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2-3 1.3二项式定理



学校:临清二中

学科:数学

编写人: 王梦炬 审稿人:马英济

§1.3.1 二项式定理
【教学目标】 1.理解二项式定理及推导方法, 识记二项展开式的有关特征, 能对二项式定理进行简单应用; 2.通过对二项式定理内容的研究, 体验特殊到一般的发现规律, 一般到特殊指导实践的认识 事物过程。 【教学重难点】

教学重点:二项式定理的内容及归纳过程 ; 教学难点:在二项式展开的过程中,发现各项及各项系数的规律。 【教学过程】 一、设置情景,引入课题 引入:二项式定理研究的是(a+b)n 的展开式。 如(a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=?, (a+b)4=?,那么(a+b)n 的展开式是什么呢? 二、引导探究,发现规律 1、多项式乘法的再认识 问题 1: (a1+ b1)(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的?展开式有几项? 2、 (a+b)3 展开式的再认识 问题 2:将上式中,若令 a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么? 合作探究 1:合并同类项后,为什么 a2b 的系数是 3? 教师引导:可以发现 a2b 是从(a+b) (a+b) (a+b)这三个括号中的任意两个中选 a,剩下的
2 一个括号中选 b;利用组合知识可以得到 a2b 应该出现了 C 3 · C 1 =3 次,所以 a2b 的系数是
1

3。 问题 3: (a+b)4 的展开式又是什么呢? 可以对(a+b)4 按 a 或按 b 进行分类: (1)四个括号中全都取 a,得:C 4 a4 (2)四个括号中有 3 个取 a,剩下的 1 个取 b,得:C 4 a3· C 1 b (3)四个括号中有 2 个取 a,剩下的 2 个取 b,得:C 4 a2· C 2 b (4)四个括号中有 1 个取 a,剩下的 3 个取 b,得:C 4 a· C 3 3b (5)四个括号中全都取 b,得:C 4 b
4
4

4

3

1

2

2

2

1

3

小结:对于展开式,只要按一个字母分类就可以了,可以按 a 分类,也可以按 b 分类,再如: (1)不取 b:C 4 a4; (2)取 1 个 b:C 4 a3b; (3)取 2 个 b:C 4 a2 b ; (4)取 3 个 b:C 4
2

0

1

2

3

ab3; (5)取 4 个 b:C 4 b ,然后将上面各式相加得到展开式。
4

4

结论: (a+b)4= C 4 a4+ C 4 a3b+ C 4 a2 b + C 4 ab3+ C 4 b
2

0

1

2

3

4

4

三、形成定理,说理证明 问题 4: (a+b)n 的展开式又是什么呢? 合作探究 2: (1) 将(a+b)n 展开有多少项? (2)每一项中,字母 a,b 的指数有什么特点? (3)字母“a”、 “b”指数的含义是什么?是怎么得到的? (4)如何确定“a”、 “b”的系数?
0 n 1 n?1 k n?k k n n 猜想: (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? ?? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N * )

证明:对(a+b)n 分类,按 b 可以分 n+1 类,
n (1)不取 b:C 0 n a ;

(2)取 1 个 b:C 1 n a b;
n-1

(3)取 2 个 b:C 2 n a b;
n-2 2

?????? (k+1)取 k 个 b:C k n a b;
n-k k

?????? (n+1)取 n 个 b:C n n b;
n

然后将这 n+1 个式子加起来,就得到二项展开式,
0 n 1 n-1 k n-k k n n (a+b) n = C n a + Cn a b+ ? + C n a b +? + Cn b (n ∈ N + )

这就是二项式定理。 四、熟悉定理,简单应用 二项式定理的公式特征(由学生归纳,让学生熟悉公式) (1)项数:共有 n+1 项; (2)次数:字母 a 按降幂排列,次数由 n 递减到 0;字母 b 按升幂排列,次数由 0 递增到 n; (3)二项式系数:下标为 n,上标由 0 递增至 n;
k (4)通项:Tk+1= C k n a b ;指的是第 k+1 项,该项的二项式系数为 C n ;
n-k k

(5)公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫做(a+b) 的二项展开式。 例 1 求 (2 x ?

