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高二(下)文科数学期末模拟试题(四)



纳溪中学校高二(下)数学(文科)期末模拟试题(四)
命题人:杜巍 满分 150 分 班级 姓名 120 分钟完卷 得分

一、 选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)
1、 (原创) 设 i 为虚数单位,则复数 z ? ? A. ?i B. i

? 1? i ? ? ? 1? i ?


2017

的值是(

) D. 1 )

C. ?1

2、已知 x 与 y 之间的一组数据如下图所示,且 x 与 y 的线性回归方程的相关指数 R 2 ? 1 ,则 m ? n ? (

x y

0 1
B. ?5 B. 12

1 3

m 5
D. ?3

3 n

A. 5 A. 11

C. 3 C. 13
?

3、 如图是一样本的频率分布直方图,则由图形中的数据,可以估计中位数是 ( D. 14 )



4、 (原创) 设命题 p : “ ?x ? 0, ?a ? R , 使得 ln x ? ax ”,则 p 为( A. ?x ? 0, ?a ? R , 使得 ln x ? ax C. ?x ? 0, ?a ? R , 使得 ln x ? ax B. ?x ? 0, ?a ? R, 使得 ln x ? ax D. ?x ? 0, ?a ? R , 使得 ln x ? ax

5、为了解 1000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本,则分段的间隔为( A. 50 B. 40 C. 25 ) D. 20



6、已知函数的图像如下图所示,则其函数解析式可能是(
A.

f ? x ? ? x2 ? ln x

B.

f ? x ? ? x2 ? ln x

C.

f ? x ? ? x ? ln x

D.

f ? x ? ? x ? ln x

y

O

1

x

7、若正整数 n 除以正整数 m 后的余数为 N ,则记为 n ? N (mod m) , 例如 10 ? 4(mod 6) ,下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的 “中国剩余定理” ,执行该程序框图,则输出的 n 等于( A. 11 C. B. 13 D. 17 )

14

8、 (改编题) 如图正方形中的曲线 C 是以 1 为直径的半圆,从区间 ? 0,1? 上 取 1600 个 随 机 数 x1 , x2 ,..., x800 , y1 , y2 ,..., y800 , 已 知 800 个 点

? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,..., ? x800 , y800 ? 落在阴影部分的个数为 m ,则圆周率 ? 的
估计值为( A. ) B.

m 800

m 400

C.

m 200

D.

m 100

x2 y2 9、 (原创) 设 m ? R ,则命题 p :“椭圆 ? ? 1 的焦点在 y 轴上”是命题 q : 2m ? 2 m 2 ? 1
“函数 f ? x ? ? A.充分不必要

1 2 x ? 4 ln x ? mx 在其定义域内存在单调递减区间”的( 2
B.必要不充分 C.充要

)条件 D.既不充分也不必要

10、已知函数 f ? x ? ? ln x , g ? x ? ?

1 2 ,直线 l 与函数 f ? x ? 、g ? x ? 的图像都相切,且 l 与函数 x ? a ( a 为常数) 2
) C. ?

f ? x ? 的图像的切点的横坐标为1 ,则 a 的值为(
A. 1 B. ?1

1 2

D. 2

11、 已知 P 是双曲线 C :

x2 y 2 过点 P 作与双曲线 C 的两渐近线平行的直线与两渐近 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 上的一点, a 2 b2


线分别交于点 A、B ,若平行四边形 OAPB 的面积等于 4 ,当双曲线 C 的焦距最小时,则它的离心率为( A.

2

B.

3

C. 2

D. 2 2 )

12、设函数 f ? x ? ? A. ? ?

x ? 2 ? a x ? a ,若存在唯一的整数 x0 使得 f ? x0 ? ? 0 ,则实数 a 的取值范围是(
B. ? ?

? 6 35 ? 7 ? , ? 3 4 ? ?

? 6 15 ? 5 ? , ? 3 2 ? ?

C. ? 2 2 ? 2, ?

? ?

3? ? 2 ?

D. ? 2 2 ? 2,

? ? ?

15 ? 5 ? ? 2 ?

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
13、 (原创) 若函数 f ? x ? ?

1 ? ?? x ? cos x 在 ?0, ? 上的最大值为 2 ? 2?
2 2

.

