9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末数学试卷(文科)(Word版含解析)



辽宁省葫芦岛市 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知集合 M={x||x﹣1|<2,x∈R},N={﹣1,0,1,2,3},则 M∩N=() A.{0,1,2} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,2,3} D.{0,1,2,3} 2. (5 分)设复数 z 满足(1﹣i)z

=2i,则 z=() A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i

D.1﹣i

3. (5 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=() A. B. C. D.

4. (5 分)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l?α, l?β,则() A.α∥β 且 l∥α B. α⊥β 且 l⊥β C. α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l 5. (5 分)已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,则下列关系式恒成立的是() A. C. x >y
3 3 x y

B. ln(x +1)>ln(y +1) D.sinx>siny )

2

2

6. (5 分)设函数 f(x)满足 f(x+π)=f(x)+cosx,当 0≤x≤π 时,f(x)=0,则 f( =() A. B. C. 0 D.﹣

7. (5 分)将函数 y=sinx 的图象 C 按顺序作以下两种变换: (1)向左平移
/

个单位长度;

(2)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变.所得到的曲线 C 对应的函数解析式是() A. C. B. D.

8. (5 分)如图所示的程序的输出结果为 S=132,则判断框中应填()

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

A.i≥10?

B.i≥11?

C.i≤11?

D.i≥12?

9. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值为()

A.10

B. 8
2 x

C. 3

D.2

10. (5 分)若函数 f(x)=(x +bx+c)e 在(﹣∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调 2 递减,在(x2,+∞)上单调递增,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 +(b+2)f(x)+b+c=0 的不同实根个数是() A.6 B. 5 C. 4 D.3 11. (5 分)四面体 ABCD 的外接球为 O,AD⊥平面 ABC,AD=2,△ ABC 为边长为 3 的正 三角形,则球 O 的表面积为() A.32π B.16π C.12π D. π

12. (5 分)F(﹣c,0)是双曲线
2 2 2

=1(a>0,b>0)的左焦点,P 是抛物线 y =4cx +2,则双曲

2

上一点,直线 FP 与圆 x +y =a 相切于点 E,且 PE=FE,若双曲线的焦距为 2 线的实轴长为() A. B. C. 4 D.2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)已知向量 、 是夹角为 60°的两个单位向量,向量 +λ (λ∈R)与向量 ﹣2 垂 直,则实数 λ=.

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

14. (5 分)一个四棱锥的三视图如图所示,其左视图是等边三角形,该四棱锥的体积 V=.

15. (5 分)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一矩形,使邻边长分别等于线段 2 AC、CB 的长,则该矩形面积大于 20cm 的概率为. 16. (5 分)在数列{an}中,a1=4,a2=10,若{log3(an﹣1)}为等差数列,则 Tn= +…+ =.

三、解答题(共 8 小题,满分 70 分) 17. (12 分)在△ ABC 中,2sin2C?cosC﹣sin3C= (1﹣cosC) . (1)求角 C 的大小; (2)若 AB=2,且 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ ABC 的面积. 18. (12 分)如图所示,在五棱锥 P﹣ABCDE 中,PE⊥平面 ABCDE,DE⊥AE,AB∥DE, BC∥AE.AE=AB=PE=2DE=2BC,F 为棱 PA 的中点,过 D、E、F 的平面 α 与棱 PB、PC 分别交于点 G、H. (1)求证:DE∥FG; (2)设 DE=1,求三棱锥 G﹣PEF 的体积.

19. (12 分)为了解某市观众对 2014﹣2015 赛季中国男篮 CBA 联赛的喜爱程度,某调查公 司随机抽取了 100 名观众,其中有 40 名女性观众,对这 100 名观众进行了问卷调查得到了 如下的 2×2 列联表: 喜爱 CBA 不喜爱 CBA 合计
版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

男性观众 女性观众 合计

20 20

已知在全部 100 人中随机抽取 1 人抽到喜爱 CBA 的观众的概率为 . (1)请将上面的 2×2 列联表补充完整; (2)是否有 90%的把握认为是否喜爱 CBA 与性别有关?说明你的理由; (3)从喜欢 CBA 的观众中采用分层抽样的方法抽取 6 人,再从这 6 人中随机抽取 3 人调 查观众对辽宁男篮的喜爱程度,求抽取的三人中即有男性观众又有女性观众的概率; 下面的临界表供参考: 2 p(k ≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (参考公式:k =
2



20. (12 分)如图,抛物线 C1:x =2py(p>0)与椭圆 C2: 交点为 T( , ) ,F(1,0)为椭圆 C2 的右焦点.