n

1 x

) 6 的展开式

分析:为了方便,可以先化简后展开。

例 2 ① (1 ? 2 x) 的展开式的第 4 项的系数及第 4 项的二项式系数。
7

②求 ( x ? 五、当堂检测

1 9 ) 的展开式中含 x 3 的系数。 x

1.写出(p+q)7 的展开式; 2.求(2a+3b)6 的展开式的第 3 项;

?3 1 ? 3.写出 ? ? x? 3 ? ? 的展开式的第 r+1 项; 2 x? ?
4.(x-1)10 的展开式的第 6 项的系数是( (A) C10
6

n


5 C10

(B)

6 ? C10

(C)

(D)

5 ? C10

答案:1.(p+q)7=p7+7p6q+21p5q2+35p4q3+35p3q4+21p2q5+7pq6+q7. 六、课堂小结
0 n 1 n?1 k n?k k n n 1. 公式: (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? ?? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N * )

2. 思想方法: (1)从特殊到一般的思维方式. (2)用计数原理分析二项式的展开过程. 七、布置作业 课本 43 页习题 1.3 A 组 2、3

学校:临清二中

学科:数学

编写人: 王梦炬 审稿人:马英济

§1.3.1 二项式定理
课前预习学案 一、预习目标 通过分析(a+b) 2 的 展 开 式 , 归 纳 得 出 二 项 式 定 理 ;掌 握 二 项 式 定 理 的 公 式 特 征 并 能 简单应用。 二、预习内容 1、 (a+b)2= (a1+ b1)(a2+b2) (a3+ b3)=______________________________ (a+b)3= (a+b)4= 2、二项式定理的证明过程 3、 (a+b)n= 4、 (a+b)n 的二项展开式中共有______项,其中各项的系数______叫做二项式系数,式中的 ____________ 叫做二项展开式的通项,用 Tk+1 表示,即通项为展开式的第 k+1 项: _____________________ 5、在二项式定理中,若 a=1,b=x,则有 (1+x)n=_______________________________________ 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 1.用计数原理分析(a+b)3 的展开式,进而探究(a+b)4 的展开式,从而猜想二项式定理。 2.熟悉二项式定理中的公式特征,能够应用它解决简单问题。 3. 培养学生观察、分析、概括的能力。 二、学习重难点: 教学重点:二项式定理的内容及应用 教学难点:二项式定理的推导过程及内涵 三、学习过程 (一)探究(a+b)3、 (a+b)4 的展开式 问题 1: (a1+ b1)(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的?展开式有几项?

问题 2:将上式中,若令 a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么?

合作探究一:合并同类项后,为什么 a2b 的系数是 3?

问题 3: (a+b)4 的展开式又是什么呢?

1 2 3 4 4 4 3 2 3 结论: (a+b)4= C 0 4 a + C 4 a b+ C 4 a b + C 4 ab + C 4 b
2

(二)猜想、证明“二项式定理” 问题 4: (a+b)n 的展开式又是什么呢? 合作探究二: (1) 将(a+b)n 展开有多少项? (2)每一项中,字母 a,b 的指数有什么特点? (3)字母“a”、 “b”指数的含义是什么?是怎么得到的? (4)如何确定“a”、 “b”的系数?

二项式定理:
0 n 1 n-1 k n-k k n n (a+b) n = C n a + Cn a b+ ? + C n a b +? + Cn b (n ∈ N + )

(三)归纳小结:二项式定理的公式特征 (1)项数:_______;(2)次数:字母 a 按降幂排列,次数由____递减到_____;字母 b 按 升幂排列,次数由____递增到______; (3)二项式系数:下标为_____,上标由_____递增至_____; (4)通项:Tk+1=__________;指的是第 k+1 项,该项的二项式系数为______; n (5)公式所表示的定理叫_____________,右边的多项式叫做(a+b) 的二项展开式。 (四)典型例题

例 1 求 (2 x ?

1 x

) 6 的展开式

分析:为了方便,可以先化简后展开。

例 2 ① (1 ? 2 x) 7 的展开式的第 4 项的系数及第 4 项的二项式系数。

②求 ( x ?

1 9 ) 的展开式中含 x 3 的系数。 x

(五)当堂检测 1.写出(p+q)7 的展开式; 2.求(2a+3b)6 的展开式的第 3 项;
3 3.写出 ? ? x?

? ?

1 ? ? ? 的展开式的第 r+1 项; 23 x ?

