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河北省唐山市2016届高三第一次模拟考试数学(文)试题


唐山市 2015-2016 学年度高三年级第一次模拟考试 文科数学 第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项符合题目要求. (1)设 A,B 是全集 I={1,2,3,4}的子集,A={l,2},则满足 A ? B 的 B 的个数是 (A)5 (2)复数 (B)4 (C)3 (D)2 2016.3.3

1-i 的虚部为 1 ? 2i
(B)

(A)

1 5

3 5

(C)一

1 5

(D)一

3 5

(3)在等差数列{an}中,a4=2,且 a1+a2+…+a10=65,则公差 d 的值是 (A)号 (B)3 (C)号 (4)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是 (A) y= 一

(D)2

1 x

(B)y=-x2

(C)y=e x+ex (D) y=|x+1| (5)执行右侧的程序框图,输出 S 的值为 (A) ln 4-ln 3 (B) ln5 (C) ln 5-ln4 (D) ln4 (6) cosasin(a+

? ? )+sinasin(a- )= 6 3
(B)-

(A)

1 2

1 2

(C)

3 2

(D)-

3 2

(7) A( 2 ,1)为抛物线 x2=2py(p>0)上一点,则 A 到其焦点 F 的距离为 (A)

2+

1 2

(B)

3 2

(C)

2 +1

(D)2

(8)在区间[一 1,1]上随机取一个数 x,使 cos ? x≥

1 的概率为 2
(D)

(A)

1 3

(B)

? 3

(C)

1 2

2 3

?1?

?y ? 2 ? 0 y ? (9)若 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则 的最大值是 x ?x ? y ? 5 ? 0 ?
(A)

3 2

(B) 1

(C)2 (D)3 (10)某几何体的三视图如右图所示,则其体积为 (A) 8 ? (C) 9 ? (B)

17 ? 2
15 ? 2

(D)

x2 y 2 (11) ? 为双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的右焦点,若 ? 上存在一点 P 使得△OPF a b
为等边三角形(O 为坐标原点) ,则 r 的离心率 e 的值为 (A)2 (B)

3

(C) .

3 +1

(D)

3 ?1 2
(D) -2

(12)已知函数 f(x)=x3-3x2+x 的极大值为 m,极小值为 n,则 m+n= (A)0 (B)2 (C) -4

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考 生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. (13)Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,满足 Sn=2an-1,则{an}的公比 q= 。 (14)已知向量 a,b 满足 a?(a-b)=2,且|a|=1,|b|=2,则 a 与 b 的夹角等于 . (15)直线 l:

x y ? ? 1 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B,O 为坐标原点,则△OAB 的 4 3

内切圆的方程为____. (16) 一个几何体由八个面围成,每个面都是正三角形,有四个顶点在同一平面内且为正 方形,若该八面体的棱长为 2,所有顶点都在球 O 上,则球 O 的表面积为 . 三、解答题:本大题共 70 分,其中(17) - (21)题为必考题,(22),(23),(24)题为 选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 在右图所示的四边形 ABCD 中,∠BAD=90°, ∠BCD=150°,∠BAC=60°,AC=2,AB= 3 +1.
?2?

(I)求 BC; (II)求△ACD 的面积.

(18) (本小题满分 12 分) 为迎接即将举行的集体跳绳比赛,高一年级对甲、乙两个代表队各进行了 6 轮测试, 测试成绩(单位:次/分钟)如下表:

( I)在答题卡上补全茎叶图并指出乙队测试成绩的中位数和众数: ( II)试用统计学中的平均数、方差知识对甲乙两个代表队的测试成绩进行分析. (19)(本小题满分 12 分) 如图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的棱长均为 2, ∠BAD=

? ,M 为 BB1 的中点,Ol 为上底面对角线的 3

交点. (I)求证:O1M⊥平面 ACM1; (II)求 Cl 到平面 ACM 的距离. (20)(本小题满分 12 分)

x2 y 2 已知椭圆 C: 2 ? 2 =1(a>b>0)的右焦点为 F(2,0),点 P(2, a b

6 )在椭圆上. 3

( I)求椭圆 C 的方程; (II)过点 F 的直线,交椭圆 C 于 A、B 两点,点 M 在椭圆 C 上,坐标原点 O 恰为 △ABM 的重心,求直线 l 的方程.

