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三角形角平分线专题讲解



二 由角平分线想到的辅助线
口诀:
图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 角平分线具有两条性质:a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相 等。对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线; ②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。 通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下 考虑构造对称图形。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线
E

(一) 、截取构全等
几何的证明在于猜想与尝试,但这种尝试与 猜想是在一定的规律基本之上的,希望同学们能 掌握相关的几何规律,在解决几何问题中大胆地
O F D

A

C

图1-1

B

去猜想, 按一定的规律去尝试。 下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以 介绍。 如图 1-1,∠AOC=∠BOC,如取 OE=OF,并连接 DE、DF,则有△OED≌△OFD, 从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
A

例1. 如图 1-2,AB//CD,BE 平分∠BCD, CE 平分∠BCD,点 E 在 AD 上,求证:BC=AB+CD。 分析:此题中就涉及到角平分线,可以利 用角平分线来构造全等三角形,即利用解平分 线来构造轴对称图形,同时此题也是证明线段
B

E

D

F

C

图1-2

的和差倍分问题, 在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法

来证明, 延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延 长还是截取都要证明线段的相等,延长要证明延长后的线段与某条线段相等,截 取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等,进而达到所证明的目的。 简证:在此题中可在长线段 BC 上截取 BF=AB,再证明 CF=CD,从而达到证明 的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此 题的证明也可以延长 BE 与 CD 的延长线交于一点来证明。自已试一试。 例2. 已知:如图 1-3,AB=2AC,∠BAD=∠CAD,DA=DB,求证 DC⊥AC 分析: 此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段 相等。其它问题自已证明。
A

C E D B

图1-3

例3. 已知:如图 1-4,在△ABC 中,∠C=2∠B,AD 平分∠BAC,求证:ABAC=CD 分析:此题的条件中还有角的平分线,在证明 中还要用到构造全等三角形, 此题还是证明线段的 和差倍分问题。用到的是截取法来证明的,在长的
E A

线段上截取短的线段,来证明。试试看可否把短的 延长来证明呢? 练习 1. 已知在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠B=
C B D

图1-4

2∠C,求证:AB+BD=AC 2. 已知:在△ABC 中,∠CAB=2∠B,AE 平分∠CAB 交 BC 于 E,AB=2AC,

求证:AE=2CE 3. 已知:在△ABC 中,AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线,M 为 AD 上任一点。

求证:BM-CM>AB-AC

4.

已知:D 是△ABC 的∠BAC 的外角的平分线 AD 上的任一点,连接 DB、

DC。求证:BD+CD>AB+AC。

(二) 、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线, 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明 问题。
A

例1. 如图 2-1,已知 AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。 求证:∠ADC+∠B=180
D

分析:可由 C 向∠BAD 的两边作垂线。近而证∠ADC 与∠B 之和为平角。
B

E

F

C

图2-1

例2. 如图 2-2,在△ABC 中,∠A=90 ,AB=AC,∠ABD=∠CBD。 求证:BC=AB+AD 分析:过 D 作 DE⊥BC 于 E,则 AD=DE=CE,则构造出 全等三角形, 从而得证。 此题是证明线段的和差倍分问题, 从中利用了相当于截取的方法。
B E C A D

图2-2

例3. 已知如图 2-3,△ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P。求证:∠BAC 的平分线也经过点 P。 分析:连接 AP,证 AP 平分∠BAC 即可,也就是证 P 到 AB、 AC 的距离相等。
N D B P M F C A

练习: 1. 如图 2-4∠AOP=∠BOP=15 , PC//OA, PD⊥OA,

图2-3

B C

如果 PC=4,则 PD=( A 4 B 3

) C 2 D 1
O

P

图2-4

D

A

2.已知在△ABC 中,∠C=90 ,AD 平分∠CAB,CD=1.5,DB=2.5.求 AC。 3.已知:如图 2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD,CE⊥AB,
1 AE= 2 (AB+AD).求证:∠D+∠B=180 。
A

4.已知:如图 2-6,在正方形 ABCD 中,E 为 CD 的中点,
B

E C

D

F 为 BC 上的点,∠FAE=∠DAE。求证:AF=AD+CF。 5.