14、 若直线 ax ? y ? 2 ? 0 与 ?C : ? x ? 1? ? ? y ? a ? ? 4 相交于 A、B 两点, 且 ?ABC 为正三角形, 则a ?

.

15、一个煤气站有 5 个阀门控制对外输送煤气,使用这些阀门必须遵守以下操作规则: (ⅰ)如果开启 1 号阀门,那么必须同时开启 2 号阀门,并且关闭 5 号阀门; (ⅱ)如果开启 2 号阀门或者 5 号阀门,那么要关闭 4 号阀门; (ⅲ)不能同时关闭 3 号阀门和 4 号阀门. 现在要开启 1 号阀门,则同时开启的两个 阀门是 . .. 16、设抛物线 y ? 2 x 的焦点为 F ,过点 M
2

?

3, 0 的直线与抛物线相交于 A、B 两点,与抛物线的准线相交于点
S ?BCF = S ?ACF
.

?

C , BF ? 2 ,则 ?BCF 与 ?ACF 的面积之比

三、解答题(本大题共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、 (本小题满分 12 分) 随着经济社会的发展,消费者对食品安全的关注度越来越高,通过随机询问某地区 110 名居民在购买食品时是否看生产日期与保质期等内容, 得到年龄与看生产日期与保质期的列联表如下: (单位: 名)

60 岁以下
看生产日期与保质期 不看生产日期与保质期 总计

60 岁以上 30 20 50

总计

50 10 60

80 30 110

(Ⅰ)从这 50 名 60 岁以上居民中按是否看生产日期与保质期采取分层抽样,抽取一个容量为 5 的样本,问样本中 看与不看生产日期与保质期的 60 岁以上居民各有多少名? 求选到看与不看生产日期与保质期的 60 岁以上居民各 (Ⅱ)从(Ⅰ)中的 5 名居民样本中随机选取两名作深度访谈,

1 名的概率;
(Ⅲ)根据以上列联表,问有多大把握认为“年龄与在购买食品时看生产日期与保质期”有关? 附:

K2 ?

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c )(b ? d )
0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.01 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P ? K 2 ? k0 ?

k0

18、 (本小题满分 12 分) (原创----以阿基米德三角形为背景) 如图,已知直线 l : y ? kx ? m 与抛物线 C : x ? 4 y 相交于 A ? x1 , y1 ? 、B ? x2 , y2 ? 两点,分别作抛物线 C 的切线
2

PA、PB , A、B 为切点.
(Ⅰ)若 m ? 4 ,求证: y1 y2 为定值; (Ⅱ)若 PA? PB ? 0 ,求证: 直线 l 恒过定点.

??? ? ??? ?

19、 (本小题满分 12 分) (原创)

已知函数 f ( x ) ? ax 3 ?

3 ( a ? 2) x 2 ? 6 x ? 3 , x ? R . 2

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的极小值;

(Ⅱ)当 a ? R 时,试讨论曲线 y ? f ( x ) 的零点个数.

20、 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 ? :

x2 y2 1 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的半焦距为 c ,原点 ? 到经过两点 ? c, 0 ? , ? 0, b ? 的直线的距离为 c . 2 a b 2
5 的一条直径,若椭圆 ? 经过 A, B 两点,求椭圆 ? 的方程. 2
y B M A O x

(Ⅰ)求椭圆 ? 的离心率; (Ⅱ)如图, ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ?
2 2

21、 (本小题满分 12 分) (原创) (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性;

已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? a ln ? x ? 1? , a ? R .
2

(Ⅱ)若 ?x ? ? 0, ?? ? , f ? x ? ? 0 ,求实数 a 的取值范围.

22、 (本小题满分 10 分)

选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : x ? y ? 4 ,曲线 C2 : ? 点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线 C1 , C2 的极坐标方程;

? x ? 1 ? cos? ( ? 为参数) , 以坐标原点 O 为极 ? y ? sin ?

(Ⅱ)若射线 l : ? ? ? ( ? ? 0 )分别交曲线 C1 、 C2 于 A、B 两点, 求

| OB | 的最大值. | OA |

23、 (本小题满分 10 分)
3 3

选修 4-5:不等式选讲 证明: (Ⅰ) ( a ? b)(a ? b ) ? 4 ;
5 5

已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 .

(Ⅱ) a ? b ? 2 .



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