5 C10 6 ? C10 5 ? C10

n

4.(x-1)10 的展开式的第 6 项的系数是( (A) C10
6

(B)

(C)

(D)

答案:1.(p+q)7=p7+7p6q+21p5q2+35p4q3+35p3q4+21p2q5+7pq6+q7. 2.T3= 2160a b
4 2

3. T r ?1 =(-1)

r

r Cn

1 · r ·x 2

n?2r 3

,4.D

课后练习与提高 1.在 x ? 3

?

?

10

的展开式中, x 的系数为
4 B. 27 C10

6


6 C. ? 9C10



6 A. ? 27C10

4 D. 9 C 10

2.已知( a ? A.10 3. ( x ?
2

1
3

a

2

) n 的展开式的第三项与第二项的系数的比为 11∶2,则 n 是 (
B.11 C.12 D.13



1 9 ) 展开式中 x 9 的系数是 2x
12

? 1 ? 4. ? ?x? 3 ? ? x? ?

的展开式中常数项为
10

5. 1 ? x3 ?1 ? x ? 的展开式中,含 x5 项的系数是 6. 若 ?x ? a ?
100
98

?

?

.

的展开式中 x 前的系数是 9900,求实数 a 的值。

答案:1.D; 2.C; 3. ?

21 ; 4. ?220 ; 2

5.207 ; 6. a=± 2

学校:临清二中

学科:数学

编写人: 王梦炬 审稿人:马英济

§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【教学目标】 1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉,并探索其中的规律; 2.能运用函数观点分析处理二项式系数的性质; 3. 理解和掌握二项式系数的性质,并会简单的应用。 【教学重难点】 教学重点:二项式系数的性质及其应用; 教学难点:杨辉三角的基本性质的探索和发现。 【教学过程】 一、复习引入 1、二项式定理:________________________________________________; 二项式系数:______________________________________________; 2、(

1+x) n

=________________________________________________;

二、杨辉三角的来历及规律 练一练:把(

a+b) n

(n=1,2,3,4,5,6)展开式的二项式系数填入课本 P37 的表格, 1 2 3 6 10 4 10 5

为了方便,可将上表改写成如下形式: (a+b)1 ???????????????????1 (a+b)2???????????????????1 (a+b)3??????????????????1 3 4 (a+b) ?????????????????1 4 5 (a+b) ????????????????1 5

1 1 1 1

(a+b)6???????????????1 1

6

15

20

15

6

??????????? 爱国教育,杨辉三角 因上图形如三角形,南宋的杨辉对其有过深入研究,所以我们称它 为杨辉三角。杨辉,我国南宋末年数学家,数学教育家.著作甚多。“杨辉三角”出现在杨辉 编著的《详解九章算法》一书中,此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个 数的和。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元 11 世纪) 已经用过它,这表明我国发现这个表不晚于 11 世纪。在欧洲,这个表被认为是法国数学家 物理学家帕斯卡首先发现的(Blaise Pascal, 1623 年~1662 年),他们把这个表叫做帕斯卡三 角.这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早 500 年左右,由此可见我国古代数学的成就是非 常值得中华民族自豪的。 想一想: 杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况, 那么杨辉三角有何特点?或 者说二项式系数有何性质呢? 蕴含规律:1、同一行中,每行两端都是 1,与这两个 1 等距离的项的系数相等; 2、相邻两行中,除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和。
r r ?1 3、设表中任一不为 1 的数为 C r n ?1 ,那么它肩上的两个数分别为 C n 及 C n ,即 r r ?1 Cr n ?1 = C n +C n ,

对于(
r

0 1 2 a+b) n 展开式的二项式系数 Cn , Cn , C n

,?, C n ,从函数角度
r Cn

n

看, Cn 可看成是以 r 为自变量的函数 f(r),其定义域是{0,1,2, ?,n},令 f(r)= 定义域为{0,1,2,?,n} 画一画:当 n=6 时,作出函数 f(r)的图象,并结合图象分析二项式系数的性质。



三、二项式系数的重要性质 1 、 对称 性: 二项展开式中,与首末两端“ 等距 离 ”的两项的二项 式系 数相等 。即
m n?m Cn = Cn

练习:求(a+b)6 的展开式中的倒数第 3 项的二项式系数。

答案:15. 2、增减性与最大值 由于
k Cn ?

n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? k ? 1 ) ? (k ? 1) !k
k ?1 Cn