图2-5

已知:如图 2-7,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90 ,CD⊥AB,垂足为 D,AE

平分∠CAB 交 CD 于 F,过 F 作 FH//AB 交 BC 于 H。求证 CF=BH。
A D

C E
E

F H B

B

图2-6

F

C

A

D

图2-7

(三) :作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线, 使之与角的两边相交, 则截得一个等腰三角形, 垂足为底边上的中点, 该角平分线又成为底边上的中线和高, 以利用中位线的性质与等腰三 角形的三线合一的性质。 (如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一 边相交) 。

例1. 已知:如图 3-1,∠BAD=∠DAC,AB>AC,CD⊥AD 于 D,H 是 BC 中点。 求证:DH=
1 (AB-AC) 2
E B H A

分析:延长 CD 交 AB 于点 E,则可得全等三角形。问题可证。

D

C

例2. 已知:如图 3-2,AB=AC,∠BAC=90 ,AD 为∠AB C 的平分线,CE⊥BE.求证:BD=2CE。 分析:给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的 垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角
B

图示3-1 F
A E

D

图3-2

C

形。

例 3.已知:如图 3-3 在△ABC 中,AD、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线, 过顶点 B 作 BFAD,交 AD 的延长线于 F,连结 FC 并延长
A

交 AE 于 M。 求证:AM=ME。 分析:由 AD、AE 是∠BAC 内外角平分线,可得 EA ⊥AF,从而有 BF//AE,所以想到利用比例线段证相等。
B F N D C

M

E

图3-3

例4. 已知:如图 3-4,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,AD=AB,CM⊥AD 交 AD 延长线于 M。求证:AM=
1 (AB+AC) 2 1 EC,另外 2

分析:题设中给出了角平分线 AD,自然想到以 AD 为轴作对称变换,作△AB D 关于 AD 的对称△AED,然后只需证 DM= 由求证的结果 AM=
A E F B D M n C

1 (AB+AC) ,即 2AM=AB+AC,也可 2

尝试作△ACM 关于 CM 的对称△FCM,然后只需证 DF=C F 即可。 练习: 1.

图3-4

已知:在△ABC 中,AB=5,AC=3,D 是 BC 中点,AE 是∠BAC 的平分

线,且 CE⊥AE 于 E,连接 DE,求 DE。 2. 已知 BE、BF 分别是△ABC 的∠ABC 的内角与外角的平分线,AF⊥BF
1 BC 2

于 F,AE⊥BE 于 E,连接 EF 分别交 AB、AC 于 M、N,求证 MN=

(四) 、以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时, 常过角平分线上的一点作角的一边的平行线,从而构造等腰 三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交, 从而也构造等腰三角形。如图 4-1 和图 4-2 所示。

C H D E A

A I F G B B C

图4-1

图4-2

例4

如图,AB>AC, ∠1=∠2,求证:AB-AC>BD-CD。
C

A

1 2

D

B

例5

如图,BC>BA,BD 平分∠ABC,且 AD=CD,求证:∠A+∠C=180。
A

B

D

C

例6

如图,AB∥CD,AE、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE,求证:AD=AB+CD。
D C

E

A

B

练习: 1. 已知,如图,∠C=2∠A,AC=2BC。求证:△ABC 是直角三角形。

C

A

B

2.已知:如图,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB,求证:DC⊥AC
A 1 2 C

B

D

3.已知 CE、AD 是△ABC 的角平分线,∠B=60°,求证:AC=AE+CD
A E

B

D

C

4.已知:如图在△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,BD 是∠ABC 的平分线,求证: BC=AB+AD
A D B C

三 由线段和差想到的辅助线
口诀:
线段和差及倍半,延长缩短可试验。线段和差不等式,移到同一三角去。 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法:

1、截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等 于另一条; 2、补短:将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线 段等于长线段。 对于证明有关线段和差的不等式, 通常会联系到三角形中两线段之和大于第 三边、之差小于第三边,故可想办法放在一个三角形中证明。 一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可

