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1.2命题及其关系、充分条件与必要条件



第 二 节 命题及其关系、充分条件与必要条件

1.命题 使用语言、符号或者式子表达的,可以判断真假的 概念 陈述句 _______ 陈述句 特点 (1)能判断真假.(2)_______

真命题 假命题 分类 (1)_______.(2)_______

2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系:
若q,则p

若﹁p,则﹁q

若﹁q,则﹁p

逆否命题 否命题等价 (2)四种命题中的等价关系:原命题等价于_________, 逆命题 在四种形式的命题中真命题的个数只能是0或2或4. 于_______,

3.充要条件

(1)相关概念:
充分 条件,q是p的_____ 必要 条件 若p?q,则p是q的_____

充分不必要 条件 p是q的___________
必要不充分 条件 p是q的___________ 充要 条件 p是q的_____ 既不充分也不必要 条件 p是q的_________________

p?q且q
p

p

q且q?p p?q

p

q 且q

p

(2)集合与充要条件:
p成立的对象构成的集合为A, q成立的对象构成的集合为B p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 真子集 A是B的_______ 真子集 B是A的_______ A=B ____ 包含 A,B互不_____

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若原命题“若p,则q”为真,则在这个命题的否命题、逆命

题、逆否命题中真命题的个数是1.(

)

(2)已知命题“若p成立且q成立,则r成立”,则其逆否命题是 “若r不成立,则p不成立且q不成立”.( )

(3)命题“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成 立”.( ) )

(4)已知集合A,B,则A∪B=A∩B的充要条件是A=B.(

【解析】(1)错误.原命题为真时,如果逆命题也为真,则否命题、 逆否命题均为真. (2)错误.“p成立且q成立”的否定是“p不成立或者q不成立”. (3)正确.根据命题与其逆否命题等价可得. (4)正确.充分性是显然的,只要结合Venn图即可判定必要性. 答案:(1)〓 (2)〓 (3)√ (4)√

1.有以下命题: ①集合N中最小的数是1; ②若-a不属于N,则a属于N; ③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;

④x2+1=2x的解可表示为{1,1}.
其中真命题的个数为( )

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

【解析】选A.①假命题,集合N中最小的数是0;②假命题,如a=
1 ;③假命题,如a=0,b=0;④假命题,{1,1}与集合元素的互异 2

性矛盾.

2.有以下命题: ①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤1,则 x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角 相等”的逆命题. 其中真命题为( )

(A)①②

(B)②③

(C)①③

(D)③④

【解析】选C.①的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”,为 真命题;②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”,为假 命题;③的逆否命题是“若x2+2x+q=0没有实根,则q>1”,为真 命题;④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角 形”,为假命题.

3.命题“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是( (A)若x2≥1,则x≥1或x≤-1 (B)若-1<x<1,则x2<1 (C)若x>1或x<-1,则x2>1 (D)若x≥1或x≤-1,则x2≥1

)

【解析】选D.其逆否命题是:若x≥1或x≤-1,则x2≥1.

4.已知p:-4<k<0,q:函数y=kx2-kx-1的值恒为负,则p是q成立 的( )

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件
(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件
【解析】选A.-4<k<0?k<0,Δ=k2+4k<0;函数y=kx2-kx-1的值

恒为负,不一定有-4<k<0,如k=0时,函数y=kx2-kx-1的值恒为负,
即p?q,而q p.

5.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的
( )

(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件

(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件

【解析】选C.条件显然是充分的;当a+b>0且ab>0时,根据ab>0
可得a,b同号,在a+b>0下,a,b同号只能同时大于零,条件是必要 的.

考向 1

命题及其相互关系
4

【典例1】(1)(2012·湖南高考)命题“若α = ? ,则tanα =1” 的逆否命题是(
4

)

(A)若α ≠ ? ,则tanα ≠1 (B)若α = ? ,则tanα ≠1 (C)若tanα ≠1,则α ≠ ?
4 (D)若tanα ≠1,则α = ? 4 4

(2)命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题 是( )

(A)若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数 (B)若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数 (C)若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数 (D)若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数 【思路点拨】(1)把否定的结论作条件、否定的条件作结论即 可得出. (2)条件的否定作条件、结论的否定作结论即可得出 .

【规范解答】(1)选C.原命题的逆否命题是“若tanα≠1,则
α≠ ? ”,故选C.
4

(2)选B.条件的否定是“f(x)不是奇函数”,结论的否定是 “f(-x)不是奇函数”,故该命题的否命题是“若f(x)不是 奇函数,则f(-x)不是奇函数”.

【拓展提升】 1.一些词语及其否定

词语



都是

都不是

等于

大于

否定

不是

不都是

至少一个是

不等于

不大于

2.否定的方法
在根据原命题构造其否命题和逆否命题时 ,首先要把条件和结 论分清楚,其次把其中的关键词搞清楚.注意其中易混的关键词, 如“都不是”和“不都是”,其中“都不是”是指的一个也不 是,“不都是”指的是其中有些不是.

