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2014高考数学(文)二轮专题突破课件(浙江专版)第1部分 专题2 第2讲 三角恒等变换与解三角形



第二讲

三角恒等变换与解三角形?选择、填空题型?

考点

三角函数的概念及诱导公式
同角三角函数基本关系式 两角和与差的三角函数 倍角公式

解三角形问题
三角恒等变换与向量相结合问题

考情

1.对三角变换公式注重基础考查,并在综合试题中作为
一 种工具考查,主要考查利用各种三角公式进行求值与化 简,其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点,切化弦、 角的变换是常考的三角变换思想.如2013年新课标全国卷 ⅡT6,江西T13等. 2.正弦定理和余弦定理及解三角形问题是高考考查的重 点,单独命题的频率较高,主要涉及以下几个问题:(1)边 和角的计算;(2)三角形形状的判断;(3)面积的计算;(4)有

关范围的问题.如2013年北京T5,山东T7等.

? π? 2 2 1.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α=3,则cos ?α+4?= ? ?

( 1 A.6 1 B.3 1 C.2 2 D.3

)

解析:法一:cos 1 =6.

2

? ? π? 1 ? π? ? 1 ?α+ ? = ?1+cos?2α+ ?? = (1-sin 4? 2 ? 2 ?? 2 ? ?

2α)

? π? 法二:cos ?α+4? = ? ?
2

? π? 1 2 2 2 cos α- 2 sin α,所以cos ?α+4? = 2 2 ? ?

1 1 1 (cos α-sin α) =2(1-2sin αcos α)=2(1-sin 2α)=6.

答案:A

1 2.(2013· 北京高考)在△ABC中,a=3,b=5,sin A= 3 ,则 sin B= 1 A.5 5 B.9 5 C. 3 ( D. 1 )

a b 3 5 解析:依题意,由正弦定理得 sin A = sin B ,即 1 = sin B , 3 5 解得sin B=9.

答案:B

3.(2013· 山东高考)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c.若B=2A,a=1,b= 3,则c= A.2 3 B.2 ( )

C. 2 D.1 1 3 3 解析:由已知及正弦定理得 sin A = sin B = sin 2A =

3 3 . 2sin Acos A,所以cos A= 2 ,A=30° 3 结合余弦定理得1 =( 3) +c -2c× 3× 3 ,整理c2-3c+2
2 2 2

=0,解得c=1或c=2. 当c=1时,△ABC为等腰三角形,A=C=30° ,B=2A= 60° ,不满足内角和定理,故c=2.

答案:B

4.(2013· 江西高考)设 f(x)= 3sin 3x+cos 3x,若对任意实数 x 都有|f(x)|≤a,则实数 a 的取值范围是________.
? π? 解析:由题意知f(x)=2sin?3x+6?,则|f(x)|≤2,所以a≥2. ? ?

答案:[2,+∞)

1.两组三角公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α± β)=sin αcos β± αsin β. cos ②cos(α± β)=cos αcos β?sin αsin β. tan α± β tan ③tan(α± β)= . 1?tan αtan β (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α=2sin αcos α. ②cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 2tan α ③tan 2α= . 1-tan2 α

2.两个定理 (1)正弦定理 a b c sin A=sin B=sin C=2R(2R为△ABC外接圆的直径). 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; a b c sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R; a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

(2)余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2- 2abcos C. b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论:cos A= 2bc ,cos B= 2ac , a2+b2-c2 cos C= 2ab . 变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,a2+b2 -c2=2abcos C.

三角变换与求值
[例 1] A. 2 (2)若 (1)(2013· 重庆高考)4cos 50° -tan 40° = 2+ 3 B. 2 C. 3 ( )

D.2 2-1 )

? 2sin2α+sin 2α π? 1 π tan?α+4?=2,且-2<α<0,则 ? π? =( ? ? cos?α-4? ? ?

2 5 A.- 5

3 5 B.- 10

3 5 C.- 10

2 5 D. 5

11 4 3 π π (3)若 cos(2α-β)=-14,sin(α-2β)= 7 ,0<β<4<α<2,则 α+β 的值为________.

