 目 标

1.知识与技能 ①通过实际问题了解指数函数的实际背景; ②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想; 2.情感、态度、价值观 ①让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题,分析问题的能力. 3.过程与方法 展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质

学 习 重 点 与 难 点

重点:指数函数的概念和性质及其应用. 难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用.

学 法 指 导

学法:观察法、讲授法及讨论法.

【自主学习】

2.1.2 指数函数及其性质(2 个课时)
一. 教学目标: 1.知识与技能 ①通过实际问题了解指数函数的实际背景; ②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想; 2.情感、态度、价值观 ①让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题,分析问题的能力. 3.过程与方法 展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质. 二.重、难点 重点:指数函数的概念和性质及其应用. 难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用. 三、学法与教具: ①学法:观察法、讲授法及讨论法. ②教具:多媒体.

备 注







程 解(1) x ? R, y ? 0 一.教学设想: 1. 情境设置

第一课时

①在本章的开头,问题(1)中时间 x 与 GDP 值中的 y ? 1.073x ( x ? x ? 20)与问题(2)

1 5 中时间t和C-14含量P的对应关系P=[( ) 30 ]t ,请问这两个函数有什么共同特征. 2
②这两个函数有什么共同特征

1

1 t 1 1 把P=[( )5730 ]变成P ? [( ) 5730 ]t ,从而得出这两个关系式中的底数是一个正数,自变量为指 2 2

数,即都可以用 y ? a x ( a >0 且 a ≠1 来表示). 二.讲授新课 指数函数的定义 一般地,函数 y ? a x ( a >0 且 a ≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么? (1) y ? 2x?2 (4) y ? ? x (7) y ? x x (2) y ? (?2) x (5) y ? x2 (8) y ? (a ?1) x (3) y ? ?2x (6) y ? 4 x2 ( a >1,且 a ? 2 )
x

小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为 a >0, x 是任意一个实数时, a 是一个确 定的实数,所以函数的定义域为实数集 R.
x ? ?当x ? 0时,a 等于0 若a ? 0, ? x ? ?当x ? 0时,a 无意义

若 a <0,如 y ? (?2) , 先时,对于x= , x ?
x

1 6

1 等等,在实数范围内的函数值不存在. 8

若 a =1, y ? 1x ? 1, 是一个常量, 没有研究的意义, 只有满足 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的形
1

式 才 能 称 为 指 数 函 数 , a为常数,象y=2-3 ,y=2x , y ? x , y ? 3
x x

x ?5

, y ? 3x ? 1等等,不 符 合

y ? a x (a ? 0且a ? 1)的形式,所以不是指数函数 .
我们在学习函数的单调性的时候, 主要是根据函数的图象, 即用数形结合的方法来研究. 下 面我们通过 先来研究 a >1 的情况 用计算机完成以下表格,并且用计算机画出函数 y ? 2 的图象
x

x

?3.00

?2.50

?2.00

?1.50

?1.00

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

y ? 2x

1 ?8

1 4

1 2

1 y=2x

2

4

y

0 x

再研究,0< a <1 的情况,用计算机完成以下表格并绘出函数 y ? ( ) 的图象.
x

1 2

x
1 y ? ( )x 2

?2.50

?2.00
1 4

?1.50

?1.00
1 2

0.00
1

1.00

1.50
2

2.00

2.50
4

?1? y?? ? ?2?

x

y

0 x

从图中我们看出 y ? 2 与y ? ( ) 的图象有什么关系?
x x

1 2
x

通过图象看出 y ? 2 与y ? ( ) 的图象关于y轴对称, 实质是 y ? 2x 上的 点(-x, y )
x

1 2

1 与y =( )x上点(-x, y )关于y轴对称. 2 1 x x 讨论: y ? 2 与y ? ( ) 的图象关于 y 轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗? 2 1 x 1 x x x ② 利 用 电 脑 软 件 画 出 y?5 , y?3 ,y?( ) ,y?( ) 的 函 数 图 象 . x 3 5 ?1? y ? 5x y?? ? ?5? y ? 3x x ?1? y?? ? ?3?
8 6 4 2 -5