连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中, 再运用三角形三边的不等关系证明,如: 例1、 已知如图 1-1:D、E 为△ABC 内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明: (法一) 将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N, 在△AMN 中,AM+AN>MD+DE+NE;(1) 在△BDM 中,MB+MD>BD; (2) 在△CEN 中,CN+NE>CE; (3) 由(1)+(2)+(3)得: AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC (法二:图 1-2) 延长 BD 交 AC 于 F,廷长 CE 交 BF 于 G,在△ABF 和 △GFC 和△GDE 中有: AB+AF>BD+DG+GF(三角形两边之和大于第三边)… (1) GF+FC>GE+CE(同上) (2) DG+GE>DE(同上) (3) 由(1)+(2)+(3)得: AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC。 二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内
B
G G

A M B D E

N C

图1 ? 1

A F E
C

D B

图 1? 2

A E D F 图2 ? 1
C

角时如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在 某个三角形的外角的位置上, 小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定 理:

例如:如图 2-1:已知 D 为△ABC 内的任一点,求证:∠BDC>∠BAC。
分析:因为∠BDC 与∠BAC 不在同个三角形中,没有直接的联系,可适当 添加辅助线构造新的三角形,使∠BDC 处于在外角的位置,∠BAC 处于在内角 的位置; 证法一:延长 BD 交 AC 于点 E,这时∠BDC 是△EDC 的外角, ∴∠BDC>∠DEC,同理∠DEC>∠BAC,∴∠BDC>∠BAC 证法二:连接 AD,并廷长交 BC 于 F,这时∠BDF 是△ABD 的 外角,∴∠BDF>∠BAD,同理,∠CDF>∠CAD,∴∠BDF+ ∠CDF>∠BAD+∠CAD,即:∠BDC>∠BAC。 注意:利用三角形外角定理证明不等关系时,通常将大角放在某三角形的外 角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明。 三、 如: 有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,
A
N

例如:如图 3-1:已知 AD 为△ABC 的中线,且∠1= ∠2,∠3=∠4,求证:BE+CF>EF。
分析:要证 BE+CF>EF,可利用三角形三边关系定 理证明,须把 BE,CF,EF 移到同一个三角形中,而由 已知∠1=∠2,
B E F

23 1 4
D 图3 ? 1

C

∠3=∠4,可在角的两边截取相等的线段,利用三角形全等对应边相等,把 EN,FN,EF 移到同个三角形中。 证明:在 DN 上截取 DN=DB,连接 NE,NF,则 DN=DC, 在△DBE 和△NDE 中: DN=DB(辅助线作法) ∠1=∠2(已知) ED=ED(公共边) ∴△DBE≌△NDE(SAS)

∴BE=NE(全等三角形对应边相等) 同理可得:CF=NF 在△EFN 中 EN+FN>EF(三角形两边之和大于第三边) ∴BE+CF>EF。 注意:当证题有角平分线时,常可考虑在角的两边截取相等的线段,构造全 等三角形,然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。

四、 截长补短法作辅助线。 例如:已知如图 6-1:在△ABC 中,AB>AC,∠1=∠2,P 为 AD 上 任一点

求证:AB-AC>PB-PC。
分析:要证:AB-AC>PB-PC,想到利用三角形三边关系,定理证之,因为
欲证的线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边 AB-AC,故可 在 AB 上截取 AN 等于 AC,得 AB-AC=BN,再连接 PN,则 PC=PN,又在△PNB 中, PB-PN<BN, 即:AB-AC>PB-PC。

证明: (截长法) 在 AB 上截取 AN=AC 连接 PN,在△APN 和△APC 中 AN=AC(辅助线作法) ∠1=∠2(已知) AP=AP(公共边) ∴△APN≌△APC(SAS),∴PC=PN(全等三角形对应边相等) ∵在△BPN 中,有 PB-PN<BN(三角形两边之差小于第三边) ∴BP-PC<AB-AC 证明: (补短法)
N

A 2 1 P D
图6 ? 1

C

B

M

延长 AC 至 M,使 AM=AB,连接 PM, 在△ABP 和△AMP 中 AB=AM(辅助线作法) ∠1=∠2(已知) AP=AP(公共边) ∴△ABP≌△AMP(SAS) ∴PB=PM(全等三角形对应边相等) 又∵在△PCM 中有:CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB-AC>PB-PC。
例 1.如图,AC 平分∠BAD,CE⊥AB,且∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE。
A D

E B

C

例 2 如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分∠BAD,CE⊥AB 于 E,AD+AB=2AE, 求证:∠ADC+∠B=180?