[自主解答]

sin 40° (1)4cos 50° -tan 40° =4cos 50° cos 40° -

-sin 40° 4sin 40°cos 40° sin 40° 2sin 80° · = = cos 40° -cos 40° cos 40° 2cos 10° -sin 40° 2cos 10° -sin?30° +10° ? = = cos 40° cos 40° 3 3 - 2cos 10° 2 sin 10° = cos 40°

3?cos 30° 10° cos -sin 30° 10° sin ? 3cos 40° = = cos 40° = 3. cos 40°
? π? tan α+1 1 (2)由tan?α+4?= = ,得tan ? ? 1-tan α 2

1 α=-3.

π 10 又-2<α<0,所以sin α=- 10 . 2sin2α+sin 2α 2sin α?sin α+cos α? 2 5 故 =2 2sin α=- 5 . ? π? = 2 cos?α-4? 2 ?sin α+cos α? ? ? 11 π 5 3 (3)∵cos(2α-β)=-14且4<2α-β<π,∴sin(2α-β)= 14 .

4 3 π π ∵sin(α-2β)= 7 且-4<α-2β<2, 1 ∴cos(α-2β)=7. ∴cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)] =cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β) 11 1 5 3 4 3 1 =-14×7+ 14 × 7 =2. π 3π π ∵4<α+β < 4 ,∴α+β=3. π [答案] (1)C (2)A (3)3

——————————规律· 总结————————————
1.化简求值的方法与思路 三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”“弦化切” 来减少函数的种类,做到三角函数名称的统一,通过三角恒 等变换,化繁为简,便于化简求值,其基本思路为:找差异, 化同名(同角),化简求值.

2.解决条件求值应关注的三点 (1)分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角来 表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角 的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时,要根据已知求这 个角的某种三角函数值,然后结合角的取值范围,求出角的 大小. ——————————————————————

1.在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C的值 是 2 A.- 2
解析:由tan Atan

( 2 B. 2
B=tan

)

1 C.2
A+tan

1 D.-2
B+1,可得

tan A+tan B =-1,即tan(A+B)=-1,所以A+B= 1-tan Atan B 3π π 2 4 ,则C=4,cos C= 2 .

答案: B

? ?α ? β? 1 2 π π ?α- ? =- ,sin ? -β? = ,且 <α<π,0<β< ,则 2.已知cos 2? 9 3 2 2 ? ?2 ?

α+β cos 2 =________.
π π π α π π π 解析:因为 2 <α<π,0<β< 2 ,则 4 < 2 < 2 ,- 2 <-β<0,- 4 <- β π β π α π 2<0,所以4<α-2<π,-4<2-β<2.
? ?α ? 2 β? 1 π β α ?α- ? =- <0,sin ? -β? = >0,所以 <α- <π,0< 又cos 2? 9 2 2 2 ? ?2 ? 3

π -β<2.

? β? 则sin?α-2?= ? ? ?α ? cos?2-β?= ? ?

1-cos 1-sin
2

2

? β? 4 5 ?α- ?= 2? 9 , ?

?α ? ? -β?= ?2 ?

5 3,

?? ?? α+β β? ?α 故cos 2 =cos??α-2?-?2-β?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? β? ?α β? ?α =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? =?-9?× ? ?

5 4 5 2 7 5 3 + 9 ×3= 27 .

7 5 答案: 27

利用正弦、余弦定理解三角形
[例2] (1)(2013· 湖南高考)在锐角△ABC中,角A,B所对的边

长分别为a,b.若2asin B= 3b,则角A等于 ( ) π π π π A.3 B.4 C.6 D.12 (2)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a= 80,b=100,A=30° ,则此三角形 A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是直角三角形,也可能是锐角三角形 ( )

(3)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 A+B 7 4sin 2 -cos 2C=2,且a+b=5,c= 7,则△ABC的面积
2

为________. [自主解答] (1)由已知及正弦定理得2sin Asin B= 3 sin

? π? 3 π ?0, ?,所以A= . B,因为sin B>0,所以sin A= 2 .又A∈ 2? 3 ?

