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江苏省2016届高三数学(理)专题复习检测:专题四 立体几何 真题体验



专题四 立体几何 真题体验· 引领卷 一、填空题 1.(2015· 江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆锥 和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积 与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的 底面半径为________. 2.(2014· 江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积 S1 9 V1

分别为 V1,V2.若它们的侧面积相等,且S =4,则V 的值是________.
2 2

3.(2015· 广东高考改编)若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面 α 内,l2 在平面 β 内,l 是平面 α 与平面 β 的交线,给出下列结论: ①l 与 l1,l2 都不相交; ②l 与 l1,l2 都相交; ③l 至多与 l1,l2 中的一条相交; ④l 至少与 l1,l2 中的一条相交. 则上述结论正确的序号是________. 4.(2012· 江苏高考)如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥 A BB1D1D 的体积为______cm3.

5.(2015· 安徽高考改编)已知 m,n 是两条不同直线,α,β 是两个不 同平面,给出以下命题: ①若 α,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行; ②若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行;

③若 α,β 不平行,则在 α 内不存在与 β 平行的直线; ④若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面.则上述命题错 误的是________(填序号). 6.(2013· 江苏高考)如图,在三棱柱 A1B1C1ABC 中,D,E,F 分别是 AB , AC , AA1 上的中点,设三棱锥 FADE 的体积为 V1 ,三棱柱 A1B1C1ABC 的体积为 V2,则 V1∶V2=______.

7.(2015· 福建高考改编)若 l,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面 α, 则“l⊥m”是“l∥α”的________条件. 8.(2015· 全国卷Ⅰ改编)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学 名著, 书中有如下问题: “今有委米依垣内角, 下周八尺, 高五尺. 问: 积及为米几何?”其意思为: “在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一 个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问 米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立 方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有________斛(取整数).

π 9.(2015· 山东高考改编)在梯形 ABCD 中,∠ABC=2,AD∥BC,BC =2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的 曲面所围成的几何体的体积为________. 10.(2015· 全国卷Ⅱ改编)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=

90° ,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36, 则球 O 的表面积为________. 二、解答题 11. (2015· 江苏高考)如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 已知 AC⊥BC, BC=CC1.设 AB1 的中点为 D,B1C∩BC1=E.

求证:(1)DE∥平面 AA1C1C; (2)BC1⊥AB1.

12.(2014· 江苏高考)如图,在三棱锥 PABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点.已知 PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.

求证:(1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC.

13.(2012· 江苏高考)如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1 中,A1B1=A1C1, D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点.

求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

专题四 立体几何 真题体验· 引领卷 1. 7 1 4 [ 设新的底面半径为 r ,由题意得 3 πr2· 4 + πr2· 8 = 3 π×52 +

8π×22,解之得 r= 7.] 3 S1 9 2.2 [设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1,r2 和 h1,h2,由S =4, 2 πr2 9 r1 3 1 得πr2=4,则r =2.由圆柱的侧面积相等,得 2πr1h1=2πr2h2,即 r1h1 2 2 h1 2 V1 πr2 3 1h1 =r2h2,则h =3,所以V =πr2h =2.] 2 2 2 2 3.④ [若 l 与 l1,l2 都不相交,则 l∥l1,l∥l2,∴l1∥l2,这与 l1 和 l2 异面矛盾,∴l 至少与 l1,l2 中的一条相交.]

4.6

[关键是求出四棱锥 A BB1D1D 的高,

连接 AC 交 BD 于 O,在长方体中, ∵AB=AD=3,∴BD=3 2且 AC⊥BD. 又∵BB1⊥底面 ABCD,∴BB1⊥AC. 又 DB∩BB1=B,∴AC⊥平面 BB1D1D, 1 3 2 ∴AO 为四棱锥 A BB1D1D 的高且 AO=2BD= 2 . ∵S 矩形 BB1D1D=BD×BB1=3 2×2=6 2, 1 1 3 2 ∴VA BB1D1D=3S 矩形 BB1D1D· AO=3×6 2× 2 =6(cm3).] 5.①②③ [对于①,α,β 垂直于同一平面,α,β 关系不确定,①