( n ? k ? 1) k
增 减 情 况 由

所 以

k Cn

相 对 于

k ?1 Cn

( n ? k ? 1) k
可知,当 k

决 定 , 由

( n ? k ? 1) k

>1

k ?

n ?1 2

?

n ?1 时,二项 2

式系数是逐渐增大的,由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值。 当 n 是偶数时,中间的一项 C 当 n 是奇数时,中间的两项 C
10

n 2 n

取得最大值; 和C
n ?1 2 n

n ?1 2 n

相等,且同时取得最大值。

练习:(1)、在(a+b) 的展开式中,系数最大的项是( ) (A)第 6 项 (B) 第 7 项 (C) 第 6 项和第 7 项 (D) 第 5 项和第 7 项 10 (2)、在(a—b) 的展开式中,系数最大的项是( ) (A)第 6 项 (B) 第 7 项 (C) 第 6 项和第 7 项 (D) 第 5 项和第 7 项 11 (3)、在(a+b) 的展开式中,系数最大的项是( ) (A)第 6 项 (B) 第 7 项 (C) 第 6 项和第 7 项 (D) 第 5 项和第 7 项 (4)、在(a—b)11 的展开式中,系数最大的项是( ) (A)第 6 项 (B) 第 7 项 (C) 第 6 项和第 7 项 (D) 第 5 项和第 7 项 答案: (1)A (2)D (3)C (4)B 3、各项二项式系数的和 ( 1+x) 思考:
n

= Cn + Cn x+ Cn x2+?+ Cn xr+?+ Cn xn,
0 1 2 n Cn + Cn + Cn +?+ Cn =?

0

1

2

r

n

由于 x 为任意实数,上式中令 x=1,则得:2n= Cn + Cn + Cn +?+ Cn

0

1

2

n

也就是说,( a+b) n 的展开式中的各个二项式系数的和为 2n

说明:这种方法是赋值法,是解决二项展开系数有关问题的重要手段。 四、典型例题(性质 4) 试证:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 分析:奇数项的二项式系数的和为 Cn + Cn + Cn +?, 偶数项的二项式系数的和为 Cn + Cn + Cn +?,
0 n 1 n-1 k n-k k n n 由于(a+b) n = C n a + Cn a b+ ? + C n a b + ? + Cn b 中 的 a,b 可 以 取 任 意 实 数 , 因

0

2

4

1

3

5

此 我 们 可 以 通过对 a,b 适当赋值来得到上述两个系数和。
0 n 1 n-1 k n-k k n n 证明:在展开式(a+b) n = C n a + Cn a b+ ? + C n a b + ? + Cn b 中,

令 a=1,b= — 1 , 则 得 ( 1 — 1 ) n = Cn — Cn + Cn — Cn +( — 1 ) 即 所以, 0=( Cn + Cn +?)—( Cn + Cn +?) ,
0 2 1 3 Cn + Cn +?= Cn + Cn +? 0 2 1 3

0

1

2

3

n

n Cn ,



即在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 说明:奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,这并不意味着等号两 边的个数相同,当 n 为偶数时,奇数项的二项式系数多一个;当 n 为奇数时,奇数项的二项 式系数与偶数项的二项式系数个数相同。 五、当堂检测 1、已知 C15 =a, C15 =b,那么 C16 =__________; 2、 (a+b)n 的各二项式系数的最大值是____________; 3、 C11 + C11 +?+ C11 =________; 4、
0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? __________; 0 1 2 n ?1 Cn ? C ? C ? ? ? C ?1 n ?1 n ?1 n ?1

5

9

10

1

3

11

5、证明: Cn + Cn + Cn +?+

0

2

4

n Cn =2n-1

(n 是偶数) ;

答案:1、a+b

2、当 n 是偶数时,最大值是 C 4、

n 2 n

;当 n 是奇数时, C

n ?1 2 n

和C

n ?1 2 n

相等且最大。 3、1024

1 2

六、课堂小结 1.二项式系数的性质:①对称性;②增减性与最大值;③各二项式系数的和。 2.数学思想:函数思想 3.数学方法 : 赋值法 、递推法、图象法.

七、布置作业 课本 43 页习题 1.3 A 组 8.

选做题:B 组 2.