(21)(本小题满分 1 2 分) 已知函数 f(x)=a(tan x+l)-ex. (I)若 f(x)在 x=0 处的切线经过点(2,3),求 a 的值; ’ ( II)x∈(0,

? )时,f(x)≥0,求 a 的取值范围. 2
?3?

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如 果多做,则按所做的第一个题目计分.做答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方 框涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 与圆 O 相切于点 B,CD 为圆 O 上两点,延 长 AD 交圆 O 于点 E,BF∥CD 且交 ED 于点 F (I)证明:△BCE∽△FDB; ( II)若 BE 为圆 O 的直径,∠EBF=∠CBD,BF=2, 求 AD?ED. (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.半 圆 C(圆心为点 C)的极坐标方程为ρ =2sinθ ,θ ∈(

? 3? , ). 4 4

(I)求半圆 C 的参数方程: (II)直线,与两坐标轴的交点分别为 A,B,其中 A(O,-2),点 D 在半圆 C 上, 且直线 CD 的倾斜角是直线,倾斜角的 2 倍,若△ABD 的面积为 4,求点 D 的直角坐标.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=lx+1|-a|x-l|. (I)当 a=-2 时,解不等式 f(x)>5; (II)若(x)≤a|x+3|,求 a 的最小值.

唐山市 2015—2016 学年度高三年级第一次模拟考试

文科数学参考答案
一、选择题: BABCD 二、填空题: (13)2 三、解答题: (17)解: (Ⅰ)在△ABC 中,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB?ACcos∠BAC=6, 所以 BC= 6.
?4?

ABACA CD 2? (14) 3 (15)(x-1)2 +(y-1)2=1 (16)8π

…4 分

BC AC 2 (Ⅱ)在△ABC 中,由正弦定理得 = ,则 sin∠ABC= , 2 sin∠BAC sin∠ABC 又 0° <∠ABC<120° ,所以∠ABC=45° ,从而有∠ACB=75° , 由∠BCD=150° ,得∠ACD=75° ,又∠DAC=30°,所以△ACD 为等腰三角形, 即 AD=AC= 2,故 S△ACD=1. …12 分 (18)解: (Ⅰ)茎叶图如下: 甲 6 6 3 3 2 2 6 7 8 乙 2 5 3 8 5 9

乙队测试成绩的中位数为 72,众数为 75. 63+66+72+73+76+82 (Ⅱ)- x 甲= =72, 6

…4 分 …6 分

1 2 s甲 = [(63-72)2+(66-72) 2+(72-72) 2+(73-72) 2+(76-72) 2+(82-72) 2]=39; 6


62+68+69+75+75+83 x 乙= =72, 6

1 2 s乙 = [(62-72)2+(68-72) 2+(69-72) 2+(75-72) 2+(75-72) 2+(83-72) 2]=44, 6 …10 分 因为 x 甲= x 乙,s甲<s乙,所以甲乙两队水平相当,但甲队发挥较稳定. (19)解: (Ⅰ)连接 AO1,BD 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,所以 BB1⊥AC, ∵ 四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形, D1 ∴ AC⊥BD, C1 O1 又∵ BD∩BB1=B, A1 B1 ∴ AC⊥平面 DBB1D1, 又∵ O1M?平面 DBB1D1, ∴ AC⊥O1M. D C ∵ 直四棱柱所有棱长均为 2, ? A B ∠BAD= ,M 为 BB1 的中点, 3 ∴ BD=2,AC=2 3,B1M=BM=1, ∴ O1M2=O1B12+B1M2=2,AM2=AB2+BM 2=5,O1A2=O1A12+A1A2=7, ∴ O1M2+AM2=O1A2, ∴ O1M⊥AM. 又∵ AC∩AM=A, ∴ O1M⊥平面 ACM. …6 分
M ?5?
- -
2 2