2

=1(a>b>0)的一个

(1)求抛物线 C1 与椭圆 C2 的方程; (2)设 M(x0,y0)是抛物线 C1 上任意一点,过 M 作抛物线 C1 的切线 l,直线 l 与椭圆 C2,交于 A、B 两点,定点 N(0, ) ,求△ NBA 的面积的最大值,并求出此时 M 点的坐 标.

21. (12 分)已知 f(x)=e ,g(x)=ln(t﹣x) ,其中 e=2.71828…,m 为常数,且 t∈R. (1)若 h(x)=f(x)﹣g(x)在(1,h(1) )处的切线为 y=1﹣ln(t﹣1) ,求 t 的值并讨 论函数 h(x)的单调性; (2)当 t≤3 时,证明:f(x)>g(x) . 22. (10 分)如图,过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交于 B,C 两点,且 ,作直

1﹣x

线 AF 与圆 E 相切于点 F,连结 EF 交 BC 于点 D,已知圆 E 的半径为 2,∠EBC=30° (1)求 AF 的长;
版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

(2)求证:AD=3ED.

23.选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,圆 C 的方程是 x +y ﹣4x=0,圆心为 C.在以坐标原点为极点,以 x 轴的 非负半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线 C1: (1)求直线 AB 的极坐标方程; 与圆 C 相交于 A,B 两点.
2 2

(2)若过点 C(2,0)的曲线 C2: 点 E,求|CD|:|CE|的值. 24.已知函数 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣3| (Ⅰ)求不等式 f(x)≥4 的解集; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的最小值.

(t 是参数)交直线 AB 于点 D,交 y 轴于

辽宁省葫芦岛市 2015 届高三上学期期末数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知集合 M={x||x﹣1|<2,x∈R},N={﹣1,0,1,2,3},则 M∩N=() A.{0,1,2} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,2,3} D.{0,1,2,3} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 利用交集定义求解. 解答: 解:∵M={x||x﹣1|<2,x∈R}={x|﹣1<x<3}, N={﹣1,0,1,2,3} ∴M∩N={0,1,2}. 故选:A. 点评: 本题考查集合的交集的求法, 是基础题, 解题时要注意含绝对值不等式的性质的合 理运用.

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

2. (5 分)设复数 z 满足(1﹣i)z=2i,则 z=() A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i

D.1﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的等式两边同时除以 1﹣i,得到 z 的表示式,进行复数的除法运算,分子 和分母同乘以分母的共轭复数,整理成最简形式,得到结果. 解答: 解:∵复数 z 满足 z(1﹣i)=2i, ∴z= =﹣1+i

故选 A. 点评: 本题考查代数形式的除法运算, 是一个基础题, 这种题目若出现一定是一个送分题 目,注意数字的运算. 3. (5 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=() A. B. C. D.

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设等比数列{an}的公比为 q,利用已知和等比数列的通项公式即可得到 ,解出即可. 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵S3=a2+10a1,a5=9, ∴ ,解得 .





故选 C. 点评: 熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键. 4. (5 分)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l?α, l?β,则() A.α∥β 且 l∥α B. α⊥β 且 l⊥β C. α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l 考点: 平面与平面之间的位置关系;平面的基本性质及推论. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由题目给出的已知条件,结合线面平行,线面垂直的判定与性质,可以直接得到正 确的结论.
版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

解答: 解:由 m⊥平面 α,直线 l 满足 l⊥m,且 l?α,所以 l∥α, 又 n⊥平面 β,l⊥n,l?β,所以 l∥β. 由直线 m,n 为异面直线,且 m⊥平面 α,n⊥平面 β,则 α 与 β 相交,否则,若 α∥β 则推 出 m∥n, 与 m,n 异面矛盾. 故 α 与 β 相交,且交线平行于 l. 故选 D. 点评: 本题考查了平面与平面之间的位置关系, 考查了平面的基本性质及推论, 考查了线 面平行、线面垂直的判定与性质,考查了学生的空间想象和思维能力,是中档题. 5. (5 分)已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,则下列关系式恒成立的是() A. C. x >y
3 3 x y

B. ln(x +1)>ln(y +1) D.sinx>siny

2

2

考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用. x y 分析: 实数 x、y 满足 a <a (1>a>0) ,可得 y<x. A.取 x=1,y=0,即可判断出. B.取 x=﹣2,y=﹣1,即可判断出; 3 C.利用 y=x 在 R 上单调递增,即可判断出; D.取 y=﹣ ,x= ,即可判断出.
x y

解答: 解:∵实数 x、y 满足 a <a (1>a>0) ,∴y<x. 对于 A.取 x=1,y=0,
2

不成立,因此不正确;
2

对于 B.取 y=﹣2,x=﹣1,ln(x +1)>ln(y +1)不成立; 3 3 3 对于 C.利用 y=x 在 R 上单调递增,可得 x >y ,正确; 对于 D.取 y=﹣ π,x= ,但是 sinx= ,siny= ,sinx>siny 不成立,不正确.