0
-2 -4

5

10

-6

-8

问题:1:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 从 图 上 看 y ? ax ( a > 1 ) 与 y ? ax ( 0 < a < 1 ) 两 函 数 图 象 的 特 征 .
8

y ? a (0 ? a ? 1)
x

6

y ? a x (a ? 1)

4

2

-10

-5

0
-2 -4

5

10

-6

-8

问题 2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇 偶性. 问题 3:指数函数 y ? a ( a >0 且 a ≠1) ,当底数越大时,函数图象间有什么样的关系.
x

图象特征 0 < a <1 a >1 向 x 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右, 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 自左向右, 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1
x

函数性质

a >1
非奇非偶函数

0< a <1

函数的定义域为 R 函数的值域为 R+

a 0 =1
增函数 减函数

x >0, a x >1 x <0, a x <1

x >0, a x <1 x <0, a x >1

5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在 [a, b]上, f (x)=a ( a >0 且 a ≠1)值域是 [ f (a), f (b)]或[ f (b), f (a)]; (2)若 x ? 0, 则f (x)? 1; f (x)取遍所有正数当且仅当x ? R;
x (3)对于指数函数 f ( x) ? a ( a >0 且 a ≠1) ,总有 f (1) ? a;

(4)当 a >1 时,若 x1 < x2 ,则 f ( x1 ) < f ( x2 ) ; 例题: 例 1: (P66 例 6)已知指数函数 f ( x) ? a ( a >0 且 a ≠1)的图象过点(3,π ) ,求
x

f (0), f (1), f (?3)的值.
分析:要求 f (0), f (1), f (?3)的值,只需求出a, 得出f(x)=(? 3 ) , 再把 0,1,3 分别代
x 1

入 x ,即可求得 f (0), f (1), f (?3). 提问:要求出指数函数,需要几个条件? 课堂练习:P68 练习:第 1,2,3 题 补充练习:1、函数 f ( x) ? ( ) 的定义域和值域分别是多少?
x

1 2

2、当 x ?[?1,1]时,函数f ( x) ? 3 ? 2的值域是多少?
x

(2) (-

5 ,1) 3

例 2:求下列函数的定义域: (1) y ? 2 x ? 4
4

(2) y ? ( )

2 3

| x|

分析:类为 y ? a x (a ? 1, a ? 0) 的定义域是 R,所以,要使(1) , (2)题的定义域,保要 使其指数部分有意义就得 . 3.归纳小结 作业:P69 习题 2.1 A 组第 5、6 题 1、理解指数函数 y ? a x (a ? 0), 注意a ? 1与0 ? a ? 1两种情况。 2、解题利用指数函数的图象,可有利于清晰地分析题目,培养数型结合与分类讨论的数 学思想 .

第 2 课时
教学过程: 1、复习指数函数的图象和性质 2、例题 例 1: (P66 例 7)比较下列各题中的个值的大小 (1)1.72.5 与 1.73 ( 2 ) 0.8
?0.1

与 0.8

?0.2

( 3 ) 1.70.3 与

0.93.1

解法 1:用数形结合的方法,如第(1)小题,用图形计算器或计算机画出 y ? 1.7 x 的图 象,在图象上找出横坐标分别为 2.5, 3 的点,显然,图象上横坐标就为 3 的点在横坐标为 2.5
8 6

4

y ? 1.7 x
5 10

2

-10

-5

0

-2

-4

-6

-8

的点的上方,所以

1.72.5 ? 1.73 .
2.5

解法 2:用计算器直接计算: 1.7 所以, 1.7
2.5

? 3.77

1.73 ? 4.91

? 1.73

解法 3:由函数的单调性考虑 因为指数函数 y ? 1.7 x 在 R 上是增函数,且 2.5<3,所以,1.7
2.5

? 1.73

仿照以上方法可以解决第(2)小题 . 注:在第(3)小题中,可以用解法 1,解法 2 解决,但解法 3 不适合 . 由于 1.70.3=0.93.1 不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到 1, 把这两数值分别与 1 比较大小,进而比较 1.70.3 与 0.93.1 的大小 . 思考: 1、已知 a ? 0.80.7 , b ? 0.80.9 , c ? 1.20.8 , 按大小顺序排列 a, b, c .
1 1