错;对于②,m,n 平行于同一平面,m,n 关系不确定,可平行、相 交、异面,故②错;对于③,α,β 不平行,但 α 内能找出平行于 β 的直线,如 α 中平行于 α,β 交线的直线平行于 β,故③错;对于④, 若假设 m,n 垂直于同一平面,则 m∥n,其逆否命题即为④选项, 故④正确.] V1 6.1∶24 [设三棱锥当且仅当点 F-ADE 的高为 h,则V =
2

? 1 ?1 ? AD· ? AE · sin ∠ DAE h 3 ?2 ? 1 = 1 24.] (2h)2(2AD)(2AE)sin∠DAE

7.必要而不充分 [当 l∥α 时,由于 m⊥平面 α.∴m⊥l.则必要性成 立.但 l⊥m 时,由于 m⊥α,则 l?α或 l∥α,故充分性不成立.故 “l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件.] 16 1 1 8.22 [由题意知,米堆的底面半径 R= 3 (尺),则米堆体积 V=3×4
?16? 2 1 1 320 πR2· h = 3 × 4 ×3× ? 3 ? ×5≈ 9 ( 立方尺 ) .所以堆放的米大约为 ? ?

320 ≈22(斛).] 9×1.62 5π 9. 3 [如图,由题意,得 BC=2,AD=AB=1.绕 AD 所在直线旋转 一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体.所求体积 V= 1 5 π×12×2-3π×12×1=3π.]

10. 144π [设点 C 到平面 OAB 的距离为 h, 球 O 的半径为 R(如图所 示).

1 由∠AOB=90° ,得 S△AOB=2R2, 1 要使 VO-ABC=3· S△AOB· h 最大,当且仅当点 C 到平面 OAB 的距离,即 三棱锥 C-OAB 底面 OAB 上的高最大,其最大值为球 O 的半径 R. 1 故 VO-ABC=6R3=36,则 R=6. 所以 S 球=4πR2=4π×62=144π.] 11.证明 (1)由题意知,E 为 B1C 的中点,又 D 为 AB1 的中点,

因此 DE∥AC.

又因为 DE?平面 AA1C1C, AC?平面 AA1C1C, 所以 DE∥平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC. 因为 AC?平面 ABC,所以 AC⊥CC1. 又因为 AC⊥BC,CC1?平面 BCC1B1,BC?平面 BCC1B1, BC∩CC1=C, 所以 AC⊥平面 BCC1B1. 又因为 BC1?平面 BCC1B1,所以 BC1⊥AC. 因为 BC=CC1,所以矩形 BCC1B1 是正方形, 因此 BC1⊥B1C. 因为 AC,B1C?平面 B1AC,AC∩B1C=C, , 所以 BC1⊥平面 B1AC. 又因为 AB1?平面 B1AC,所以 BC1⊥AB1. 12.证明 (1)因为 D,E 分别为棱 PC,AC 的中点,所以 DE∥PA.

又因为 PA?平面 DEF,DE?平面 DEF, 所以直线 PA∥平面 DEF. (2)因为 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,PA=6,BC=8, 所以 DE∥PA,

1 1 DE=2PA=3,EF=2BC=4. 又因为 DF=5,故 DF2=DE2+EF2, 所以∠DEF=90° ,即 DE⊥EF. 又 PA⊥AC,DE∥PA,所以 DE⊥AC. 因为 AC∩EF=E,AC?平面 ABC,EF?平面 ABC, 所以 DE⊥平面 ABC. 又 DE?平面 BDE, 所以平面 BDE⊥平面 ABC. 13.证明 (1)因为 ABCA1B1C1 是直三棱柱,所以 CC1⊥平面 ABC,

又 AD?平面 ABC,所以 CC1⊥AD. 又因为 AD⊥DE,CC1,DE?平面 BCC1B1,CC1∩DE=E, 所以 AD⊥平面 BCC1B1,又 AD?平面 ADE, 所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1. (2)因为 A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点,所以 A1F⊥B1C1. 因为 CC1⊥平面 A1B1C1,且 A1F?平面 A1B1C1, 所以 CC1⊥A1F. 又因为 CC1,B1C1?平面 BCC1B1,CC1∩B1C1=C1, 所以 A1F⊥平面 BCC1B1. 由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1,所以 A1F∥AD. 又 AD?平面 ADE,A1F?平面 ADE, 所以 A1F∥平面 ADE.



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