故选:C. 点评: 本题考查了函数的单调性、不等式的性质,考查了推理能力,属于基础题.

6. (5 分)设函数 f(x)满足 f(x+π)=f(x)+cosx,当 0≤x≤π 时,f(x)=0,则 f( =() A. B. C. 0 D.﹣



考点: 抽象函数及其应用;函数的值. 专题: 函数的性质及应用.

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

分析: 利用已知条件,逐步化简所求的表达式,转化为 0≤x≤π 时,f(x)=0,以及利用诱 导公式可求函数值即可. 解答: 解:∵函数 f(x) (x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+cosx, 当 0≤x<π 时,f(x)=1, ∴f( +cos +cos )=f( +cos +cos =f( +cos )=f( )+cos =0+cos )+cos +cos ﹣cos =f( =f( +cos ) =﹣ . )+cos +cos =f( )

故选:D. 点评: 本题考查抽象函数以及函数值的求法,诱导公式的应用,是基础题,解题时要认真 审题,注意函数性质的合理运用.

7. (5 分)将函数 y=sinx 的图象 C 按顺序作以下两种变换: (1)向左平移
/

个单位长度;

(2)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变.所得到的曲线 C 对应的函数解析式是() A. C. B. D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 利用三角函数的平移原则, 向左平移 x+φ, 横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变, 得到 x+ ,然后得到函数解析式. 个单位长度;

解答: 解:将函数 y=sinx 的图象 C 按顺序作以下两种变换:向左平移 得到函数 y=sin(x+ 得到函数 y=sin( x+
/

) ,横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变, )的图象, ) .

所得到的曲线 C 对应的函数解析式是 y=sin( x+

故选 D. 点评: 本题是基础题,考查 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,注意先 φ 后 ω,与先 ω 后 φ 的区别,基本知识的灵活运用. 8. (5 分)如图所示的程序的输出结果为 S=132,则判断框中应填()

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

A.i≥10?

B.i≥11?

C.i≤11?

D.i≥12?

考点: 程序框图. 专题: 操作型. 分析: 由框图可以得出,循环体中的运算是每执行一次 s 就变成了 s 乘以 i,i 的值变为 i ﹣2, 故 S 的值是从 12 开始的逐渐减小的若干个整数的乘积, 由此规律解题计算出循环体执 行几次,再求出退出循环的条件,对比四个选项得出正确答案. 解答: 解:由题意,S 表示从 12 开始的逐渐减小的若干个整数的乘积, 由于 12×11=132,故此循环体需要执行两次 所以每次执行后 i 的值依次为 11,10 由于 i 的值为 10 时,就应该退出循环,再考察四个选项,B 符合题意 故选 B 点评: 本题考查循环结构,解答本题,关键是根据框图得出算法,计算出循环次数,再由 i 的变化规律得出退出循环的条件.本题是框图考查常见的形式,较多见,题后作好总结.

9. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值为()

A.10

B. 8

C. 3

D.2

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最大值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=2x﹣y 得 y=2x﹣z, 平移直线 y=2x﹣z, 由图象可知当直线 y=2x﹣z 经过点 C 时,直线 y=2x﹣z 的截距最小, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 C(5,2)
版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

代入目标函数 z=2x﹣y, 得 z=2×5﹣2=8. 故选:B.

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 结合目标函数的几何意义, 利用数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法. 10. (5 分)若函数 f(x)=(x +bx+c)e 在(﹣∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调 2 递减,在(x2,+∞)上单调递增,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 +(b+2)f(x)+b+c=0 的不同实根个数是() A.6 B. 5 C. 4 D.3 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 求导 f′(x)=(x +(b+2)x+b+c)e ,从而可得方程 x +(b+2)x+b+c=0 的两根 为 x1,x2;从而化方程为 f(x)=x1 或 f(x)=x2,再结合 f(x1)=x1 及函数 f(x)的单调 性可得共有 3 个不同的根. 解答: 解:∵f(x)=(x +bx+c)e , 2 x ∴f′(x)=(x +(b+2)x+b+c)e , 2 x 又∵函数 f(x)=(x +bx+c)e 在(﹣∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在 (x2,+∞)上单调递增, 2 ∴方程 x +(b+2)x+b+c=0 的两根为 x1,x2; 2 ∴方程 +(b+2)f(x)+b+c=0 可化为 f(x)=x1 或 f(x)=x2; 又∵f(x1)=x1, ∴f(x)=x1 有两个不同的解,f(x)=x2 有 1 个解; 且三个解不相同; 故共有 3 个解; 故选:D. 点评: 本题考查了导数的综合应用及方程的根的转化,属于中档题. 11. (5 分)四面体 ABCD 的外接球为 O,AD⊥平面 ABC,AD=2,△ ABC 为边长为 3 的正 三角形,则球 O 的表面积为() A.32π B.16π C.12π D. π
2 x 2 x 2 2 x