学校:临清二中

学科:数学

编写人: 王梦炬 审稿人:马英济

§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
课前预习学案 一、预习目标
借助“杨辉三角”数表,掌握二项式系数的对称性,增减性与最大值。

二、预习内容 1、二项式定理:________________________________________________; 二项式系数:______________________________________________; 2、(

1+x) n

=________________________________________________;
(n=1,2,3,4,5,6)展开式的二项式系数填入课本 P37 的表格。

练一练:把(

a+b) n

想一想: 杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况, 那么杨辉三角有何特点?或 者说二项式系数有何性质呢?

画一画:当 n=6 时,作出函数 f(r)的图象,并结合图象分析二项式系数的性质。

三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 ①了解“杨辉三角”的特征,让学生偿试并发现二项式系数规律; ②通过探究,掌握二项式系数的性质,并能用它计算和证明一些简单的问题; 二、学习重难点: 学习重点:二项式系数的性质及其应用; 学习难点:杨辉三角的基本性质的探索和发现。 三、学习过程 (一) 、杨辉三角的来历及规律 问题 1:根据( 规律?

a+b) n

(n=1,2,3,4,5,6)展开式的二项式系数表,你能发现什么

问题 2:杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况,那么杨辉三角有何特点?或 者说二项式系数有何性质呢?

对于(
r

0 1 2 a+b) n 展开式的二项式系数 Cn , Cn , C n

,?, C n ,从函数角
r Cn

n

度看,Cn 可看成是以 r 为自变量的函数 f(r), 其定义域是{0, 1, 2, ?, n}, 令 f(r)= 定义域为{0,1,2,?,n} 问题 3:当 n=6 时,作出函数 f(r)的图象,并结合图象分析二项式系数的性质。



(二)二项式系数的重要性质 1、对称性:二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。即

m n?m Cn = Cn

分析:

2、增减性与最大值:二项式系数先增大后减小,中间取最大。 提示: (1)讨论 C n 与 Cn (2)讨论
k
k ?1

的大小关系。

( n ? k ? 1) k

与 1 的大小关系。

3、各项二项式系数的和:( a+b) 的展开式中的各个二项式系数的和为 2n 分析:赋值法的应用。

n

四、典型例题(性质 4) 试证:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 分析:奇数项的二项式系数的和为 Cn + Cn + Cn +?, 偶数项的二项式系数的和为 Cn + Cn + Cn +?,
0 n 1 n-1 k n-k k n n 由于(a+b) n = C n a + Cn a b+ ? + C n a b + ? + Cn b 中 的 a,b 可 以 取 任 意 实 数 , 因 此

0

2

4

1

3

5

我 们 可 以 通过对 a,b 适当赋值来得到上述两个系数和。 五、当堂检测 1、已知 C15 =a, C15 =b,那么 C16 =__________; 2、 (a+b)n 的各二项式系数的最大值是____________; 3、 C11 + C11 +?+ C11 =________; 4、
0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? __________; 0 1 2 n ?1 Cn ? C ? C ? ? ? C ?1 n ?1 n ?1 n ?1

5

9

10

1

3

11

5、证明: Cn + Cn + Cn +?+

0

2

4

n Cn =2n-1

(n 是偶数) ;

答案:1、a+b

2、当 n 是偶数时,最大值是 C 4、

n 2 n

;当 n 是奇数时, C

n ?1 2 n

和C

n ?1 2 n

相等且最大。 3、1024

1 2

课后练习与提高 1、在(a+b)20 的展开式中,与第五项二项式系数相同的项是( ) (A)第 15 项 (B) 第 16 项 (C) 第 17 项 (D) 第 18 项 13 2、 (1—x) 的展开式中系数最小的项是( ) (A)第 6 项 (B) 第 7 项 (C) 第 8 项 (D) 第 9 项 3 若 C19 与 Cn 同时取得最大值,则 m=_____________ 4、已知(1—2x) =a0+a1x+a2x +?+a7x 则 a1+a2+?+a7=___________
7 2 7

n

m

a1+a3+ a5+a7=__________ a0+a2+ a4+a6=__________ 1 5、已知( ? 2 x )n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37,求展开式中二项式系数最 4
大的项的系数.

答案:1、C
0

2、C
1

3、4 或 5
2

4、-2 , —1094 , 1093

5.解:由 Cn + Cn + Cn =37,得 1 ?

n?

1 n( n ? 1) ? 37 , 2


得n ? 8 ,

4 T5 ? C8 (

35 1 4 ) ( 2 x ) 4 ,该项的系数最大,为 8 4



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