2. 比较 a 3与a 2的大小 ( a >0 且 a ≠0). 指数函数不仅能比较与它有关的值的大小,在现实生活中,也有很多实际的应用. 例 2(P67 例 8)截止到 1999 年底,我们人口哟 13 亿,如果今后,能将人口年平均均增 长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)? 分析:可以先考试一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题: 1999 年底 人口约为 13 亿 经过 1 年 人口约为 13(1+1%)亿 经过 2 年 人口约为 13(1+1%) (1+1%)=13(1+1%)2 亿 经过 3 年 人口约为 13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3 亿 经过 x 年 人口约为 13(1+1%) x 亿 经过 20 年 人口约为 13(1+1%)20 亿 解:设今后人口年平均增长率为 1%,经过 x 年后,我国人口数为 y 亿,则

y ? 13(1 ? 1%) x
当 x =20 时, y ? 13(1 ? 1%)
20

? 16(亿)

答:经过 20 年后,我国人口数最多为 16 亿. 小结:类似上面此题,设原值为 N,平均增长率为 P,则对于经过时间 x 后总量

y ? N (1 ? p) x , 像y ? N (1 ? p) x 等形如y ? ka x ( K ? R ,a >0 且 a ≠1)的函数称为指数型函
数 .

思考:P68 探究: (1)如果人口年均增长率提高 1 个平分点,利用计算器分别计算 20 年后,33 年后的我国 人口数 . (2)如果年平均增长率保持在 2%,利用计算器 2020~2100 年,每隔 5 年相应的人口数 . (3)你看到我国人口数的增长呈现什么趋势? (4)如何看待计划生育政策? 3.课堂练习 (1) 右图是指数函数① y ? a x ② y ? bx ③ y ? cx ④ y ? d x 的图象, 判断 a, b, c, d

y ? bx y ? cx
8

Y=
6

y ? dx

y ? ax
4 2 -10 -5 5 10

-2

-4

-6

与 1 的大小关系; (2)设 y1 ? a3x?1 , y2 ? a?2 x , 其中 a >0, a ≠1,确定 x 为何值时,有: ① y1 ? y2 ② y1 > y2

(3)用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的

3 ,写出存留污垢 y 与漂洗次数 x 的函数关 4

系式,若要使存留的污垢,不超过原有的 1%,则少要漂洗几次(此题为人教社 B 版 101 页第 6 题). 归纳小结: 本节课研究了指数函数性质的应用, 关键是要记住 a >1 或 0< a <时 y ? a x 的 图象, 在此基础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用, 形如 y ? ka x(a>0 且 a ≠ 1). 作业:P69 A 组第 7 ,8 题

P70 B 组

第 1,4 题

【合作探究】 (小组讨论、交流、展示) 思考:P68 探究: (1)如果人口年均增长率提高 1 个平分点,利用计算器分别计算 20 年后,33 年后的我国 人口数 . (2)如果年平均增长率保持在 2%,利用计算器 2020~2100 年,每隔 5 年相应的人口数 . (3)你看到我国人口数的增长呈现什么趋势? (4)如何看待计划生育政策?

备 注







【答疑解惑】 思考: 1、已知 a ? 0.8 , b ? 0.8 , c ? 1.2 , 按大小顺序排列 a, b, c .
0.7 0.9 0.8
1 1



2. 比较 a 3与a 2的大小 ( a >0 且 a ≠0).

【梳理巩固】 归纳小结: 本节课研究了指数函数性质的应用, 关键是要记住 a >1 或 0< a <时 y ? a x 的 图象, 在此基础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用, 形如 y ? ka x(a>0 且 a ≠ 1).

备 注









【达标检测】 课堂练习 (1) 右图是指数函数① y ? a x ② y ? bx ③ y ? cx ④ y ? d x 的图象, 判断 a, b, c, d

备 注

y ? bx y ? cx
8

Y=
6

y ? dx
x

y?a
4 2 -10 -5

5

10

-2

-4

-6



与 1 的大小关系; (2)设 y1 ? a3x?1 , y2 ? a?2 x , 其中 a >0, a ≠1,确定 x 为何值时,有:



① y1 ? y2

② y1 > y2





【作业布置】 作业:P69 A 组第 7 ,8 题

P70 B 组

第 1,4 题

备 注

学 习 过 程

板 书 设 计

课 后 反 思


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