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由正弦定理可得△ ABC 外接圆的半径,利用勾股定理可得四面体 ABCD 的外接球 的半径,即可求出球 O 的表面积. 解答: 解:由题意,由正弦定理可得△ ABC 外接圆的半径为 = ,

∵AD⊥平面 ABC,AD=2, ∴四面体 ABCD 的外接球的半径为 =2, ∴球 O 的表面积为 4π×4=16π. 故选:B. 点评: 本题考查球 O 的表面积,考查学生的计算能力,确定四面体 ABCD 的外接球的半 径是关键.

12. (5 分)F(﹣c,0)是双曲线
2 2 2

=1(a>0,b>0)的左焦点,P 是抛物线 y =4cx +2,则双曲

2

上一点,直线 FP 与圆 x +y =a 相切于点 E,且 PE=FE,若双曲线的焦距为 2 线的实轴长为() A. B. C. 4 D.2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由中位线定理和直线和圆相切的性质,确定∠FPF2=90°,可得 PF2=2a,利用勾股 2 2 2 2 2 定理可得 PF =FF' ﹣PF' =4c ﹣4a ,再由抛物线的定义可得 P 的坐标,进而得到 FPF2 的长, 即有 a,c 的方程,代入双曲线的 c= +1,建立方程,从而可求双曲线的实轴长 2a. 2 解答: 解:抛物线 y =4cx 的焦点 F2(c,0) ∵E 为直线 FP 与以原点为圆心 a 为半径的圆的切点,PE=EF ∴OE 为直线 FP 的中垂线 (O 为原点) , ∴OP=OF=c, 又 FF2=2c,O 为 FF2 中点,OP=c, ∴∠FPF2=90°, ∵EO=a,∴PF2=2a, 2 2 2 2 2 PF =FF2 ﹣FPF2 =4c ﹣4a , 2 抛物线 y =4cx 的准线方程为 x=﹣c, 由抛物线的定义可得 PF2═xP+c=2a, 则 xP=2a﹣c, 即有 P(2a﹣c,± PF =4a +4c(2a﹣c) , 2 2 2 则 4c ﹣4a =4a +4c(2a﹣c) , 2 2 即 c =ac+a ∵双曲线的焦距为 2 +2,
版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com
2 2

) ,

∴a +(1+ ∴a=

2

)a﹣(1+

) =0 ,

2

∴a1=2,a2=﹣ ﹣3 (舍) ∴实轴长为 4. 故选 C. 点评: 本题考查直线和圆相切的性质, 考查双曲线的几何性质, 考查学生分析解决问题的 能力,综合性强. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)已知向量 、 是夹角为 60°的两个单位向量,向量 +λ (λ∈R)与向量 ﹣2 垂 直,则实数 λ=0. 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 向量 、 是夹角为 60°的两个单位向量,可得 +λ (λ∈R)与向量 ﹣2 垂直,可得( +λ )?( ﹣2 )=0. 解答: 解:∵向量 、 是夹角为 60°的两个单位向量, ∴ , = . , = .由于向量

∵向量 +λ (λ∈R)与向量 ﹣2 垂直, ∴( +λ )?( ﹣2 )= ∴1+2λ+ =0, ﹣2 + =0,

解得 λ=0. 故答案为:0. 点评: 本题考查了数量积运算性质,考查了计算能力,属于基础题. 14. (5 分) 一个四棱锥的三视图如图所示, 其左视图是等边三角形, 该四棱锥的体积 V= .

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图可知: 该几何体是以俯视图为底面的四棱锥, 计算出几何体的底 面面积和高,代入棱锥体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图可知:该几何体是以俯视图为底面的四棱锥, 其底面面积 S= ×(1+2)×2=3, 又∵左视图是等边三角形, ∴高 h= , 故棱锥的体积 V= = ,

故答案为: 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积,其中分析出几何体的形状是解答的关键. 15. (5 分)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一矩形,使邻边长分别等于线段 AC、CB 的长,则该矩形面积大于 20cm 的概率为 .
2

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 设 AC=x,则 BC=12﹣x,由矩形的面积 S=x(12﹣x)>20 可求 x 的范围,利用几 何概率的求解公式可求. 解答: 解:设 AC=x,则 BC=12﹣x 矩形的面积 S=x(12﹣x)>20 ∴x ﹣12x+20<0 ∴2<x<10 由几何概率的求解公式可得,矩形面积大于 20cm 的概率 P= 故答案为: .
2 2

= .

