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皖南八校2011届高三第三次联考数学试题(理)



皖南八校 2011 届高三第三次联考数学试题(理) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. A.i B.-i C.1

() D.-1

2. 已知集合



, 则

=





A.

B.

C.

D.

3.“ 直”的(

”是“直线 )

与直线

相互垂

A.充分必要条件 C.必要而不充分条件

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知双曲线 率为( )

的离心率为

,则椭圆

的离心

A.

B.

C.

D.

5.在 则 A.6

中,已知 OA=4,OB=2,点 P 是 AB 的垂直一部分线 上的任一点, =( ) B.-6 C.12 D.-12

6.已知 A.30° 150°

中,已知 B.60°



=



) D.30° 或

C.120°

7.已知





A.0

B.6

C.8

D.

8.一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为 1,2,3,4,5,6, 将这颗骰子连续抛掷三次,观察向上的点数,则三次点数依次构成等差数列 的概率为( )

A.

B.

C.

D.

9.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何 体的体积为 ( )

A.

B.

C.

D.

10.设 x,y 满足约束条件

,若目标函数



最大值为 12,则 ( )

的最小值为

A.

B.

C.1

D.2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡上。

11.

展开式中的常数项等于

。 。

12.如下图,运行一程序框图,则输出结果为

13.已知直线 的参数方程是

(t 为参数),以原点 O 为极点,x 轴正 ,则直线

半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 被圆 C 所截得的弦长等于 。

14.有 6 名同学参加两项课外活动,每位同学必须参加一项活动且不 能同时参加两项,每项活动最多安排 4 人,则没的安排方法有 种。(用数学作答) 15.关于 ,给出下列五个命题:

①若

是周期函数;

②若

,则

为奇函数;

③若函数

的图象关于

对称,则

为偶函数;

④函数

与函数

的图象关于直线

对称;

⑤若

,则 。

的图象关于点(1,0)对称。

填写所有正确命题的序号

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出必要的文字说明、证明过 程及演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知直线 与函数 的图像的

两个相邻交点之间的距离为 。 (I)求 的解析式,并求出 的单调递增区间;

(II) 将函数 的最大值及

的图像向左平移

个单位得到函数

的图像, 求函数

取得最大值时 x 的取值集合。

17.(本小题满分 12 分) 某种植企业同时培育甲、乙两个品种杉树幼苗,甲品种杉树幼苗培育成功 则每株利润 80 元,培育失败,则每株亏损 20 元;乙品种杉树幼苗培育成功 则每株获利润 150 元,培育失败,则每株亏损 50 元。统计数据表明:甲品 种杉树幼苗培育成功率为 90%,乙品种杉树幼苗培育成功率为 80%。假设每 株幼苗是否培育成功相互独立。 (I)求培育 3 株甲品种杉树幼苗成功 2 株的概率; (II)记 为培育 1 株甲品种杉树幼苗与 1 株乙品种杉树幼苗可获得的总利润, 求 的分布列及其期望。

18.(本小题满分 13 分) 如图,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, AE=EB,点 F 在 CE 上,且 平面 ACE。

(I)求证:

平面 BCE;

(II)求二面角 B—AC—E 的正弦值; (III)求点 D 到平面 ACE 的距离。

19.(本小题满分 13 分)

已知数列

的前 n 项和为

(I)求

的通项公式;

(II)数列

,求数列

的前 n 项和



(III)若

对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。

20.(本小题满分 12 分)

已知椭圆 (I)求椭圆方程; (II)点 在圆

的右焦点为 F2(1,0),点

在椭圆上。

上,M 在第一象限,过 M 作圆



切线交椭圆于 P、Q 两点,问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值?如果是,求出 定值,如不是,说明理由。

21.(本小题满分 13 分)

已知

(I)a=2 时,求



的公共点个数;

(II)a 为何值时,

的公共点个数恰为两个。

参考答案 1. D .D 11. 14. 50 16.( Ⅰ )

2.C 10.A

3. B

4.C

5.B

6.A

7.D

8.A

9.

12.

13. 4 15.①③

由题意可知函数的周期

,即

所以



其中

,解得

其中



的递增区间为

(Ⅱ)



的最大值为 ,

此时有

,即



,其中

.解得





所以当

取得最大值时 的取值集合为

17.(Ⅰ)

(Ⅱ) 的可能取值为 230,130,30,-70

的分布列 230 P 0.9×0.8 30 0.9×0.2 130 0.1×0.8 -70 0.1×0.2

即: 230 P 0.72 30 0.18 130 0.08 -70 0.02

期望.E =230×0.72+30×0.18+130×0.08+(-70)×0.02=180

18.(I)

(II)连结 AC、BD 交于 G,连结 FG, ∵ABCD 为正方形,∴BD⊥AC, ∵BF⊥平面 ACE,∴BF⊥AC,∴AC⊥平面 AFG

∴FG⊥AC,∠FGB 为二面角 B-AC-E 的平面角,由(I)可知,AE⊥平面 BCE, ∴AE⊥EB,又 AE=EB,AB=2,AE=BE= ,

在直角三角形 BCE 中,CE=

在正方形 ABCD 中,BG=

,在直角三角形 BFG 中,

(III)由(II)可知,在正方形 ABCD 中,BG=DG, D 到平面 ACE 的距离等于 B 到平面 ACE 的距离,BF⊥平面 ACE,

线段 BF 的长度就是点 B 到平面 ACE 的距离,即为 D 到平面 ACE 的距离.

故 D 到平面的距离为

.

另法:用等体积法亦可。 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以线段 AB 的中点为原点 O,OE 所在直线为 z 轴,AB 所在直线为 x 轴,过 O 点平行于 AD 的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系 O—xyz,如图. 面 BCE,BE 在 面 BCE, 的中点, ,

设平面 AEC 的一个法向量为









是平面 AEC 的一个法向

量.

又平面 BAC 的一个法向量为,

∴二面角 B—AC—E 的正弦值为

(III)∵AD//z 轴,AD=2,∴ ∴点 D 到平面 ACE 的距离



19.解答:(1)由 得

易求:

代入

(2)数列

于是

两式相减得

(3)

∴当 n=1 时,



时,即,

,所以

∴对一切正整数 n,

取最大值是





20. (1) 右焦点为

左焦点为

,点

在椭圆上



所以椭圆方程为

(2)设

连接 OM,OP,由相切条件知:

同理可求

所以

为定值。

21.

(1) 联立



整理得

即联立

求导得

到极值点分别在-1 和 ,且极大值极小值都是负值。故交点只有一个。

(2)联立



整理得

即联立

如图:求导 h(x)可以得到极值点分别在-1 和 处,画出草图

当 曲线上) 故





仅有一个公共点(因为(1,1)点不在

时恰有两个公共点。



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