a b bsin A 100sin 30° 5 3 (2)依题意得sin A=sin B,sin B= a = =8< 2 ,因此 80 0° <B<60° 或120° <B<150° .若0° <B<60° ,则C=180° -(B+30° )>90° ,此 时△ABC是钝角三角形;若120° <B<150° ,此时△ABC仍是钝角三角 形.因此,此三角形一定是钝角三角形. A+B 7 (3)因为4sin -cos 2C= 2 ,所以2[1-cos(A+B)]-2cos2C+1 2 7 7 1 1 2 2 =2,2+2cos C-2cos C+1=2,cos C-cos C+4=0,解得cos C=2.
2 2 2 1 a +b -7 根据余弦定理,有cos C= 2 = 2ab ,则ab=a2+b2-7,故3ab=a2

+b2+2ab-7=(a+b)2-7=25-7=18,所以ab=6,所以△ABC的面 1 1 3 3 3 积S△ABC=2absin C=2×6× 2 = 2 .

[答案]

(1)A

(2)C

3 3 (3) 2

互动探究
将本例(1)中“2asin B= 3 b”改为“2bcos B=acos C+ccos A,且b2=3ac,角C所对的边长为c”,如何求解? 解:因为2bcos B=acos C+ccos A,根据正弦定理可得,2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C)=sin ? 3? π 2 2 B,故B= 3 .因为b =3ac,所以sin B=3sin Asin C,即 ? ? 2= ? 2 ? ? ? 1? 1 3? 3× 2 ×[cos(A-C)-cos(A+C)]= 2 ?cos?A-C?+2? ,得cos(A- ? ? π π 2π π 7π C)=0,即A-C=2或C-A=2,又A+C= 3 ,得A=12或12.

——————————规律· 总结————————————

解三角形问题的方法 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对 角”应采用正弦定理; (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三 边”应采用余弦定理.
————————————————————————

3.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,若 acos C+ 3asin C=b+c,则角A的值为 A.30° C.60° B.45° D.120° ( )

解析:由acos C+ 3 asin C=b+c及正弦定理,得sin Acos C+ 3×sin Asin C=sin B+sin C,由三角形内角 和定理知,sin Acos C+ 3sin Asin C=sin(A+C)+sin 1 C,化简得 3sin A-cos A=1,即sin(A-30° 2 .由于 )= 0° <A<180° ,所以-30° <A-30° <150° ,所以A-30° = 30° ,故A=60° .

答案:C

4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“a= 2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

解析:若a=2bcos C,由正弦定理得sin A =2sin B· cos C,即sin(B+C)=2sin Bcos C,所以sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,即sin Bcos C-cos BsinC=0,所以sin(B -C)=0,即B=C,所以△ABC是等腰三角形.若△ABC 是等腰三角形,当A=B时,a=2bcos C不一定成立,所以 “a=2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要 条件.

答案:A

解三角形与实际应用问题
[例3] (1)(2013· 青岛模拟)如图

所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石 堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处 2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α等于( 231 A. 5 5 B.16 231 C. 16 11 D. 5 )

(2)如图所示,为了测量正在海面匀 速行驶的某航船的速度,在海岸上选取距 离为1 km的两个观察点C,D,在某天

10:00观察到该航船在A处,此时测得∠ ADC=30° ,3 min后该船行驶至B处,此时测得∠ACB=60° , ∠BCD=45° ,∠ADB=60° ,则船速为__________km/min.

[自主解答] (1)由题意,可得在△ABC中,AB=3.5,AC =1.4,BC=2.8,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2= AC2+BC2-2×AC×BC×cos ∠ACB,即3.52=1.42+2.82-

5 231 2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cos α=16.所以sin α= 16 .所以 sin α 231 tan α=cos α= 5 .

(2)法一:(常规思路)在△ACD中,有 3+1 CD ,得AD= 2 . sin[180° -?60° +45° ?-30° ]

AD sin?60° +45° ?