点评: 本题主要考查了二次不等式的解法,与区间长度有关的几何概率的求解公式的应 用,属于基础试题

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

16. (5 分)在数列{an}中,a1=4,a2=10,若{log3(an﹣1)}为等差数列,则 Tn= +…+ = (1﹣ ) .

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由{log3(an﹣1)}为等差数列,得到数列{an﹣1}为等比数列,求出等比数列的通 项公式后,进一步得到 ,然后利用等比数列的前 n 项和得答案.

解答: 解:∵{log3(an﹣1)}为等差数列, ∴2log3(an﹣1)=log3(an﹣1﹣1)+log3(an+1﹣1) (n≥2) , 2 即 log3(an﹣1) =log3(an﹣1﹣1) (an+1﹣1) (n≥2) , 2 (an﹣1) =(an﹣1﹣1) (an+1﹣1) (n≥2) , 则数列{an﹣1}为等比数列. 首项为 a1﹣1=4﹣1=3,公比为 则 an﹣1=3 . ∴ = = .
n

=3.

则 Tn=

+…+

=

+

+…+

= ?

= (1﹣

) .

故答案为: (1﹣

) .

点评: 本题考查了等差数列的性质和等比数列的定义和通项及前 n 项和公式, 考查化简运 算能力,是中档题. 三、解答题(共 8 小题,满分 70 分) 17. (12 分)在△ ABC 中,2sin2C?cosC﹣sin3C= (1﹣cosC) . (1)求角 C 的大小; (2)若 AB=2,且 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ ABC 的面积. 考点: 正弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)利用 2sin2C?cosC﹣sin3C= (1﹣cosC) ,以及三角形的内角和,两角和与 差的三角函数.推出 C 的三角函数值,即可求角 C 的大小;
版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

(2)通过 AB=2,利用 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求出 B 的大小,然后求出三角形的边长, 然后求△ ABC 的面积. 解答: 解:∵2sin2C?cosC﹣sin3C= (1﹣cosC) . ∴2sin2C?cosC﹣sin(2C+C) =2sin2C?cosC﹣sin2CcosC﹣cos2CsinC =sin2CcosC﹣cos2CsinC =sinC = (1﹣cosC) . ∴sinC= ﹣ cosC. ∴sin(C+ )= .

∵C 是三角形的内角, ∴C+ ∴C= . ,

(2)由 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A 可得 sin(A+B)+sin(B﹣A)=2sin2A, 可得 sinBcosA=2sinAcosA,sinB=2sinA 或 cosA=0, 当 cosA=0,∴A= ∴ ,b= = = .

当 sinB=2sinA,由正弦定理可知,b=2a,由余弦定理可知:cosC= ∴a= , = .

= ,

点评: 本题考查两角和与差的三角函数, 正弦定理的应用余弦定理的应用, 考查解三角形 的知识,考查计算能力. 18. (12 分)如图所示,在五棱锥 P﹣ABCDE 中,PE⊥平面 ABCDE,DE⊥AE,AB∥DE, BC∥AE.AE=AB=PE=2DE=2BC,F 为棱 PA 的中点,过 D、E、F 的平面 α 与棱 PB、PC 分别交于点 G、H. (1)求证:DE∥FG; (2)设 DE=1,求三棱锥 G﹣PEF 的体积.

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用线面平行的判定与性质,证明 DE∥FG; (2)由(1)知,F 为棱 PA 的中点,G 为棱 PB 的中点,利用三棱锥 G﹣PEF 的体积= VB
﹣PEF

=

=

,即可求三棱锥 G﹣PEF 的体积.

解答: (1)证明:∵AB∥DE,AB?平面 PAB,DE?平面 PAB, ∴DE∥平面 PAB, ∵DE?α,α∩平面 PAB=FG, ∴DE∥FG; (2)解:由(1)知,F 为棱 PA 的中点,G 为棱 PB 的中点, ∴三棱锥 G﹣PEF 的体积= VB﹣PEF= = = . = =

点评: 本题考查线面平行的判定与性质, 考查三棱锥 G﹣PEF 的体积, 正确运用线面平行 的判定与性质是关键. 19. (12 分)为了解某市观众对 2014﹣2015 赛季中国男篮 CBA 联赛的喜爱程度,某调查公 司随机抽取了 100 名观众,其中有 40 名女性观众,对这 100 名观众进行了问卷调查得到了 如下的 2×2 列联表: 喜爱 CBA 不喜爱 CBA 合计 男性观众 20 女性观众 20 合计 已知在全部 100 人中随机抽取 1 人抽到喜爱 CBA 的观众的概率为 . (1)请将上面的 2×2 列联表补充完整; (2)是否有 90%的把握认为是否喜爱 CBA 与性别有关?说明你的理由; (3)从喜欢 CBA 的观众中采用分层抽样的方法抽取 6 人,再从这 6 人中随机抽取 3 人调 查观众对辽宁男篮的喜爱程度,求抽取的三人中即有男性观众又有女性观众的概率; 下面的临界表供参考: 2 p(k ≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