D

C

A

E

B

例 3 已知:如图,等腰三角形 ABC 中,AB=AC, ? A=108°,BD 平分 ? ABC。 求证:BC=AB+DC。
A D B C

例 4 如图,已知 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AD 是∠CAB 的平分线,DM⊥AB
1 于 M,且 AM=MB。求证:CD= 2 DB。
A M

C

D

B

1.如图,AB∥CD,AE、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE,求证:AD=AB+CD。
D C

E

A

B

2.如图,△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AE 是过 A 的一条直线,且 B,C 在 AE 的异侧, BD⊥AE 于 D,CE⊥AE 于 E。求证:BD=DE+CE

四 由中点想到的辅助线
口诀:
三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。 在三角形中, 如果已知一点是三角形某一边上的中点,那么首先应该联想到 三角形的中线、 中位线、 加倍延长中线及其相关性质 (直角三角形斜边中线性质、 等腰三角形底边中线性质),然后通过探索,找到解决问题的方法。

(一) 、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

即如图 1,AD 是 Δ ABC 的中线,则 SΔ ABD=SΔ ACD= SΔ ABC(因为 Δ ABD 与 Δ ACD 是等底同高的)。

例 1.如图 2,Δ ABC 中,AD 是中线,延长 AD 到 E,使 DE=AD,DF 是 Δ DCE 的中线。已知 Δ ABC 的面积为 2,求:Δ CDF 的面积。 解:因为 AD 是 Δ ABC 的中线,所以 SΔ ACD= SΔ ABC= ×2=1,又因 CD 是 Δ AC E 的中线,故 SΔ CDE=SΔ ACD=1, 因 DF 是 Δ CDE 的中线,所以 SΔ CDF= SΔ CDE= ×1= 。 ∴Δ CDF 的面积为 。

(二) 、由中点应想到利用三角形的中位线
例 2.如图 3,在四边形 ABCD 中,AB=CD,E、F 分别是 BC、AD 的中点,BA、 CD 的延长线分别交 EF 的延长线 G、H。求证:∠BGE=∠CHE。 证明:连结 BD,并取 BD 的中点为 M,连结 ME、MF, ∵ME 是 Δ BCD 的中位线, ∴ME CD,∴∠MEF=∠CHE,

∵MF 是 Δ ABD 的中位线, ∴MF AB,∴∠MFE=∠BGE,

∵AB=CD,∴ME=MF,∴∠MEF=∠MFE, 从而∠BGE=∠CHE。

(三) 、由中线应想到延长中线
例 3.图 4,已知 Δ ABC 中,AB=5,AC=3,连 BC 上的中线 AD=2,求 BC 的长。 解:延长 AD 到 E,使 DE=AD,则 AE=2AD=2×2=4。 在 Δ ACD 和 Δ EBD 中, ∵AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD, ∴Δ ACD≌Δ EBD,∴AC=BE, 从而 BE=AC=3。 在 Δ ABE 中,因 AE +BE =4 +3 =25=AB ,故∠E=90°, ∴BD= = = ,故 BC=2BD=2 。
2 2 2 2 2

例 4.如图 5,已知 Δ ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,AD 又是 BC 边上的中 线。求证:Δ ABC 是等腰三角形。 证明:延长 AD 到 E,使 DE=AD。 仿例 3 可证: Δ BED≌Δ CAD, 故 EB=AC,∠E=∠2, 又∠1=∠2, ∴∠1=∠E, ∴AB=EB,从而 AB=AC,即 Δ ABC 是等腰三角形。

(四) 、直角三角形斜边中线的性质
例 5.如图 6,已知梯形 ABCD 中,AB//DC,AC⊥BC,AD⊥BD,求证:AC=BD。 证明:取 AB 的中点 E,连结 DE、CE,则 DE、CE 分别为 RtΔ ABD,RtΔ ABC 斜边 AB 上的中线,故 DE=CE= AB,因此∠CDE=∠DCE。 ∵AB//DC, ∴∠CDE=∠1,∠DCE=∠2, ∴∠1=∠2, 在 Δ ADE 和 Δ BCE 中,