BD CD 在△BCD中,有sin 45° = , sin[180° -?60° +30° ?-45° ] 得BD=1. 在△ABD中,有AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos 60° =
? ? ? ?

3+1 3+1?2 1 3 ? 2 +1 -2× 2 ×1×2=2, 2 ? ?

6 6 所以AB= 2 ,故船速为 6 km/min.

法二:(特殊思路) 由题意,得∠BDC=30° +60° =90° , 又因为∠BCD=45° ,所以BC= 2CD= 2. 因为∠ACB=∠ADB=60° ,所以A,B,C,D四点共圆,且以 6 BC为直径,所以AB=BC· 60° 2 , sin = 6 故船速为 6 km/min.

[答案]

(1)A

6 (2) 6

——————————规律· 总结————————————

四步解决解三角形中的实际问题 (1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理 解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、方位角等; (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理 运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解; (4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍, 得出正确答案. ————————————————————————

5.一船向正北方向航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯 塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔 在船的南偏西60° 方向,另一灯塔在船的南偏西75° 方向,则 这只船的速度是 A.15海里/时 C.10海里/时 B.5海里/时 D.20海里/时 ( )

解析:如图,依题意有∠BAC =60° ,∠BAD=75° ,所以∠ CAD=∠CDA=15° ,从而CD =CA=10,在直角三角形ABC中,可得AB=5,于是这只 船的速度是10海里/时.

答案:C

6.如图所示,福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC,现在 又新架设了一条索道AC.在山脚B处看索 道AC,此时张角∠ABC=120° ;从B处 攀登200米到达D处,回头看索道AC,此时张角∠ADC= 150° ;从D处再攀登300米即到达C处,则石竹山这条索道AC 的长度为________米.
解析:在△ABD中,BD=200米,∠ABD=120° ,由∠ADB= 30° ,得∠DAB=30° . 因为 BD AD 200 AD = ,即sin 30° sin 120° = , sin∠DAB sin∠ABD

200sin 120° 所以AD= sin 30° =200 3 米. 在△ADC中,DC=300米,∠ADC=150° , 所以AC2=AD2+DC2-2×AD×DC×cos∠ADC=(200 3 )2 +3002-2×200 3 ×300×cos 150° =390 000.所以AC= 100 39 米.

答案:100 39

课题 9 [典例]

利用正弦、余弦定理解三角形

(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内

角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A=0, a=7,c=6,则 b= A.10 B.9 C.8 ( D.5 )

[考题揭秘]

本题考查三角函数的化简,考查利用余弦定理

解三角形以及方程思想,考查考生的运算求解能力. [审题过程] 第一步:审条件.已知△ABC的两边a和c以及

与角A有关的三角函数关系式. 第二步:审结论.求边b的值. 第三步:建联系.由23cos2A+cos 值,然后利用余弦定理可求b. 2A=0可求得cos A的

[规范解答]

由23cos2A+cos 2A=0,得23cos2A+2cos2 A-

1 1=0,解得cos A=5.?????????????????① 由余弦定理,知a2=b2+c2-2bccos A,???????② 1 12 2 又a=7,c=6,cos A= 5 ,所以49=b +36- 5 b,即(b- 5)(5b+13)=0,又b>0,所以b=5. ???????????③

[答案]

D

[模型归纳] 利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下:

[变式训练]
1.在△ABC中,若sin A-sin Acos C=cos Asin C,则△ABC的 形状是 A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 a2+b2-c2 解析:由sin A-sin Acos C=cos Asin C得a-a· 2ab =
b2+c2-a2 c· 2bc ,化简得a=b,即△ABC是等腰三角形.

(

)

答案:B

2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(A- C)+cos B=1,a=2c,则C= π 5π A.6或 6 π B.6 ( )

π 2π π C.3或 3 D.3 解析:因为cos(A-C)+cos B=1,所以cos(A-C)-cos(A+C)=

1,2sin Asin C=1.又由已知a=2c,根据正弦定理得,sin A=2 1 π 5π π sin C.∴sin C=2,∴C=6或 6 .∵a>c,∴A>C,∴C=6.

答案:B

预测演练提能



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