(参考公式:k =

2



考点: 独立性检验的应用. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)根据在全部 100 人中随机抽取 1 人抽到喜爱 CBA 的观众的概率为 ,求出喜 爱 CBA 的观众有 100× =60 人,可得 2×2 列联表; (2)求出 k ,与是临界值比较,即可得出是否有 90%的把握认为是否喜爱 CBA 与性别有 关; (3)采用分层抽样的方法抽取 6 人,有 4 名为男性,2 名为女性,从这 6 人中随机抽取 3 人,有 =20 种,只有男性有 =4 种,可得抽取的三人中即有男性观众又有女性观众有
2

16 种,即可求出抽取的三人中即有男性观众又有女性观众的概率. 解答: 解: (1)∵在全部 100 人中随机抽取 1 人抽到喜爱 CBA 的观众的概率为 , ∴喜爱 CBA 的观众有 100× =60 人, 可得 2×2 列联表: 男性观众 女性观众 合计 (2)k =
2

喜爱 CBA 40 20 60

不喜爱 CBA 20 20 40 ≈2.778>2.706,

合计 60 40 100

∴有 90%的把握认为是否喜爱 CBA 与性别有关; (3)采用分层抽样的方法抽取 6 人,有 4 名为男性,2 名为女性,从这 6 人中随机抽取 3 人,有 =20 种,只有男性有 =4 种,

∴抽取的三人中即有男性观众又有女性观众有 16 种, ∴抽取的三人中即有男性观众又有女性观众的概率为 =0.8.

点评: 本题考查独立性检验的运用,考查概率的计算,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题.

20. (12 分)如图,抛物线 C1:x =2py(p>0)与椭圆 C2: 交点为 T( , ) ,F(1,0)为椭圆 C2 的右焦点. (1)求抛物线 C1 与椭圆 C2 的方程;

2

=1(a>b>0)的一个

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

(2)设 M(x0,y0)是抛物线 C1 上任意一点,过 M 作抛物线 C1 的切线 l,直线 l 与椭圆 C2,交于 A、B 两点,定点 N(0, ) ,求△ NBA 的面积的最大值,并求出此时 M 点的坐 标.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)把点 T 的坐标代入抛物线方程求解 p,则抛物线方程可求;由椭圆定义求得 2a,结合已知与隐含条件求得 b,则椭圆方程可求; (2)设出切点 M 坐标,利用导数求出过点 M 的切线方程,和椭圆方程利用,由弦长公式 求得|AB|,再由点到直线的距离公式求得 N 到直线 AB 的距离,代入三角形面积公式,化简 后利用二次函数求最值得答案. 解答: 解: (1)∵点 T( , )在抛物线 C1 上,∴ 方程为 ; ,即 p= ,则抛物线

又∵点 T( , )在椭圆 C2 上, ∴ 又∵c=1,∴ 则椭圆 C2 的方程为 (2)由 ,得 , ; ,∴y′= , , ,整理得: , , = , .

设直线 l 的斜率为 k,则 ∴直线 l 的方程为 又∵M 在抛物线上,∴

∴直线 l 的方程为:3x0x﹣8y﹣8y0=0,

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

联立方程组

, 得

①, △= , ∴ ②, =

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1,x2 是方程①的两个解,由根与系数的关系得: ,

∴|AB|=

=



设 N 到直线 l 的距离为 d,则 d=

=





= 时,S△ ABN 有最大值为 ,此时 x0=﹣2.



∴当

∴M 点的坐标为(﹣2, ) . 点评: 本题考查椭圆方程的求法, 主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用, 直线与曲线 联立,根据方程的根与系数的关系解题,是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的 特点是计算量比较大,要求考生具备较强的运算推理的能力,是压轴题. 21. (12 分)已知 f(x)=e ,g(x)=ln(t﹣x) ,其中 e=2.71828…,m 为常数,且 t∈R. (1)若 h(x)=f(x)﹣g(x)在(1,h(1) )处的切线为 y=1﹣ln(t﹣1) ,求 t 的值并讨 论函数 h(x)的单调性; (2)当 t≤3 时,证明:f(x)>g(x) . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;导数的综合应用.
1﹣x

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

分析: (1)求导数,利用 h′(1)=﹣1+

=0,可得 t,证明 x∈(﹣∞,1)时,h′(x)