∵DE=CE,∠1=∠2,AE=BE, ∴Δ ADE≌Δ BCE,∴AD=BC,从而梯形 ABCD 是等腰梯形,因此 AC=BD。

(五) 、角平分线且垂直一线段,应想到等腰三角形的中线
例 6.如图 7,Δ ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D,CE 垂直于 BD,交 BD 的延长线于点 E。求证:BD=2CE。 证明:延长 BA,CE 交于点 F,在 Δ BEF 和 Δ BEC 中, ∵∠1=∠2,BE=BE,∠BEF=∠BEC=90°, ∴Δ BEF≌Δ BEC,∴EF=EC,从而 CF=2CE。 又∠1+∠F=∠3+∠F=90°,故∠1=∠3。 在 Δ ABD 和 Δ ACF 中,∵∠1=∠3,AB=AC,∠BAD=∠CAF= 90°, ∴Δ ABD≌Δ ACF,∴BD=CF,∴BD=2CE。 注:此例中 BE 是等腰 Δ BCF 的底边 CF 的中线。

(六)中线延长
口诀:三角形中有中线,延长中线等中线。 题目中如果出现了三角形的中线,常延长加倍此线段,再将端点连结,便可 得到全等三角形。 例一:如图 4-1:AD 为△ABC 的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE+CF> EF。 证明:廷长 ED 至 M,使 DM=DE,连接 CM,MF。 在△BDE 和△CDM 中, BD=CD(中点定义) ∠1=∠5(对顶角相等) ED=MD(辅助线作法) ∴△BDE≌△CDM(SAS) 又∵∠1=∠2,∠3=∠4(已知)

A

E

F

B

23 1 4 D

C

图4 ? 1

M

∠1+∠2+∠3+∠4=180°(平角的定义) ∴∠3+∠2=90° 即:∠EDF=90° ∴∠FDM=∠EDF=90° 在△EDF 和△MDF 中 ED=MD(辅助线作法) ∠EDF=∠FDM(已证) DF=DF(公共边) ∴△EDF≌△MDF(SAS) ∴EF=MF(全等三角形对应边相等) ∵在△CMF 中,CF+CM>MF(三角形两边之和大于第三边) ∴BE+CF>EF 上题也可加倍 FD,证法同上。 注意:当涉及到有以线段中点为端点的线段时,可通过延长加倍此线段,构 造全等三角形,使题中分散的条件集中。 例二:如图 5-1:AD 为△ABC 的中线,求证:AB+AC>2AD。 分析:要证 AB+AC>2AD,由图想到:AB+BD>AD,AC+CD>AD,所以有 AB+AC+BD +CD>AD+AD=2AD,左边比要证结论多 BD+CD,故不能直接证出此题,而由 2AD 想 到要构造 2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明:延长 AD 至 E,使 DE=AD,连接 BE,CE ∵AD 为△ABC 的中线(已知) ∴BD=CD(中线定义) 在△ACD 和△EBD 中 BD=CD(已证) ∠1=∠2(对顶角相等) AD=ED(辅助线作法) ∴△ACD≌△EBD(SAS) ∴BE=CA(全等三角形对应边相等) ∵在△ABE 中有:AB+BE>AE(三角形两边之和大于第三边)
E 图5 ? 1 B D
C

A

∴AB+AC>2AD。 练习: 1 如图,AB=6,AC=8,D 为 BC 的中点,求 AD 的取值范围。
A 6 B 8

D

C

2

如图,AB=CD,E 为 BC 的中点,∠BAC=∠BCA,求证:AD=2AE。
A

B

E

C

D

3

如图,AB=AC,AD=AE,M 为 BE 中点,∠BAC=∠DAE=90°。求证:AM⊥DC。
A D M C D

B D D

E D

4,已知△ABC,AD 是 BC 边上的中线,分别以 AB 边、AC 边为直角边各向外 作等腰直角三角形,如图 5-2,求证 EF=2AD。
E A F

B

5.已知:如图 AD 为△ABC 的中线,AE=EF,求证: BF=AC

C D 图5 ? 2 A
E F

B

D

C


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