【变式训练】已知:命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是
增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )

(A)否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则 m>1”,是真命题 (B)逆命题是“若m≤1,则f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”, 是假命题 (C)逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减

函数”,是真命题
(D)逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是 增函数”,是真命题

【解析】选D. f′(x)=ex-m≥0在(0,+≦)上恒成立,即m≤ex 在(0,+≦)上恒成立,故m≤1,这说明原命题正确;反之若 m≤1,则f′(x)>0在(0,+≦)上恒成立,故逆命题正确.增函 数的否定是“不是增函数”.结合选项知选D.

考向 2 充分条件、必要条件的判断
【典例2】(1)(2013·北京高考)“φ=π ”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 )

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(2)(2013·陕西高考)设a,b为向量,则“|a·b|=|a||b|”是 “a∥b”的( ) (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

【思路点拨】(1)先将φ=π代入,看曲线是否过原点,再求出 过原点时φ的值,进而判断充分必要条件. (2)根据充分条件、必要条件的判断方法进行推理判断 .

【规范解答】(1)选A.当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin 2x,过 原点,但是曲线过原点时,由sin φ=0得φ=kπ(k∈Z).故 “φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必 要条件. (2)选C.设向量a与b的夹角为θ.由|a·b|=||a|·|b|cos θ| =|a||b|,得|cos θ|=1,即cos θ=〒1,所以θ=0或π,能够 推得a∥b,显然,反之也能够成立.

故“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件.

【拓展提升】充要条件的三种判断方法 (1)定义法:即根据p?q,q?p进行判断. (2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判 断. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性 ,把要判 断的充要条件转化为其逆否命题进行判断 .这个方法特别适合 以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或者y≠1”的何 种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.

【变式训练】(1)若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子 集, 则( )

(A)“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件 (B)“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件 (C)“x∈C”是“x∈A”的充要条件 (D)“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必 要条件

1 (2)“m< ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的( 4

)

(A)充分不必要条件

(B)充要条件
(C)必要不充分条件

(D)既不充分也不必要条件

【解析】(1)选B.A∪B=C,且B不是A的子集,说明集合C≠A.又 A?A∪B=C,即集合A?C,这说明集合A的元素都在集合C中,但集 合C中的元素至少有一个不在集合A中,结合选项可知正确选项 为B. (2)选A.一元二次方程x2+x+m=0有实数解时m满足1-4m≥0,即
1 m≤ 1 ,故m< 1 ?m≤ ;反之不成立,所以“m< 1 ”是“一元二次 4 4 4 4

方程x2+x+m=0有实数解”的充分不必要条件.

考向 3 充分条件、必要条件的探究与证明 【典例3】已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}.

(1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的充要条件.
(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不

必要条件.
【思路点拨】(1)分充分性和必要性两个方面求解证明.

(2)只要在(1)中求出的实数a的取值范围内找到一个值,破坏
其中的必要性即可.

【规范解答】(1)由M∩P={x|5<x≤8},结合集合M,P可得-3≤ a≤5.故-3≤a≤5是M∩P={x|5<x≤8}的必要条件.下面证明这 个条件也是充分的. 证明:当-3≤a≤5时,集合P={x|a≤x≤8},集合M={x|x<-3或 x>5},故M∩P={x|5<x≤8}. 综上可知,-3≤a≤5是M∩P={x|5<x≤8}的充要条件.

(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不 必要条件,就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值,如取a=0,此时 必有M∩P={x|5<x≤8};反之,M∩P={x|5<x≤8}未必有a=0,故 a=0是M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件.

【互动探究】本例中条件不变,求实数a的取值范围,使它成为
M∩P={x|5<x≤8}的一个必要不充分条件.

【解析】求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一
个必要不充分条件就是另求一个集合Q满足所述条件,故{a|-3 ≤a≤5}是集合Q的一个真子集.当{a|a≤5}时,未必有M∩P= {x|5<x≤8},但是M∩P={x|5<x≤8}时,必有a≤5,故{a|a≤5} 是所求的一个必要不充分条件.

【拓展提升】充要条件的证明方法 在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时 ,其基本 方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明的.这类 试题一般有两种设置格式. (1)证明:A成立是B成立的充要条件,其中充分性是A?B,必要性 是B?A. (2)证明:A成立的充要条件是B,此时的条件是B,故充分性是 B?A,必要性是A?B.

【提醒】在分充分性与必要性分别进行证明的试题中 ,需要分
清充分性是什么,必要性是什么;在一些问题中充分性和必要性

可以同时进行证明.

【变式备选】已知ab≠0,证明a+b=1成立的充要条件是 a3+b3+ab-a2-b2=0.

【证明】先证充分性:若a3+b3+ab-a2-b2=0,
则(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,

所以(a+b-1)[(a- b )2+
2

3 2 b ]=0,由ab≠0得 4

a+b-1=0,所以a+b=1成立,充分性得证.

再证必要性:
若a+b=1,则由以上对充分性的证明知 a3+b3+ab-a2-b2=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,故必要性得证. 综上知,a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.



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