<h′(1) ,h(x)在(﹣∞,1)上单调递减,x∈(1,2)时,h′(x)>h′(1) ,h(x)在 (1,2)上单调递增,可得结论; (2)当 t≤3,x<t 时,ln(t﹣x)≤ln(3﹣x) ,要证明 f(x)>g(x) ,只要证明 f(x)>ln (3﹣x) . 解答: (1)解:h(x)=f(x)﹣g(x)=e ∴h′(1)=﹣1+ ∴t=2, ∴h′(x)=﹣e
1﹣x 1﹣x

﹣ln(t﹣x) ,h′(x)=﹣e

1 ﹣x

+



=0,

+ +

, ,则 m(x)在(﹣∞,2)上单调递增,

令 m(x)=﹣e

1﹣x

∴h′(x)在(﹣∞,2)上单调递增, ∵h′(1)=0, ∴x∈(﹣∞,1)时,h′(x)<h′(1) ,h(x)在(﹣∞,1)上单调递减,x∈(1,2)时, h′(x)>h′(1) ,h(x)在(1,2)上单调递增, 综上,h(x)的单调递减区间为(﹣∞,1) ,单调递增区间为(1,2) ; (2)证明:当 t≤3,x<t 时,ln(t﹣x)≤ln(3﹣x) , 要证明 f(x)>g(x) ,只要证明 f(x)>ln(3﹣x) . 令 F(x)=f(x)﹣ln(3﹣x)=e ∴F′(x)=﹣e
1﹣x 1﹣x

﹣ln(3﹣x) ,

+

在(﹣∞,3)上单调递增且 F′(1)<0,F′(2)>0,

∴存在唯一一个 x0∈(1,2) ,使得 F′(x0)=0 ∴﹣ + =0,

∴ln(x0﹣3)=x0﹣1. x∈(﹣∞,x0) ,F′(x)<0,x∈(x0,3) ,F′(x)>0 ∴F(x)≥F(x0)= ﹣(x0﹣1)>0,

∴f(x)>ln(3﹣x) . ∴f(x)>g(x) . 点评: 本题考查函数的单调性,考查不等式的证明,考查学生分析解决问题的能力,正确 构造函数,求导数是关键.

22. (10 分)如图,过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交于 B,C 两点,且

,作直

线 AF 与圆 E 相切于点 F,连结 EF 交 BC 于点 D,已知圆 E 的半径为 2,∠EBC=30° (1)求 AF 的长; (2)求证:AD=3ED.
版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 分析: (1)延长 BE 交圆 E 于点 M,连结 CM,则∠BCM=90°,由已知条件求出 AB, AC,再由切割线定理能求出 AF. (2)过 E 作 EH⊥BC 于 H,得到 EDH∽△ADF,由此入手能够证明 AD=3ED. 解答: (1)解:延长 BE 交圆 E 于点 M,连结 CM,则∠BCM=90°, ∵BM=2BE=4,∠EBC=30°,∴ , 又∵ ,∴ ,∴ , ,即 AF=3

根据切割线定理得 (2)证明:过 E 作 EH⊥BC 于 H, ∵∠EOH=∠ADF,∠EHD=∠AFD, ∴△EDH∽△ADF, ∴ , ,EB=2, ,

又由题意知 CH= ∴EH=1,∴ ∴AD=3ED.

点评: 本题考查与圆有关的线段的求法,考查两条线段间数量关系的证明,是中档题,解 题时要注意切割线定理的合理运用. 23.选修 4﹣4:坐标系与参数方程 2 2 在直角坐标系中,圆 C 的方程是 x +y ﹣4x=0,圆心为 C.在以坐标原点为极点,以 x 轴的 非负半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线 C1: 与圆 C 相交于 A,B 两点.
版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

(1)求直线 AB 的极坐标方程;

(2)若过点 C(2,0)的曲线 C2: 点 E,求|CD|:|CE|的值.

(t 是参数)交直线 AB 于点 D,交 y 轴于

考点: 简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐标的互化;参数方程化成普通方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)先利用 x=ρcosθ,y=ρsinθ 将曲线 C1 的极坐标方程化为直角坐标方程,再与 圆 C 的方程联立方程组解出交点坐标,从而得到 AB 的直角坐标方程,最后再将它化成极 坐标方程即可; (2)将直线的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,利用参数的几何意义可求|CD|:|CE| 的值. 解答: 解: (1)在以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中, 极坐标与直角坐标有关系:x=ρcosθ,y=ρsinθ, 所以圆 C1 的直角坐标方程为 x +y +4 联立曲线 C:x +y ﹣4x=0,得
2 2 2 2

y=0,…(2 分)