…12 分

(Ⅱ)∵A1C1∥AC,∴A1C1∥平面 ACM, 即 C1 到平面 ACM 的距离等于 O1 到平面 ACM 的距离, 由(Ⅰ)得 O1M⊥平面 ACM,且 O1M= 2, 即点 C1 到平面 ACM 的距离为 2. (20)解: (Ⅰ)由题意可得 c=2,左焦点 F1(-2,0),|PF|= 6 , 3

…12 分

5 6 所以|PF1|= |PF|2+4c2= ,即 2a=|PF|+|PF1|=2 6, 3 即 a2=6,b2=2, x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. …5 分 6 2 (Ⅱ)显然直线 l 与 x 轴不垂直,设 l:y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2). 将 l 的方程代入 C 得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0, -2k -12k2 6k2 4k 所以 AB 的中点 N ( , ) ,即 M ( , ). 1+3k2 1+3k2 1+3k2 1+3k2 1 1 5 由点 M 在 C 上,可得 15k4+2k2-1=0,解得 k2= 或- (舍) ,即 k=± . 5 3 5 5 故直线 l 的方程为 y=± (x-2). …12 分 5

(21)解: a (Ⅰ)解:f ?(x)= 2 -ex,所以 f ?(0)=a-1, cos x a-4 又 f (0)=a-1,所以 a-1= ,解得 a=2. 0-2 (Ⅱ)由 f (x)≥0 得 a≥ ex , tan x+1 …4 分

extan x(1-tan x) ex 令 g (x)= ,则 g ?(x)= , tan x+1 ( tan x+1)2 π π π x∈ 0, ,g ?(x)>0;x∈ , ,g ?(x)<0, 4 4 2

(

)

(

)

所以 g (x)的最大值为 g

(π )=e2 , 4
π

π 4

e4 故所求 a 的取值范围是 a≥ . 2 (22)解: (Ⅰ)因为 BF∥CD,所以∠EDC=∠BFD, 又∠EBC=∠EDC,所以∠EBC=∠BFD, 又∠BCE=∠BDF,所以△BCE∽△FDB. (Ⅱ)因为∠EBF=∠CBD,所以∠EBC=∠FBD,
?6?

…12 分

…4 分

由(Ⅰ)得∠EBC=∠BFD,所以∠FBD=∠BFD, 又因为 BE 为圆 O 的直径, 2 所以△FDB 为等腰直角三角形,BD= BF= 2, 2 因为 AB 与圆 O 相切于 B,所以 EB⊥AB,即 AD?ED=BD2=2. (23)解: (Ⅰ)半圆 C 的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1(y>1) ,
?x=cos φ, 它的参数方程是? φ 为参数且 φ∈(0,π). ?y=1+sin φ,

…10 分

…4 分

(Ⅱ)设直线 l 的倾斜角为 α, 则直线 l 的方程为 y=xtan α-2, D (cos2α,1+sin2α),2α∈(0,π). = 2 ,点 D 到直线 l 的距离为 sin α |sin αcos2α-cos αsin2α-3cos α|=|3cos α-sin αcos2α+cos αsin2α|=3cos α+sin α, π 由△ABD 的面积为 4 得 tan α=1,得 α= ,故点 D 为 (0,2). 4 …10 分 |AB|

(24)解:

? ?1-3x, x<-1, (Ⅰ)当 a=-2 时,f (x)=?3-x, -1≤x≤1, ?3x-1, x>1. ?
4 )=f (2)=5, 3 4 得 f (x)>5 的解集为{x|x<- ,或 x>2}. 3 |x+1| (Ⅱ)由 f (x)≤a|x+3|得 a≥ , |x-1|+|x+3| |x+1| 1 1 由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|得 ≤ ,得 a≥ . 2 |x-1|+|x+3| 2 (当且仅当 x≥1 或 x≤-3 时等号成立) 1 故 a 的最小值为 . 2 由 f (x)的单调性及 f (-

…5 分

…10 分

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?7?



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