即不妨令 A(0,0) ,B(3,﹣ 所以,ρsinθ=﹣

) ,从而直线 AB 的直角坐标方程为:y=﹣ ,…(4 分) , (ρ∈R) .…(5 分) x,…(6 分)

x,

ρcosθ,即 tanθ=﹣

所以直线 AB 的极坐标方程为 θ=﹣

(2)由(1)可知直线 AB 的直角坐标方程为:y=﹣

依题令交点 D(x1,y1)则有



又 D 在直线 AB 上,所以,

=﹣

(2+

t1) ,解得 t1=﹣



由直线参数方程的定义知|CD|=|t1|=

,…(8 分)

同理令交点 E(x2,y2) ,则有



又 E 在直线 x=0 上,所以 2+ 所以|CE|=|t2|= ,…(9 分)

=0,解得 t2=﹣



版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

所以|CD|:|CE|= .…(10 分) 点评: 本题主要考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化,点到直线的距离公 式. 要求学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置, 体会在极坐标系和平面直角坐标系中 刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化,属于中等题. 24.已知函数 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣3| (Ⅰ)求不等式 f(x)≥4 的解集; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的最小值. 考点: 绝对值不等式的解法;函数的最值及其几何意义. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)不等式即|2x+1|﹣|x﹣3|≥4,可得 ① ,或



,或③

.分别求得①、②、

③的解集,再取并集,即得所求.

(Ⅱ)画出函数 y=f(x)=

的图象,数形结合可得函数 f(x)的

最小值. 解答: 解: (Ⅰ)不等式 f(x)≥4,即|2x+1|﹣|x﹣3|≥4, 可得① . ,或② ,或



解①可得 x≤﹣8,解②可得 2≤x<3,解③可得 x≥3. 再把①②③的解集取并集可得不等式 f(x)≥4 的解集为{x|x≤﹣8,或 x≥2}.

(Ⅱ)∵函数 y=f(x)=

,如图所示:

故当 x=﹣ 时,函数 f(x)取得最小值为﹣ .

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法, 体现了等价转化和数形结合的数学思想, 属于 中档题.

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com



更多相关文章:
辽宁葫芦岛2015届高三上学期期末考试数学(文)Word版含...
辽宁葫芦岛2015届高三上学期期末考试数学(文)Word版含答案_高三数学_数学_高中教育...2015 年葫芦岛市普通高中高三年级调研考试 高三数学(文科考生使用) 注意事项: ...
辽宁省葫芦岛市2017届高三上学期期末数学试卷(文科) Wo...
辽宁省葫芦岛市2017届高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2016-2017 学年辽宁省葫芦岛市高三(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:...
辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末考试 数学(理)
辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末考试 数学(理)_数学_高中教育_教育专区。辽宁...衡水中学文科学霸高中数学笔记 清华附中文科学霸高中政治笔记 东北师大附中理科学霸...
辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末考试 数学()试卷...
辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末考试 数学(文)试卷及答案_数学_高中教育_教育...2014---2015 学年度上学期高三期末考试 数学试题(文科) 参考答案及评分标准 一...
2017届辽宁省葫芦岛市高三上学期期末数学试卷(文科)(解...
2017届辽宁省葫芦岛市高三上学期期末数学试卷(文科)(解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2017 届辽宁省葫芦岛市高三(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本...
辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末考试 数学(文) Wor...
辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末考试 数学(文) Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2015 年葫芦岛市普通高中高三年级调研考试 高三数学(文科考生使用)注意...
辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末考试 数学(文) 扫...
辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末考试 数学(文) 扫描版_理化生_高中教育_教育专区。辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末考试 含答案2014...
辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末考试 数学(文)
辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末考试 数学(文)_数学_高中教育_教育专区。2015...2015 年葫芦岛市普通高中高三年级调研考试高三数学(文科考生使用) 注意事项: 1...
辽宁省葫芦岛市2017届高三(上)期末数学试卷(文科)(解析...
辽宁省葫芦岛市2017届高三()期末数学试卷(文科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。辽宁省葫芦岛市2017届高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版) ...
...届辽宁省葫芦岛市高三上学期期末考试数学(文科)试题...
【恒心】2015届辽宁省葫芦岛市高三上学期期末考试数学(文科)试题及参考答案【纯word版】_数学_高中教育_教育专区。2015届辽宁省葫芦岛市高三上学期期末考试数学(文科...
更多相关标签:
辽宁省葫芦岛市    辽宁省葫芦岛市绥中县    辽宁省葫芦岛市兴城市    辽宁省葫芦岛市南票区    辽宁省葫芦岛市连山区    辽宁省葫芦岛市龙港区    辽宁省葫芦岛市建昌县    辽宁省葫芦岛市地图    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图